2. Liczby zespolone

Różne metody przedstawiania zbioru liczb zespolonych

1)Jako uporządkowana para liczb, gdzie każda z tych liczb należy do liczb rzeczywistych

z=(x,y); x,y∈R

2)W postaci algebraicznej

z=x+iy; x-część rzeczywista liczby zespolonej Rez, y- część urojona Imz; x,y-liczby rzeczywiste

3)z1=(x1,y1); z2=(x2,y2). Rys.

4)W postaci trygonometrycznej

$\left| z1 \right| = \sqrt{{x1}^{2} + {y1}^{2}}$ - moduł liczby zespolonej; φ-argument liczby zespolonej

$\text{cosφ} = \frac{x1}{|z1|};\text{sinφ} = \frac{y1}{|z1|}$;

z₁=|z1| (cos φ+isin φ)

0≤ φ<2π

5)W postaci wykładniczej

z=|z|e^iφ postać wykładnicza liczby z .

e^iφ = cosφ + isinφ; $\text{cosφ} = \frac{e^{\text{iφ}} + e^{- i\varphi}}{2};\text{sinφ} = \frac{e^{\text{iφ}} - e^{- i\varphi}}{2i}$

Działania na liczbach zespolonych w postaci algebraicznej.

1)z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)

2)z1*z2=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+y1x2)

3)$\frac{z1}{z2} = \frac{x1 + \text{iy}1}{x2 + \text{iy}2}*\frac{\left( x2 - \text{iy}2 \right)}{\left( x2 - \text{iy}2 \right)} = \frac{\left( x1x2 + y1y2 \right) + i\left( y1x2 - x1y2 \right)}{{x2}^{2} + {y2}^{2}} = \frac{x1x2 + y1y2}{{x2}^{2} + {y2}^{2}} + i\frac{y1x2 - x1y2}{{x2}^{2} + {y2}^{2}};$

z2 ≠ 0,  przynajmniej 1 z x2, y2  ≠ 0

Mnożenie i dzielenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej.

Jeżeli z1=|z1|(cosφ1+isinφ1) i z2=|z2|(cosφ2+isinφ2) to

z1*z2=|z1|*|z2| (cos(φ1+φ2)+isin(φ1+φ2))

$$\frac{z1}{z2} = \frac{\left| z1 \right|}{\left| z2 \right|}(\cos\left( \varphi 1 - \varphi 2 \right) + \text{isin}\left( \varphi 1 - \varphi 2 \right),\ \text{dla}\ z2 \neq 0$$

Zastosowanie wzoru Moivre’a

Jeżeli z=|z| (cosφ+isinφ) i n∈Z,to zⁿ = |z|ⁿ(cos(nφ)+isin(nφ));  

Tw. każda liczba zespolona w=|w|(cosφ+isinφ)≠0 ma dokładnie n pierwiastków stopnia naturalnego n.

$z_{k} = \sqrt[n]{\left| w \right|}(\cos\frac{\varphi + 2\text{kπ}}{n} + \text{isin}\frac{\varphi + 2\text{kπ}}{n})$, gdzie k = 0,1,2,…,n-1

Def pierwiastka stopnia n z liczby zespolonej. Wyliczanie pierwiastków z definicji.

Niech n ∈N, z∈₵. Liczba a+bi jest pierwiastkiem stopnia n z liczby z

$$\sqrt[n]{z} = a + \text{bi} < = > z{= (a + \text{bi})}^{n};a,b \in R$$

Pierwiastkiem stopnia n z liczby zespolonej nazywamy taką liczbę z ( z=$\sqrt[n]{w}$) że zⁿ=w

3. Funk jednej zmiennej – wiadomości wstępne

Def odwzorowania.

Def. ODWZOROWANIE zbioru X w Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi x ze zbioru X dokładnie jednego elementu y ze zbioru Y.

f:X->Y; x->y=f(x)∈Y, x∈X

Def. Mówimy, że funkcja odwzorowuje zbiór X „na” zbiór Y jeżeli

$\bigcap_{y \in Y}^{}{\bigcup_{x \in X}^{}{y = f\left( x \right)}}$

(jeżeli dla kazdego y nalezacego do dziedziny Y istnieje dokladnie jeden x nalezacy do dziedziny X ktoremu mozesz podporzadkowac dokladnie jeden x)

Własności funkcji: monotoniczność, parzystość i nieparzystość, różnowartościowość.

*Def. Mówimy, że funkcja f na zbiorze A⊂X jest

rosnąca <=>$\ \bigcap_{x1,x2 \in A}^{}{\lbrack x1 < x2 = > f\left( x1 \right) < f\left( x2 \right)}\rbrack$

(rosnąca wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego x1,x2 nalezacego do dziedziny A wystepuje zaleznosc x1 < x2, to wtedy f(x1) < f(x2), pod spodem analogicznie.)

malejąca <=> $\bigcap_{x1,x2 \in A}^{}{\lbrack x1 < x2 = > f\left( x1 \right) > f\left( x2 \right)}\rbrack$

niemalejąca <=>$\bigcap_{x1,x2 \in A}^{}{\lbrack x1 < x2 = > f\left( x1 \right) \leq f\left( x2 \right)}\rbrack$

nierosnąca <=> $\bigcap_{x1,x2 \in A}^{}{\lbrack x1 < x2 = > f\left( x1 \right) \geq f\left( x2 \right)}\rbrack$

Jeśli funkcja spełnia 1) i 2) to jest ściśle monotoniczna, a jeśli wszystkie to jest monotoniczna.

* Def. Mówimy, że funkcja f na zbiorze A⊂X jest

1) parzysta <=> $\bigcap_{x \in A}^{}{\lbrack - x \in A \cap f\left( - x \right) = f(x)}\rbrack$

(parzysta wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego x nalezacego do dziedziny A wystepuje zaleznosc: -x należy do dziedziny A oraz f(-x) = f(x) )

2) nieparzysta <=> $\bigcap_{x \in A}^{}{\lbrack - x \in A \cap f\left( - x \right) = - f(x)}\rbrack$

Zbiór A musi być zbiorem symetrycznym

Tw: Funkcja jest parzysta <=> gdy oś Y jest osią symetrii jej wykresu

Tw: Funkcja jest nieparzysta <=> gdy początek układu współrzędnych jest środkiem symetrii jej wykresu

*Def. Funkcję f X->Y nazywamy różnowartościową na zbiorze A⊂X jeżeli $\bigcap_{x1,x2 \in A}^{}{\lbrack x1 \neq x2 = > f(x1) \neq f(x2)}\rbrack$

(…jeżeli dla każdego x1,x2 nalezacego do dziedziny A zachodzi zaleznosc: jeśli x1 jest rozne od x1 to f(x1) jest rozne od f(x2) )

warunek wystarczający różnowartościowości: Jeżeli funkcja f jest rosnąca lub malejąca na zbiorze A⊂X to jest na tym zbiorze różnowartościowa.

Wyznaczanie funkcji odwrotnej do danej funkcji. Warunek dostateczny istnienia funkcji odwrotnej.

