Michał Kozieł , gr. ID-MP-72 

[e-mail]

Zad. III 28

Dla jakiej długości fali λ_m przypada maksimum funkcji rozkładu widmowego objętości gęstości zasobu energii promieniowania ε_λ (λ) = ρ_T (λ) dla ciała ludzkiego i jaka jest wartość funkcji rozkładu widmowego gęstości strumienia emisji energii promieniowania R_T(λ_m) oraz gęstość strumienia emisji promieniowania R_T wiedząc, że stała Stefana Boltzmana
oraz stała Wiena
.

Dane: Obliczyć:

λ_m=?

R_T(λ_m)=?

R_T=?

1. Wyznaczenie funkcji rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania.

Średni zasób energii promieniowania w przedziale całego pola dozwolonych poziomów energetycznych (stopni swobody) ma postać :

- w funkcji długości fali

(λ) =
[
]

- w funkcji częstotliwości

(ν) =
[
]

Elementarny przyrost objętościowej gęstości zasobu ilości oscylatorów w przedziale długości fal od λ do λ+dλ określony jest zależnością

gdzie funkcja rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu ilości oscylatorów w polu długości fal określona jest związkiem

Uwzględniając związek między długością fali a jej częstotliwością w próżni

otrzymano elementarny przyrost objętościowej gęstości zasobu ilości oscylatorów w przedziale częstotliwości fal od
do

gdzie funkcja rozkładu widmowego objętościowego gęstości zasobu ilości oscylatorów w polu częstotliwości fal określona jest związkiem

Objętościowa gęstość zasobu ilości oscylatorów jest równa:

Funkcja rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania w polu długości fal określona jest zależnością

zaś funkcja rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu ilości oscylatorów w polu częstotliwości fal jest równa

2. Wyznaczenie objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania

Całka funkcji rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania określa objętościową gęstość zasobu energii promieniowania

Przyjmując oznaczenie:

otrzymano

3. Wyznaczenie maksimum funkcji rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania

Funkcja rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania w polu długości fal określona jest zależnością

Przyrównując pochodną powyższej funkcji po długości fali do zera

Otrzymano równanie

Przyjmując oznaczenie

powyższe równanie przyjmie postać

z którego wyznaczono wartość

Dla tej wartości x funkcja rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania osiąga maksimum zaś długość fali osiąga wartość

λ=λ_m

4. Prawo przesunięć Wiena

Uwzględniając wyrażenie

dla

otrzymano

stąd

Powyższą zależność definiuje prawo przesunięć Wiena które głosi, że odwrotnie proporcjonalna zależność długości fal λ_m od temperatury T opisuje ilościowo mechanizm przesuwania się maksimum funkcji rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania, wraz ze wzrostem temperatury w kierunku fal krótszych.

5. Wyznaczenie funkcji rozkładu widmowego gęstości strumienia emisji energii promieniowania

Gęstość strumienia wymiany ilości cząstek gazu określona jest zależnością

Stosując analogię dla fotonów można napisać wyrażenie określające gęstość strumienia wymiany ilości fotonów

Jeżeli w ostatniej zależności w miejsce objętościowej gęstości zasobu ilości fotonów n wstawiamy funkcję rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania ε_λ (λ), to wówczas otrzymamy zamiast gęstości strumienia wymiany (emisji) ilości fotonów
, funkcja rozkładu widmowego gęstości strumienia wymiany (emisji) energii promieniowania w polu długości fal R_λ (λ)

6. Wyznaczenie gęstości strumienia emisji energii promieniowania

Całkując funkcje rozkładu widmowego gęstości strumienia emisji energii promieniowania w całej przestrzeni pola długości fal

Gdzie stała Stefana Boltzmana

Otrzymano gęstość emisji energii promieniowania

7. Wyznaczenie długości fali λ_m odpowiadającej maksimum wartości funkcji rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania

λ_m=

8. Obliczenie wartości długości fali λ_m

λ_m=
=
[m]

9. Obliczanie wartości maksimum funkcji rozkładu widmowego gęstości strumienia emisji energii promieniowania ciała ludzkiego

10. Obliczenie wartości gęstości strumienia emisji energii promieniowania ciała ludzkiego

R_T

term-2009-III.28  Michał Kozieł , grupa ID-MP-72  [e-mail]

---