Zadanie II.30 Marek Malec MT-31

Wykorzystując równanie stanu gazu fotonowego wyznaczyć a następnie obliczyć wartości objętościowej gęstości zasobu energii wewnetrznej promieniowania ε_IV oraz ciśnienia promieniowania dla temperatur T_s=6000[K] oraz T=10⁷[K]. Stała Planca h=6.6262*10^-34[J*s], stała Boltzmana k=1.38*10^-23
, prędkość światła w próżni c≈3*10⁸
.

Rozwiązanie.

1. Wyznaczenie funkcji rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania.

Średni zasób energii promieniowania w przedziale całego pola dozwolonych poziomów energetycznych (stopni swobody) ma postać:

- w funkcji długości fali

- w funkcji częstotliwości

Elementarny przyrost objętościowej gęstości zasobu ilości oscylatorów w przedziale długości fal od λ do λ+dλ określony jest zależnością

Gdzie funkcja rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu ilosci oscylatorów w polu długości fal określina jest związkiem

Uwzględniając związki między długością fali a jej częstotliwością w prózni

otrzymano elementarny przyrost objętościowej gęstości zasobu ilosci oscylatorów w przedziale częstotliwości fal od

gdzie funkcja rozkladu widmowego objetościowej gęstości zasobu ilosci oscylatorów w polu częstotliwości fal okreslona jest związkiem

Objętosciowa gęstośc zasobu ilosci oscylatorów jest równa

Funkcja rozkladu widmowego objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania w polu długości fal

Funkcja rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu ilosci oscylatorów w polu częstotliwosci fal.

2. Wyznaczenie objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania

zatem

gdzie

T₂>T₁

λ

3. Ciśnienie promieniowania

Cisnienie promieniowania wywierane na ścianki pudełka izotermicznego przez fotony określono wykorzystujac metody kinetycznej teorii gazów, w których fotony potraktowano tak jak cząsteczki gazu.

Zgodnie z zasada rowności masy i energii Einsteina oraz kwantową hipoteza Planca otrzymano równanie

z którego okreslono masę fotonu w funkcji jego częstotliwości

uwzględniając, że prędkość światła w prózni jest stała równą

uzyskano zależnośc określającą masę fotonu w prózni o dlugości fali

Minimalna masa fotonu w pudle izotermicznym wynika z jego wymiarów. Dla pudła izotermicznego o objetości V=L³ oscylator promieniowania może miec maksymalna długość fali równa dwóm dlugością krawędzi pudla izotermicznego

stąd

Zatem minimalna dopuszczalna częstotliwość oscylatora promieniowania jest równa

Przyjmując oznaczenia dla oscylatora promieniowania

oraz

Określono pole dozwolonych stanów energetycznych (stopni swobody) oscylatora promieniowania (kwantowa hipoteza Planca)

Funkcja rozkładu prowdopodobieństwa zdarzenia losowego, iż oscylator promieniowania znajduje sie w dozwolonym stanie energetycznym E_n(stopniu swobody) określona jest czynnikiem Boltzmana

Funkcja rozkładu stanów energetycznych oscylatora w polu dozwolonych stanów energetycznych okreslona jest związkiem

Średni zasób energii oscylatora promieniowania (fotonu)
o częstotliwości v dla wszystkich dozwolonych stanów energetycznych jest równy

gdzie
- uśredniona masa fotonu

Zatem funkcja rozkładu widmowego objetościowej gęstości zasobu energii promieniowania okreslona jest związkiem

zaś objętościowa gęstość zasobu energii wewnetrznej fotonu w pudle izotermicznym okreslona jest równniem

stąd

Uwzględniając zalożenie, ze fotony traktowane sa jak cząsteczki gazu to zgodnie z taorią kinetyczną gazu cisnienie określone jest zależnością

gdzie m - masa cząsteczki gazu [kg]

n - objetościowa gęstość zasobu ilości cząsteczek gazu [

- średnia kwadratów prędkości czastek gazu

Przez analogie cisnienie gazu fotonowego określone jest związkiem

gdzie
- średnia masa fotonu [kg]

n - objetościowa gęstość zasobu ilości cząsteczek gazu [

- prędkość światła

Uwzględniając zalezność okreslająca objętosciową gęstośc zasobu energii wewnetrznej fotonu w pudle izotermicznym

w ostatnim związku uzyskano wyrażenie

które jest rownaniem stanu gazu fotonowego.

4. Obliczanie wartości stałej β w równaniu określajacymobjętościowa gęstość zasobu energii wewętrznej promieniowania. Objętościowa gęstość zasobu energii wewnętrznej promieniowania okreslona jest równaniem

gdzie

5. Obliczenie wartości objętosci gęstości zasobu energii wewnętrznej promieniowania i cisnienia promieniowania dla temperatury T_s=6000[K]

6. Obliczenie wartosci objętościowej gęstości zasobu energii wewnętrznej promieniowania i cisnienia promieniowania dla temperatury T=10⁷[K]

T₂

T₁

---