Def. Niech f: X->Y „na” będzie różnowartościowa. Funkcją odwrotną nazywamy funkcję $f^{- 1}:Y \rightarrow X\ \text{tak}a,\ ze\ \bigcap_{x \in X}^{}{\bigcap_{y \in Y}^{}{(f^{- 1}\left( y \right) = x < = > f\left( x \right) = y)}}$

(taką, że dla każdego x nalezacego do dziedziny X oraz dla każdego y nalezacego do dziedziny Y zachodzi zaleznosc: f ^-1(y) rowna się x, wtedy i tylko wtedy gdy f(x) = y )

Własności:

1)$\bigcap_{x \in X}^{}{f^{- 1}\left( f\left( x \right) \right) = x}$

(dla każdego x nalezacego do dziedziny X zachodzi zaleznosc: f^-1(f(x) = x )

2)$\bigcap_{y \in Y}^{}{f(f^{- 1}\left( y \right)) = y}$

Przykład: $y = x^{2};x = \sqrt{y};y = \sqrt{x}$

Funkcje trygonometryczne: wykresy i własności

Y = sin(x)

Y = cos(x)

Y = tg(x)

Y = ctg(x)

Funkcja wykladnicza

Funk cyklometryczne: wykresy i własności

y=arcsin(x)

X1=<-1,1>, Y1 = <$- \frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} >$

y=arccos(x)

X1= <-1,1>, Y1=<0,π>

y=arctg(x)

X1= R, Y1 = <$- \frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} >$

y=arcctg(x)

X1=R, Y1=<0,π>

y=arcsinx<=>siny=x

y=arccosx<=>cosy=x

Przykłady funkcji w postaci jawnej, uwikłanej i parametrycznej.

1)w postaci jawnej, y=f(x); xϵX

2)funkcja uwikłana F(x,y)=0 , np. log(x² + y²)+arcsin(xy) = 0

3)funkcja określona parametrycznie, x = φ(t); y = Ps(t); tϵT

Tw. Jeżeli funkcja φ jest funkcją różnowartościową i φ : T → X to funkcja te można zapisać w postaci jawnej f(x)=Ѱ(φ⁻²(t))

a)x² + y² = 25;   y² + x² − 25 = 0 - p. uwikłana

$b)\ y = \pm \sqrt{25 - x^{2}}$ - p.jawna

c) x=5cost; y=5sint; t∈<0, 2π)

x² + y² = 25cos²t + 25sin²t = 25

4. Ciągi liczbowe

Def granicy właściwej ciągu. Własności granic.

$$\operatorname{}{a_{n} = g < = > \bigcap_{\varepsilon > 0}^{}{\bigcup_{n_{0}}^{}{\bigcap_{n > n_{0}}^{}{\left| a_{n} - g \right| < \varepsilon}}}}$$

(granica z an przy n dazacym do nieskonczonosci rowna się g, wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego ε większego od zera istnieje takie n₀ które jest mniejsze od n, oraz wartość bezwzgledna z a_n – g jest mniejsza od ε)

1)Jeśli ciąg jest zbieżny to ma tylko jedną granicę

2)Jeśli ciąg a_n jest zbieżny to każdy podciąg (a_nk) jest zbieżny do tej samej granicy

3)Jeśli ciąg jest zbieżny to jest ograniczony

4)Jeśli ciąg jest monotoniczny i ograniczony to jest zbieżny

5)Tw o trzech ciągach

6)=g1 ,  lim_{n → ∞}b_n = g2

±b_n)=g1 ± g2

*b_n)=g1 * g2

(c*a_n)=c * g1,  c ∈ R

$$\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{a_{n}}{b_{n}} = \frac{g1}{g2};g2 \neq 0\ \bigcap_{b}^{}{b_{n} \neq 0}$$

lim_{n → ∞}a_n^p = g1^p; p ∈ Z ∖ {0}

7)$\lim_{n \rightarrow \infty}\sqrt{}$…

8)$\lim_{n \rightarrow \infty}a^{n} = \begin{Bmatrix} 0,\ a \in ( - 1,1) \\ 1,\ a = 1 \\ \end{Bmatrix}$

lim_{n → ∞}( − 1)ⁿ nie istnieje

9)Jeżeli ciąg o wyrazach an jest zbieżny do granicy różnej od 0 i wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie to $\lim_{n \rightarrow \infty}\sqrt[k]{a_{n}} = 1$

Tw o trzech ciągach

Jeżeli

a) =lim_{n → ∞}b_n = g

b)$\bigcup_{n_{o}}^{}{\bigcap_{{n > n}_{o}}^{}{a_{n} \leq c_{n} \leq b_{n}}}$, to lim_{n → ∞}c_n=g

Def liczby e. Funk hiperboliczne.

e= gr ciągu o wyrazach .

$\text{sinhx} = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ f.nieparzysta

$\text{coshx} = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ f.parzysta

$\text{tghx} = \frac{\text{sinhx}}{\text{coshx}}$ f.nieparzysta

$\text{ctghx} = \frac{\text{coshx}}{\text{sinhx}},\ x \neq 0$ x=R/{0} f.nieparzysta

cosh²x − sinh²x = 1

cosh2x = cosh²x + sinh²x

sinh2x = 2sinhx * coshx

sin(x±y) = sinhx * coshy ± coshx * sinhy

cos(x±y) = coshx * coshy ± sinhx * sinhy

Granice ciągów: , gdzie a jest dowolną stałą.

$$\bigcap_{a > 0}^{}{\operatorname{}{\sqrt[n]{a} = 1;\ }}\operatorname{}{\sqrt[n]{n} = 1;\ }$$

(dla każdego a większego od zera istnieje granica z pierwsiatka n-tego stopnia z a, która się rowna 1, przy n dazacym do nieskonczonosci, oraz istnieje granica z pierwiastka n-tego stopnia z n, która się rowna 1, przy n dazacym do nieskonczonosci)

Def granicy niewłaściwej ciągu. Trzy przykładowe twierdzenia o granicach niewłaściwych ciągów

$$\operatorname{}{\text{an} = + \infty \leq > \bigcap_{M}^{}{\bigcup_{n0}^{}{\bigcap_{n > n_{0}}^{}{a_{n} > M}}}}$$

()

a + ∞ = ∞ dla − ∞ < a ≤ ∞ (∞+∞) = ∞, symbol nieoznaczony −∞+∞

a^∞ = 0,    0 < a < 1, a^−∞ = ∞,   0 < a < 1,

a^∞ = ∞,    1 < a ≤ ∞, a^−∞ = 0,    1 < a ≤ ∞

∞^a = 0,    − ∞ ≤ a < 0, ∞^a = ∞,   0 < a ≤ ∞

Symbole nieoznaczone.

$- \infty + \infty;0* \mp \infty;\frac{\infty}{\infty};\frac{- \infty}{\infty};1^{\infty};\infty^{0}$;$\frac{0}{0}$;0⁰

Tw o dwóch ciągach.

Niech $\bigcup_{n_{o}}^{}{\bigcap_{{n > n}_{o}}^{}{a_{n} \leq b_{n}}}$

(niech dla każdego n₀ mniejszego od n istnieje ciag liczbowy b_n większy lub rowny ciągowi a_n)∖n1. Jeżeli granica an = ∞,  tobn = ∞

2. jeżelibn = −∞, toan = −∞

5. Granice i pochodne funkcji jednej zmiennej

Def i interpretacja geometryczna granicy właściwej funkcji w punkcie.

Definicja Cauchy’ego

Dana jest funkcja f:X->Y, Y⊂R, X⊂R

$$\operatorname{}{f\left( x \right) = g < = > \bigcap_{\varepsilon > 0}^{}{\bigcup_{\delta > 0}^{}{\bigcap_{x}^{}{\lbrack 0 < \left| x - x_{0} \right| < \delta = > \left| f\left( x \right) - g \right| < \varepsilon\rbrack}}}}$$

(granica przy x dazacym do x₀ z f(x) rowna się g, wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego ε większego od zera oraz δ większego od zera istnieje taki x, że wartość bezwzgledna z x – x₀ jest wieksza od zera oraz ta wartość jest mniejsza od δ, to wartość bezwzgledna z f(x) – g jest mniejsza od ε)

$$\operatorname{}{f\left( x \right) = g < = > \bigcap_{U(g,\varepsilon)}^{}{\bigcup_{S(x_{0},\delta)}^{}{\bigcap_{x \in S}^{}{f\left( x \right) = U\left( g,\varepsilon \right)}}}}$$

$$\operatorname{}{f\left( x \right) = g}\operatorname{\ \ \ \ \ }{f\left( x \right) = g}$$

Tw: Funkcja f ma w każdym punkcie x0 granicę g <=> gr lewostronna jest równa granicy prawostronnej w tym punkcie i są równe g.

f(x) = g < = > f(x) =  f(x) = g

Def i interpretacja geometryczna granicy niewłaściwej funkcji w punkcie.

Def. Granica niewłaściwa funkcji w punkcie x₀’

$$\operatorname{}{f\left( x \right) = + \infty < = >}\bigcap_{M > 0}^{}{\bigcup_{\delta > 0}^{}{\bigcap_{x}^{}\lbrack}}0 < \left| x - x_{0} \right| < \delta = > f\left( x \right) > M\rbrack$$

f(x) = −∞………f(x) < M

Def granicy funkcji w niesk.

$$\operatorname{}{f\left( x \right) = g < = >}\bigcap_{\varepsilon > 0}^{}{\bigcup_{k}^{}{\bigcap_{x}^{}\lbrack}}x > k = > \left| f\left( x \right) - g \right| < \varepsilon\rbrack$$

(granica z f(x) rowna się g, wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego ε większego od zera oraz k istnieje taki x, że jeśli x jest większe od k to wartosc bezwzgledna z f(x) – g jest mniejsza od ε)

$$\operatorname{}{f\left( x \right) = + \infty < = >}\bigcap_{M > 0}^{}{\bigcup_{k}^{}{\bigcap_{x}^{}\lbrack}}x > k = > f\left( x \right) > M\rbrack$$

$$\operatorname{}{f\left( x \right) = - \infty < = >}\bigcap_{M < 0}^{}{\bigcup_{k}^{}{\bigcap_{x}^{}\lbrack}}x > k = > f\left( x \right) > M\rbrack$$

W przypadku gdy x dąży do -∞ x>k zastępujemy x<k

Granice podstawowych wyrażeń nieoznaczonych.

$$\operatorname{}{\frac{\text{sinx}}{x} = 1;\ }\operatorname{}{\frac{\text{tgx}}{x} = 1;\ }$$

$$\operatorname{}{\frac{a^{x} - 1}{x} = \ln a\text{\ \ }\text{dla}\ a > 0\ ;\ \ \ }\operatorname{}{\frac{e^{x} - 1}{x} = 1\ }$$

$\operatorname{}{\frac{\operatorname{}{(1 + x)}}{x} = \operatorname{}e\ }$ dla a>0, a≠1; $\operatorname{}{\frac{\ln{(1 + x)}}{x} = 1\ }$

$$\lim_{x \rightarrow \pm \infty}{(1 + \frac{1}{x})}^{x} = e$$

Def funkcji ciągłej w punkcie i w przedziale domkniętym.

Def. Funkcję f nazywamy ciągłą w x₀ ∈ X, jeżeli f(x) = f(x₀)

ciągłość prawostronna f(x) = f(x₀)

ciągłość lewostronna f(x) = f(x₀)

Funkcję nazywamy ciągłą w przedziale domkniętym <a,b> jeżeli jest ciągła w (a,b) i prawostronnie ciągła w a i lewostronnie ciągła w b.

Cztery własności funkcji ciągłych w przedziale domkniętym.

1)o lokalnym zachowaniu znaków (o zachowaniu znaku w otoczeniu x0) – jeżeli funkcja w pewnym punkcie jest ciągła i dodatnia (ujemna) to jest również dodatnia (ujemna) w pranym otoczeniu tego punktu

2)o przyjmowaniu wartości pośrednich – funkcja ciągła w przedziale domkniętym przyjmuje w tym przedziale każdą wartość pośrednią między wartościami w końcach przedziału

3)o miejscach zerowych funkcji – jeżeli funkcja jest ciągła w przedziale domkniętym <a,b> i f(a)*f(b)<0, to istnieje przynajmniej jedno miejsce zerowe funkcji w tym przedziale.$\bigcup_{c \in (a,b)}^{}{f\left( c \right) = 0}$

4)o ograniczoności funkcji- funkcja ciągła w przedziale domkniętym osiąga w tym przedziale wartość największą i najmniejszą (to funkcja jest ograniczona)

Def i interpretacja geometryczna pochodnej funkcji w punkcie.

$$f^{'}\left( x \right) \operatorname{}\frac{f\left( x_{0} + x \right) - f(x_{0})}{x}$$

Def różniczki funkcji w punkcie i jej zastosowanie do obliczeń przybliżonych.

Funk f jest różniczkowalna w punkcie x₀ wtedy i tylko wtedy, gdy ma w tym punkcie pochodną

$$f^{'}\left( x_{0} \right) = \text{tgα} = \frac{\text{df}(x0)}{x}$$

f(x₀+x) ≈ f(x₀) + f^′(x₀)x – wzór służący do określania przybliżonych wartości wyrażeń

Twierdzenie o pochodnej funkcji złożonej.

Jeżeli F(x)=g(f(x)) funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x₀, funkcja g jest różniczkowalna w punkcie u₀=f(x₀) to F jest różniczkowalna w x₀ i F’(x₀)=g’(u₀)f’(x₀), gdzie u₀=f(x₀)

Tw o pochodnej funk odwrotnej, przykładowe zastosowania.

Jeżeli funkcja y=f(x) i x=f^-1(y) są funkcjami wzajemnie odwrotnymi funkcji f^-1(y) ma różną od 0 pochodną w punkcie y₀, to

$f^{'}\left( x_{0} \right) = \frac{1}{\lbrack f^{- 1}\left( y_{0} \right)\rbrack'}$; Gdzie y₀=f(x₀)

Przykłady:

$$\left( \text{lnx} \right)^{'} = \frac{1}{x}$$

y = lnx < = > x = e^y

$$\left( \text{lnx} \right)^{'} = \frac{1}{\left( e^{y} \right)'} = \frac{1}{e^{y}} = \frac{1}{x}$$

Wzory

(c)’=0

(ax)’=a

(xⁿ)^′ = nx^n − 1

$$\left( \frac{a}{x} \right)^{'} = - \frac{a}{x^{2}}$$

$$\left( \sqrt{x} \right)^{'} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

(e^x)′ = e^x

(a^x)^′ = a^xlna

(lnx)′ = 1/x

x)′ = 1/x ln a 

(sinx)^′ = cosx; (cosx)’=-sinx

(tgx)’ =$\frac{1}{\cos^{2}x} = 1 + \text{tg}^{2}x$; (ctgx)’ =$\frac{1}{\sin^{2}x} = - (1 + \text{ctg}^{2}x)$

(arc sinx)’ =$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$; (arc cosx)’ =$\frac{- 1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

(arc tgx)’ =$\frac{1}{1 + x^{2}}$; (arc ctgx)’ =$\frac{- 1}{1 + x^{2}}$

(f±g)’ = f’±g’

(c*f)’=c*f’

(f*g)’=f’g+fg’

(f/g)’ =$\frac{f^{'}g - \text{fg}'}{g^{2}}$

[f(y)]’=f’*y’

y = f(x)^g(x) dla f(x)>0, x∈X

y = e^g(x)ln[f(x)]

$$\left\{ \begin{matrix} x = \varphi(t) \\ y = \varphi(t) \\ \end{matrix} \right.\ $$

α ≤ t ≤ β

Załóżmy, że istnieje funkcja odwrotna do funkcji φ

x = φ(t) < = > t = φ⁻¹(x)

y = φ(φ⁻¹(x))

$$y^{'}\left( x \right) = \frac{\varphi^{'}(t)}{\varphi(t)}$$

Tw Taylora

Jeżeli f ma ciagle pochodne do rzedu (n-1) wlacznie w przedziale <x0, x > oraz ma pochodna rzedu n w (x0, x) to istnieje c należące do (x0, x) takie, ze:

F(x) = f(x0) + f’(x0) / 1! * (x-x0) + f’’(x0) / 2! * (x-x0)^2 + … + f^(n-1) (x0) / (n-1)! * (x-

x0)^n-1 + f^(n) ( c ) / (n)! * (x – x0)^n

Przykład:

Zapisac wzor Taylora dla funkcji f(x) = xe^x w przypadku gdy n = 2, x0 = - 1

f(x) = f(x0) + (f’(x0)/1!)*(x-x0) + (f’’( c)/2!)*(x-x0)^2

Wzor Maclaurina

Szczegolny przypadek wzoru Taylora gdy x0 = 0

Tw Rolle’a o wartości średniej.

Jeżeli funkcja f jest:

1)ciągła w <a,b>

2)różniczkowalna (a,b)

3)f(a)=f(b)

to istnieje (przynajmniej jeden) taki punkt c ∈ (a, b) taki,że f’(c)=0

Tw Lagrange’a o wartości średniej.

Jeżeli funk f jest:

*ciągła w <a,b>

*różniczkowalna (a,b)

to istnieje punkt (co najmniej 1) c taki, że f’c = $\frac{f\left( a \right) - f(b)}{a - b}$; $a = tg \propto = \frac{f\left( b \right) - f(a)}{b - a}$

wnioski z tw Lagrange’a.

*Jeżeli f’(x)=0 dla każdego x ∈ (a, b), to f jest funkcją stałą w (a,b)

*Jeżeli f’(x)>0 dla każdego x ∈ (a, b),, to funkcja jest rosnąca w tym przedziale

*Jeżeli f’(x) <0 dla każdego x ∈ (a, b), to funkcja jest malejąca w tym przedziale

Def minimum i maksimum lokalnego funkcji.

Def. Niech funkcja będzie określona w pewnym otoczeniu punktu x0. Mówimy, że funkcja f osiąga w x0 minimum lokalne (maksimum lokalne) jeżeli istnieje takie sąsiedztwo S(x0), że

$\bigcap_{x \in S(x0)}^{}{f\left( x0 \right) \leq f\left( x \right)}$; $\bigcap_{x \in S\left( x0 \right)}^{}{f\left( x0 \right) \geq f\left( x \right)}\ (\text{maksimum})$

Tw Fermata – warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego funkcji.

*Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcje x0 i osiąga w tym punkcie ekstremum, to pochodna funkcji w tym punkcie jest równa 0.

*Warunkiem koniecznym na to, by funkcja różniczkowana miała w danym punkcie ekstremum, jest zerowanie się pochodnej w tym punkcie. Warunek konieczny nie obejmuje wszystkich przypadków(np. gdy funkcja w x0 nie jest różniczkowalna)

*Transpozycja Tw. Fermata: Jeżeli f^′(x0)≠0 to w punkcie x0 ekstremum nie istnieje.

*Funk może mieć ekstrema lokalne w punktach należących do dziedziny, w których pochodna nie istnieje albo istnieje i jest równa 0

Warunki wystarczające istnienia ekstremum lokalnego funk.

1)Jeżeli funkcja f jest ciągła w punkcie x0 i różniczkowalna w sąsiedztwie tego punktu S(x0,δ)

a)oraz f’(x)<0 dla x ∈ S₋(x0,  δ); f’(x)>0 dla x ∈ S₊(x0,  δ) to funkcja osiąga w x0 minimum lokalne (właściwe)

b)albo f’(x)>0 dla x ∈ S₋(x0,  δ); f’(x)<0 dla x ∈ S₊(x0,  δ) to funkcja osiąga maksimum lokalne właściwe

2)Jeżeli funkcja jest dwukrotnie różniczkowalna w pewnym otoczeniu punktu x0 oraz

a)f’(x0)=0

b)f’’(x0)≠0

c) jest ciągła w x0

to funkcja f ma w punkcie x0 ekstremum lokalne. Jest to maksimum jeżeli f’’(x0)<0 a minimum jeżeli f’’(x0)>0

UOGÓLNIENIE. Jeżeli funkcja f jest n-krotnie różniczkowalna w otoczeniu punktu x0 oraz 1)wszystkie pochodne w punkcie x0 są zerami; 2)f⁽ⁿ⁾(x0)≠0; 3) f⁽ⁿ⁾ jest ciągła w x0, i n jest liczbą parzystą, to funkcja f ma w x0 ekstremum lokalne. Jest to maksimum jeżeli f⁽ⁿ⁾(x0) < 0 albo minimum jeżeli f⁽ⁿ⁾(x0)>0

Wklęsłość i wypukłość – warunki wystarczające.

Jeżeli pochodna drugiego rzędu funkcji f jest dodatnia (ujemna) w (a,b) to krzywa y=f(x) jest wypukła (wklęsła) w tym przedziale.

Punkty przegięcia krzywej - warunek konieczny i wystarczające.

WARUNEK KONIECZNY: Jeżeli krzywa y=f(x) ma w punkcie x0 punkt przegięcia i istnieje ciągła pochodna drugiego rzędu funkcji f w pewnym otoczeniu punktu x0, to f’’(x0)=0.

Punkty przegięcia mogą być w punktach zerowania się drugiej pochodnej lub w punktach, w których ta pochodna nie istnieje ale x∈D funkcji.

WARUNEK DOSTATECZNY:

1)Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w otoczeniu punktu x0 U(x0,  δ) i dwukrotnie różniczkowalna w sąsiedztwie tego punktu S(x0,  δ) oraz to P0(x0,f(x0)) jest punktem przegięcia

2)Jeżeli funkcja f jest trzykrotnie różniczkowalna w pewnym otoczeniu punktu x0 oraz

*f’’(x0)=0

*f’’’(x0)≠0

*f’’ jest ciągła w punkcie x0

to P(x0,f(x0)) jest punktem przegięcia tej krzywej

Tw de L’Hospitala.

Jeżeli funkcja f i g są różniczkowalne w pewnym sąsiedztwie punktu x0 oraz granice tych funkcji :

1)f(x) = 0; g(x) = 0

(albo f(x) = ±∞ ;g(x) = ±∞) 

2)Istnieje $\operatorname{}\frac{f^{'}(x)}{g^{'}(x)}$ (właściwa lub niewłaściwa)

to istnieje $\operatorname{}\frac{f^{'}(x)}{g^{'}(x)}$

1. [∞-∞] ; f(x)-g(x)=$\frac{f\left( x \right) - g(x)}{1} = \frac{\frac{f\left( x \right) - g(x)}{f\left( x \right)*g(x)}}{\frac{1}{f\left( x \right)g(x)}} = \frac{\frac{1}{g(x)} - \frac{1}{f(x)}}{\frac{1}{f\left( x \right)g(x)}}$

2. , , ; f(x)^g(x) = e^g(x)lnf(x) dla f(x) > 0

3. $0*\infty\ ;\ \ f*g = \frac{f}{\frac{1}{g}}$

Wyznaczanie asymptot , warunek konieczny i wystarczający istnienia asymptoty ukośnej.

Prosta y=ax+b jest asymptotą ukośną funkcji y=f(x) wtedy i tylko wtedy gdy:

$\operatorname{}{\frac{f\left( x \right)}{x} = a\ i\ }\lim_{x \rightarrow - \infty}\left( f\left( x \right) - ax \right) = b$ lub $\operatorname{}{\frac{f\left( x \right)}{x} = a\ i\ }\lim_{x \rightarrow \infty}\left( f\left( x \right) - ax \right) = b$

8. Macierze i wyznaczniki

Def macierzy prostokątnej wymiaru mxn, rodzaje macierzy.

Niech {1,2,…m} i {1,2,…n}

D= {1,2,…m} × {1,2,…n} = {(i,j): i=1,2,…m; j=1,2…n}

X-zbiór liczb rzecz (lub zespolonych, zbiór wielomianów…)

Każdemu elementowi zbioru X przyporządkowujemy jedną parę

Odwzorowanie A przyporządkowujące A:

(i,j)→a_ij, a_ij ϵX i=1,2,…m j=1,2,…n

nazywamy macierzą ze zbioru „m na n”

Jeśli m=n to macierz nazywamy macierzą kwadratową

Jeśli m≠n to macierz nazywamy macierzą prostokątną

A[a_ij]_m→n=$\begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2}\ldots & a_{1,n} \\ a_{\begin{matrix} 2,1 \\ . \\ . \\ . \\ \end{matrix}} & a_{2,2}\ldots & a_{\begin{matrix} 2,n \\ . \\ . \\ . \\ \end{matrix}} \\ a_{m,1} & a_{m,2}\ldots & a_{m,n} \\ \end{bmatrix}$

Inne rodzaje macierzy:

-kolumnowa (zredukowana do 1 kolumny, wektor kolumnowy), macierz o wymiarze m×1 A=$\begin{bmatrix} a_{1,1} \\ a_{\begin{matrix} 2,1 \\ . \\ . \\ . \\ \end{matrix}} \\ a_{m,1} \\ \end{bmatrix}$

-wierszowa (zredukowana do 1 wiersza, wektor wierszowy), macierz o wymiarze 1×n A=$\begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2}\ldots & a_{1,n} \\ \end{bmatrix}$

-zerowa, o wymiarze m×n złożona z samych zer:

a_ij=0 i=1,…m j=1,…n

-kwadratowa stopnia n (m=n)

A=$\begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2}\ldots & a_{1,n} \\ a_{\begin{matrix} 2,1 \\ . \\ . \\ . \\ \end{matrix}} & a_{2,2}\ldots & a_{\begin{matrix} 2,n \\ . \\ . \\ . \\ \end{matrix}} \\ a_{m,1} & a_{m,2}\ldots & a_{m,n} \\ \end{bmatrix}$

główna przekątna

-diagonalna- poza przekątna ma same zera

A=$\begin{bmatrix} a_{1,1} & 0\ldots & 0 \\ 0_{\begin{matrix} \\ . \\ . \\ . \\ \end{matrix}} & a_{2,2}\ldots & 0_{\begin{matrix} \\ . \\ . \\ . \\ \end{matrix}} \\ 0 & 0\ldots & a_{m,n} \\ \end{bmatrix}$

-jednostkowa stopnia n a_1,1=a_2,2=a_3,3=…=a_m,n=1 a wszystkie inne wyrazy są zerami

-transponowana A=[a_ij]_mxn

A^T=[a_ij]^T_mxn=[a_ij]_nxm

A^T=A

-symetryczna a_ij=a_ji i=1,…m j=1,…n

Np.: A=$\begin{bmatrix} 1 & 4 & 5 \\ 4 & 2 & 6 \\ 5 & 6 & 3 \\ \end{bmatrix}$

-trójkątna górna: ${\det\begin{bmatrix} a_{11} & \text{..} & \text{..} \\ 0 & a_{22} & \text{..} \\ 0 & 0 & a_{\text{nn}} \\ \end{bmatrix}}_{\text{nxn}} = a_{11} \bullet a_{22}\ldots \bullet a_{\text{nn}}$

Wyznacznik macierzy trójkątnej jest równy iloczynowi elementów stojących na jego głównej przekątnej.

Działania na macierzach

A=[a_ij]_mxn B=[b_ij]_mxn

-dodawanie C=A+B C=[a_ij+b_ij]_mxn

-mnożenie αϵC (dowolna liczba zesp)

α∙A=D D=[α∙a_ij]_mxn

α=(-1) -A=[a_ij∙(-1)]_mxn

-odejmowanie B+(-A)=B-A [b_ij-a_ij]

Wł działań na macierzach:

1)A+B=B+A

2)A+(B+C)=(A+B)+C

3)0-macierz zerowa tego samego stopnia co macierz A A+0=A (0-element neutralny)

4)(-A) obraz przeciwny do macierzy A A+(-A)=0

Mnożenie macierzy A przez macierz B:

A=[a_ij]_mxn B=[b_ij]_nxp

A∙B=C C[c_ip]_mxp

C_ip=a_i1b_1k+ a_i2b_2k+ a_i3b_3k… a_inb_nk=$\sum_{j = i}^{n}{a_{j}b_{\text{jk}}}$ i=1,2,…m; k=1,2,…p

Mnożenie nie jest przemienne A∙B≠B∙A

A=$\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ - 2 & 0 \\ 1 & - 1 \\ \end{bmatrix}_{3x\mathbf{2}}$ B=$\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & - 1 \\ \end{bmatrix}_{\mathbf{2}x2}$ A∙B=$\begin{bmatrix} 7 & - 1 \\ - 4 & 0 \\ 1 & 1 \\ \end{bmatrix}$

B∙A -jest niemożliwe

A-macierz kwadratowa stopnia n

I- macierz jednostkowa stopnia n

1) A∙I = I∙A = A

2) A∙0 = 0

3) A∙(B∙C) = (A∙B)∙C jest łączne

4) A(B+C) = A∙B+A∙C (A+B)C = A∙C+B∙C

rozdzielność mnożenia względem dodawania

5) (A+B)^T = A^T+B^T

6) (α∙A)^T = α∙A^T ,αϵC

7) (A∙B)^T = B^T∙A^T

8) A∙A…∙A = Aⁿ ,(Aⁿ)^T = (A^T)ⁿ

Def wyznacznika macierzy kwadratowej.

Wyznaczniki można wyliczyć tylko z macierzy kwadratowych

Def. Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A=[a_ij]_nxn nazywamy funkcję, która każdej macierzy (zespolonej) A przypisuje liczbę rzeczywistą det A określoną wzorem:

1) n=1 A=[a_n], det A=a_n

2) n≥2 , to det A=a₁₁∙detA₁₁ – a₁₂∙detA₁₂ + a₁₃∙detA₁₃ +…+(-1)¹⁺ⁿa_1n∙detA_1n

A_1j powstaje z macierzy A przez wykreślenie pierwszego wiersza i j-tej kolumny

Niech A=$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{bmatrix}$ det A=$\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{matrix} \right|$

det A=a₁₁∙detA₁₁ – a₁₂∙detA₁₂ = a₁₁∙det[a₂₂] – a₁₂∙det[a₂₁] = a₁₁∙a₂₂ – a₁₂∙a₂₁

Obliczanie wyznaczników metodą Sarrusa i metodą Laplace’a.

Wyznaczniki 3x3 można liczyć metodą Sarussa

I sposób:

$$\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{matrix} \right|\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \\ \end{matrix}$$

+

II sposób:

$\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{matrix} \right|$

$\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ \end{matrix} \right|$

Def. dopełnienia algebraicznego

Niech macierz A o elementach a_ij

A=[a_ij]_nxm n≥2

Dopełnieniem algebraicznym D_ij nazywamy liczbę:

D_ij (-1)^i+j∙detA_ij i=1,…n j=1,…n gdzie:

A_ij – macierz powstała z macierzy A przez wykreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny

Metoda LaPlace`a

Tw. o rozwinięciu wyznacznika względem i-tego wiersza (lub j-tej kolumny)

Wyznacznik macierzy A=[a_ij]_nxn, n≥ jest równy swemu rozwinięciu względem elementów i-tego wiersza (lub j-tej kolumny) dla każdego i,j=1…n

detA = a_i1∙D_i1 + a_i2∙D_i2 +…+a_in∙D_in rozwinięcie względem i-tego wiersza

detA = a_1j∙D_1j + a_2j∙D_2j +…+a_nj∙D_nj rozwinięcie względem j-tej kolumny

Wł wyznaczników pozwalające stwierdzić, kiedy wyznacznik jest zerem.

A-macierz kwadratowa stopnia n

1)jeśli w macierzy A jedna z kolumn (lub wierszy) jest złożona z samych 0 to detA=0

2)jeśli w macierzy A są dwie jednakowe kolumny (lub wiersze) to detA=0

3)jeśli elementy pewnego wiersza(kolumny) macierzy A są proporcjonalne do odpowiednich elementów innego wiersza(kolumny) tej macierzy to detA=0

4)jeśli przestawimy 2 wiersze (kolumny) w wyznaczniku macierzy A to detA zmieni znak na przeciwny

5)jeśli wszystkie elementy pewnego wiersza (kolumny) macierzy A zawierają wspólny czynnik, to czynnik ten można wyłączyć przed detA

det[c∙A] = cⁿ∙detA

6)jeśli do elementów wiersza(kolumny) macierzy A dodamy odpowiednie elementy innego wiersza (kolumny) pomnożone przez tę samą stałą c to nie zmieni się detA (operację tę nazywamy…)

7)transponowanie macierzy nie zmienia wyznacznika det(A^T)=detA

8)jeśli A₁,A₂,…A_K będą macierzami kwadratowymi, niekoniecznie tych samych stopni, wtedy wyznacznik: det$\begin{bmatrix} A_{1} & 0 & 0 \\ B_{\begin{matrix} 21 \\ . \\ . \\ . \\ \end{matrix}} & A_{\begin{matrix} 2 \\ . \\ . \\ . \\ \end{matrix}} & 0 \\ B_{K1} & B_{K2\ldots} & A_{K} \\ \end{bmatrix}$= detA₁∙det…∙detA_K

9)jeśli A i B to macierze kwadratowe stopnia n det(B∙A) = det(A∙B) = detA∙detB

Tw. Cramera o rozwiązalności układu rownan

Rozwiazanie układu Cramera dane jest wzorem

X_k = |A_k| / |A| dla k= 1,2,…,n

Gdzie A_k jest wyznacznikiem macierzy powstałej z macierzy A przez zastąpienie kolumny o numerze k kolumna wyrazow wolnych

Tw. Kroneckera-Capellego

Warunkiem koniecznym i dostatecznym rozwiązalności układu jest rownosc rzedow macierzy A i macierzy B

Jeżeli r oznacza wspolny rząd obu macierzy to:

- jeżeli r= n to układ ma dokładnie jedno rozwiązanie

- jeżeli r < n to układ ma nieskończenie wiele rozwiazan, które zaleza od n-r parametrow

Metoda eliminacji Gaussa – opis

1. Wypisujemy dla danego układu rownan macierz rozszerzona B

2. Za pomocą operacji elementarnych wykonywanych na wierszach macierzy B doprowadzamy macierz B do postaci, w której poniżej elementow a_ii sa tylko zera (wygodnie jest nadac elementom a_ii wartosc rowna 1)

Operacje elementarne:

1. Zamiana miejscami dowolnych wierszy.

2. Mnożenie wierszy przez dowolne liczby rozne od zera

3. Dodanie do wybranego wiersza innego wiersza którego elementy zostały pomnożone przez dowolna stala liczbowa.

Def macierzy odwrotnej.

Def. Macierzą odwrotną do macierzy A (kwadratowej stopnia n) nazywamy A^-1, która spełnia warunek

A∙A^-1 = A^-1∙A = I

I- macierz jednostkowa tego samego stopnia n

Jeżeli macierz odwrotna do macierzy A istnieje, to mówimy, że macierz A jest odwracalna.

Jeżeli macierz A jest odwracalna to istnieje dokładnie 1 macierz odwrotna.

A-macierz A jest macierzą osobliwą detA=0

A-macierz A jest macierzą nieosobliwą detA≠0

Macierz kwadratowa A jest odwracalna wtedy i tylko wtedy gdy detA≠0

Metody wyznaczania macierzy odwrotnej: metoda dopełnień algebraicznych i metoda bezwyznacznikowa.

Metoda dopełnień algebraicznych

Jeżeli detA≠0, A-macierz kwadratowa stopnia n, to $A^{- 1} = \frac{1}{\text{detA}} \bullet D^{T}$

gdzie: D=[D_ij]_mxn jest macierzą dopełnień algebraicznych

Metoda bezwyznacznikowa

Niech detA≠0, A-macierz kwadratowa stopnia n,

1) [A/I]

2) Na wierszach tej macierzy wykonujemy przekształcenia polegające na przestawieniu wierszy

a)?

b)mnożeniu dowolnego wiersza prze liczbę ≠0

c)dodawaniu do wiersza innego wiersza pomnożonego przez dowolną stałą

Mają doprowadzić do postaci [I∙B], wtedy A^-1=B

Wł macierzy odwrotnych.

1) $\det A^{- 1} = \frac{1}{\text{detA}}$

2) (detA^-1) = detA

3) (A^T)^-1 = (A^-1)^T

4) (A∙B)^-1 = B^-1∙A^-1

5) ${(\alpha \bullet A)}^{- 1} = \frac{1}{\alpha} \bullet A^{- 1}$; αϵC\{0}

6) (Aⁿ)^-1 = (A^-1)ⁿ; nϵN

Def i wyznaczanie rzędu macierzy.

Def. Minor stopnia k macierzy A to wyznacznik utworzony z elementów macierzy A stojących na przecięciu dowolnie wybranych k wierszy i k kolumn.

A[a_ij]_mxn kϵN, k≤n

Przykład:

A=$\left\lbrack \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 5 \\ \end{matrix} \right.\ $ $\left. \ \begin{matrix} 4 \\ 6 \\ 7 \\ \end{matrix} \right\rbrack$ Minory stopnia trzeciego macierzy A

$\left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 5 \\ \end{matrix} \right|$ $\left| \begin{matrix} 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 5 & 7 \\ \end{matrix} \right|$ $\left| \begin{matrix} 1 & 3 & 4 \\ 0 & 4 & 6 \\ 1 & 5 & 7 \\ \end{matrix} \right|$ $\left| \begin{matrix} 1 & 2 & 4 \\ 0 & 2 & 6 \\ 1 & 3 & 7 \\ \end{matrix} \right|$

Przykładowy minor drugiego stopnia $\left| \begin{matrix} 2 & 4 \\ 2 & 6 \\ \end{matrix} \right|$

Def. Rzędem macierzy nazywamy najwyższy stopień jej niezerowego minora.

Rząd macierzy A[a_ij]_mxn nie jest większy od mniejszej z liczb m,n!

Rząd macierzy zerowej jest zerem.

Tw. Rząd macierzy nie ulega zmianie gdy:

a)przestawimy wiersze (kolumny) macierzy

b)wiersze (kolumny) pomnożymy przez stałą ≠0

c)do elementów wiersza (kolumny) dodamy inny wiersz (kolumnę) pomnożoną przez stałą

d)wykreślimy wiersz (kolumnę) złożony z samych zer

Kryterium Leibniza

6. Całka nieoznaczona

Def i własnosci całki nieoznaczonej
Def. Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f na zbiorze X nazywamy całką nieoznaczoną(i oznaczoną).
∫ f(x) dx = F(x) + C [F(x)+C]` = f(x)

f(x) – funkcja podcałkowa
f(x)dx – wyrażenie podcałkowe
x – zmienna całkowania
Jeżeli funkcje f(x) i g(x) całkowalna w sensie Newtona w przedziale X
k=const; k ≠0, to
1) ∫ [f(x) ±g(x)]dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx
2) ∫ k f(x)dx = k∫ f(x) dx

Tw: o pochodnej całki i o całce z pochodnej.

O pochodnej całki:(∫f(x)dx)′ = f(x)

O całce pochodnej:∫f^′(x)dx = f(x) + c

wzory

∫0dx = c ∖ n

$$\int_{}^{}\frac{1}{\cos^{2}}\text{dx} = \text{tgx}$$

$$\int_{}^{}\frac{1}{\sin^{2}}\text{dx} = - \text{ctgx}$$

$$\int_{}^{}\frac{\text{dx}}{\sqrt{{1 - x}^{2}}} = \text{arcsinx} = - \text{arccosx}$$

$$\int_{}^{}\frac{\text{dx}}{1 + x^{2}} = \text{arctgx} = - \text{arcctgx}$$

∫sinhxdx = coshx

∫coshxdx = sinhx

$$\int_{}^{}{\frac{1}{\sinh^{2}x}\text{dx} = - \text{ctghx}}$$

$$\int_{}^{}{\frac{1}{c\text{osh}^{2}x}\text{dx} = \text{tghx}}$$

$$\int_{}^{}{\frac{f^{'}(x)}{f(x)}\text{dx} = \ln\left| f\left( x \right) \right| + c}$$

$$\int_{}^{}{\frac{f^{'}(x)}{\sqrt{f(x)'}}\text{dx} = 2\sqrt{f(x)} + c}$$

Tw o całkowaniu przez podstawienie.

Jeżeli:
1) Funk f(x) jest ciągła na przedziale <a,b>
2) t=h(x) ma ciągłą pochodną na przedziale (c,d)
3) h: [c,d] na [a,b]
to: ∫ f(h(x))h’(x)dx = ∫f(t)dt = F(h(x)) + C
gdzie F jest funkcją pierwotną funkcji f.

Tw o całkowaniu przez części.
U,V – funkcja różniczkowalna w przedziale
∫U(x)*V’(x)dx = U(x)V(x) - ∫U’(x)*V(x)dx

Rodzaje ułamków prostych.

*I rodzaju w postaci $\frac{A}{({x + a)}^{n}};n \in N;a,A \in R$ (przez podstawienie)

*II rodzaju $\frac{\text{px} + a}{{(x^{2} + \text{px} + q)}^{n}},\ n \in N;P,Q,p,q \in R,\ p^{2} - 4q < 0$

Tw. o rozkładzie funkcji wymiernej na ułamki proste: Każda funkcja wymierna właściwa jest sumą ułamków prostych. Przedstawienie to jest jednoznaczne.

Obliczanie całek z funkcji wymiernej

$$\frac{P(x)}{Q(x)} = W\left( x \right) + \frac{R(x)}{Q(x)} < = > P\left( x \right) = W\left( x \right)Q\left( x \right) + R(x)$$

P(x) – wielomian stopnia p

Q(x) – wielomian stopnia q

p<q - funkcja wymierna właściwa

p>q - funkcja wymierna niewłaściwa

W(n) – wielomian stopnia p-q

Całkowanie funkcji trygonometrycznych postaci, podstawienie uniwersalne.

$$\int_{}^{}{\sin^{p}x\cos^{q}}\text{xdx} = \left\{ \begin{matrix} p\ \text{nieparzysta}\frac{\text{cosx} = t}{\text{sinxdx} = - \text{dt}} \\ q\ \text{nieparzyste}\frac{\text{sinx} = t}{\text{cosxdx} = \text{dt}} \\ p\ i\ q\ \text{parzyste}\frac{\sin^{2}x = \frac{1 - \cos 2x}{2}}{\cos^{2}x = \frac{1 + \cos 2x}{2}} \\ \end{matrix} \right.\ $$

$\int_{}^{}{R\left( \text{tgx},\text{ctgx} \right)\text{dx}} = \int_{}^{}{R(t,\frac{1}{t}})\frac{1}{1 + t^{2}}\text{dt}$ $\frac{t = \text{tgx}}{x = \text{arctgt}} = > \text{ctgx} = \frac{1}{t}$, $\text{dx} = \frac{1}{1 + x^{2}}\text{dt}$

Podstawienie uniwersalne : $\mathbf{t}\mathbf{=}\mathbf{\text{tg}}\frac{\mathbf{x}}{\mathbf{2}}\mathbf{;}\int_{}^{}{\mathbf{R}\left( \mathbf{\text{tgx}}\mathbf{,\ }\mathbf{\text{ctx}}\mathbf{,\ }\mathbf{\text{sinx}}\mathbf{,\ }\mathbf{\text{cosx}} \right)\mathbf{\text{dx}}\mathbf{=}\int_{}^{}{\mathbf{R}\mathbf{(}\frac{\mathbf{2}\mathbf{t}}{\mathbf{1 -}\mathbf{t}^{\mathbf{2}}}\mathbf{,}\frac{\mathbf{1 -}\mathbf{t}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}\mathbf{t}}}}\mathbf{\ ,}\frac{\mathbf{2}\mathbf{t}}{\mathbf{1}\mathbf{+}\mathbf{t}^{\mathbf{2}}}\mathbf{,\ }\frac{\mathbf{1 -}\mathbf{t}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{1}\mathbf{+}\mathbf{t}^{\mathbf{2}}}\mathbf{)}\mathbf{*}\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{1}\mathbf{+}\mathbf{t}^{\mathbf{2}}}\mathbf{\text{dt}}$

7. Całka oznaczona

Określenie całki oznaczonej, interpretacja geometryczna.

Jeśli wszystkie ciągi γ_n sum całkowitych funkcji n na przedziale domkniętym <a, b> są zbieżne do tej samej granicy właściwej, to tę granicę nazywa się całką oznaczoną (w sensie Reimanna) funkcji f w granicach <a, b>.

, a – dolna gr całkowania, b – górna gr całkowania

Interpretacja geometryczna: w każdym przedziale (xi-1,xi> obieramy punkt $\overset{\overline{}}{\text{xi}}$ taki, że xi-1$\leq \overset{\overline{}}{\text{xi}} \leq \text{xi}$; funkcja określona w przedziale <a,b>

x_i = x_i − x_i − 1

1)Warunek wystarczający całkowalności funkcji: Funk ciągła na przedziale domkniętym jest całkowalna na tym przedziale.

2)Funk ograniczona na przedziale domkniętym i mająca w nim skończoną liczbę punktów nieciągłości jest całkowalna na tym przedziale.

Podstawowe tw rachunku całkowego (tw. Newtona – Leibniza).

Jeżeli F jest dowolną funkcją pierwotną funkcji f ciągłej w przedziale <a, b>, to

własnosci całki oznaczonej.

1)

2) f całkowalna w <a, b>, to całkowalna w <c, d>, gdzie a≤c<d≤b

3)

4)

Całkowanie przez podstawienie i przez części dla całki oznaczonej

Podstawianie:

, to

x	t
a	α=h(a)
b	β=h(b)

, gdzie t=h(x)

Oznaczenie całki przez części:

Jeżeli funkcje u i v są ciągłe wraz z pochodnymi w przedziale <a,b> to:

Całka oznaczona z funkcji parzystej i nieparzystej – własnosci

y=f(x) funkcja nieparzysta, ciągła w <-a,a>:

y=g(x) funkcja parzysta

Rodzaje całek niewłaściwych.

I typu – zawierająca granicę ±∞; f-funk określona na przedziale <a,b) całkowalna na każdym skończonym przedziale <a,b> Jeżeli taka gr istnieje:

II typu – punkt x₀ nazywamy punktem osobliwym funkcji, jeśli w sąsiedztwie tego punktu jest ona nieograniczona

Jeśli punkt b jest punktem osobliwym funkcji f określonej na przedziale <a, b) i istnieje granica

a – punkt osobliwy

II typu: c-punkt osobliwy a<c<b

Związek między układem kartezjańskim i biegunowym.

Niech biegun pokrywa się z początkiem układu współrzędnych (kartezjańskiego) a oś biegunowa or z osią ox.

$$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$$

, ,

Biegunowa na kartezjańską:

Kartezjańska na biegunową:

Tw o polu obszaru płaskiego ograniczonego krzywymi w postaci jawnej, parametrycznej i biegunowej.

Jawna:

a ≤ x ≤ b; 0 ≤ y ≤ f(x); f.ciagla w < a, b >  

Parametryczna:

 

x = x(t); y = y(t);   ∝ ≤t ≤ β;  y − ciagla < α, β > ;x − ciagla z pochodna w < a,  b > , monotoniczna w < ∝, β>

Biegunowa:

 ;  r = f(φ);  α ≤ φ ≤ β

Tw o długości łuku krzywej w postaci jawnej, parametrycznej i biegunowej.

Jawna:

 

y = f(x);  a ≤ x ≤ b; y = f(t); x = t; a ≤ t ≤ b; x′)t)=1; y′(t)=f′(t)

Parametryczna:

x = x(t); y = y(t);   ∝ ≤t ≤ β; x, y − ciagle z pochodnymi w < α, β >  

Biegunowa:

x = x(t); y = y(t);   ∝ ≤t ≤ β

• Tw o objętości bryły obrotowej powstałej przez obrót dookoła osi OX krzywej w postaci jawnej, parametrycznej lub biegunowej.

Jawna:

f.ciagla w < a, b > ;f(x)przyjmuje wartosci jednego znaku w < a, b>

Parametryczna:

f.ciagla w < ∝, β > ;x − f.ciagla z pochodna w < ∝, β > ;x − f.monotoniczna w < ∝, β>

Biegunowa:

 ,  f.ciagla w < ∝, β>

Tw o polu powierzchni bocznej bryły obrotowej powstałej przez obrót dookoła osi OX krzywej w postaci jawnej, parametrycznej lub biegunowej.

Jawna:

Parametryczna:

Biegunowa:

Trzy przykłady innych zastosowań całek oznaczonych w fizyce lub mechanice.

1. Praca wykonana przez siłę F(x) (pole pod wykresem)

2. Średnie ciepło właściwe:

Q – ilość ciepła potrzebna do podgrzania masy m cieczy o cieple właściwym c(t) od temperatury T₁ do T₂.

3. Moment statyczny punktu materialnego

Podstawowe funktory zdaniotwórcze

„nieprawda, że” ~ negacja

„i”∩ koniunkcja

„lub” ∪ alternatywa

„jeżeli…,to…” => implikacja

„wtedy i tylko wtedy” <=> równoważność

Różnica między warunkiem koniecznym a warunkiem dostatecznym.

p=>q; p (poprzednik implikacji; założenie; warunek wystarczający dla q)=>q(następnik implikacji; teza; warunek konieczny dla p)

Warunek dostateczny jest jedynym warunkiem jaki trzeba spełnić by zależność była prawdziwa, natomiast warunek konieczny nie jest jedynym warunkiem dzięki któremu zależność będzie spełniona

Cztery przykładowe prawa rachunku zdań (np. prawo kontrapozycji, zaprzeczenie implikacji, prawa de Morgana) i metoda ich dowodzenia.

1) p∪~p PRAWO WYŁĄCZONEGO ŚRODKA (dla dowolnego zdania p prawdą jest, że p lub nie p; co najmniej jedno zdanie jest prawdziwe)

p	~p	P ∪ ~p
1	0	1
0	1	1

2)~(p∩∼p) PRAWO SPRZECZNOŚCI (nie może być jednocześnie prawdziwe zdanie i jego zaprzeczenie; prawdą jest,że co najmniej jedno jest fałszywe)

p	~p	p∩ ∼ p	~(p∩ ∼ p)
1	0	0	1
0	1	0	1

3)~(∼p) < = > p PRAWO PODWÓJNEGO PRZECZENIA (dowolne zdanie jest równoważne podwójnej negacji tego zdania; zaprzeczenie zaprzeczenia zdania p jest równe temu zdaniu)

p	~p	~(~p)
1	0	1
0	1	1

4) (p=>q)<=>(~q=>~p) PRAWO KONTRAPOZYCJI (TRANSPOZYCJI) (Jeżeli z jednego zdania wynika drugie, to z zaprzeczenia drugiego wynika pierwsze; w dowodach nie wprost)

p	q	p=>q	~q	~p	~q=>~p	(p=>q)(~q=>~p)
1	1	1	0	0	1	1
1	0	0	1	0	0	1
0	1	1	0	1	1	1
0	0	1	1	1	1	1

Def działań na zbiorach.

Mówimy, że zbiory A i B są równe wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru A jest jednocześnie elementem zbioru B.

A=B <=>$\bigcap_{x}^{}{(x \in A = > x \in B)}$; $A B < = > \bigcup_{x}^{}{(x \in A \cap x \notin B)}$

1. A∪B = {x:x∈A∪x∈B}

2. A ∩ B = {x : x ∈ A ∩ x ∈ B}

3. A − B = {x:x∈A∩x∉B}

A’=X-A; X-cała przestrzeń, A’-dopełnienie zbioru A

Def produktu (iloczynu) kartezjańskiego zbiorów.

Dane są dwa zbiory: X,Y. X x Y= {(x,y) : x ∈ X ∩ y ∈ Y}

Def: Iloczynem kartezjańskim zbiorów X,Y nazywamy zbiór uporządkowanych par (x,y) takich,że poprzednik tej pary x∈X,natomiast następnik tej pary y∈Y

Prawa De Morgana

1. (AuB)’ = A’ n B’

2. (AnB)’ = A’ u B’