Nr ćwiczenia: 3	Data wykonania: 25.06.2012	Imię, Nazwisko: Bartosz Minta	PWSZ w Kaliszu 2011/2012	Kierunek: MBM niest. grupa lab. 1	Nr zespołu: 2
Temat ćwiczenia: Wyznaczani modułu sztywności metodą dynamiczną	Prowadzący: Dr. inż. Justyna Barańska	Przygotowanie:	Opracowanie:	Ocena ostateczna:

1. Wstęp teoretyczny

1. Wykorzystane prawa fizyki.

a) Twierdzenie Steinera:

Jeżeli znamy moment bezwładności I_o danego ciała względem pewnej osi przechodzącej przez środek masy tego ciała, to aby obliczyć moment bezwładności I względem dowolnej innej osi, równoległej do niej, należy do momentu bezwładności I_o dodać iloczyn masy ciała i kwadratu odległości d między tymi osiami.

I=I_o+md²

I_o- moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy, d- odległość obu osi , m- całkowita masa bryły.

b) Odkształcenie (makroskopowa deformacja ciała),

Odkształceniem nazywamy zmianę wymiarów całego ciała lub jego dowolnych części na skutek działania na nie siły. Odkształceniem nazywamy sprężystym gdy po usunięciu działającej siły odkształcenie znika. Jeżeli po usunięciu działającej siły odkształcenie nie znika, nazywamy je trwałym.

c) Naprężenie

Naprężenie dzielimy na normalne i styczne:

Normalnym nazywamy stosunek siły normalnej (prostopadłej) do wielkości powierzchni, na którą działa:

σ = F_n/s [ 1 N/m²= 1 Pa]

Stycznym nazywamy stosunek siły stycznej do powierzchni, na którą działa:

τ = F_s/s [ 1 N/m²= 1 Pa]

d) Prawo Hooke’a:

Odkształcenie (wydłużenie lub skrócenie) jest wprost proporcjonalne do przyłożonej siły. Oznacza to, że jeżeli siła wzrasta wraz z nią wzrasta wydłużenie (skrucenie).

P=E ^Δl/_l

E- moduł, l-początkowa długość, Δl –wydłużenie

2. Wykorzystane wzory

- Okres drgań wibratora T (wzór 1):

I – moment bezwładności

D – moment kierujący.

- Okres drgań wibratora z dodatkowym obciążeniem T₁ (wzór 2)

I – moment bezwładności

I₁ – wartość o jaką zwiększy się moment bezwładności gdy umieści się na ramionach wibratora dodatkowe obciążenie

D – moment kierujący

- Moment kierujący D (wzór 3):

G – moduł sztywności

r – promień

l – długość

- Moment kierujący można wyliczyć z przekształcenia wzorów 1 i 2 (wzór 3):

- Moduł skręcania G (wzór 4):

- Moment bezwładności dla walców I₁ (wzór 4)

d – odległość osi walców od wibratora

m – masa walców

N – liczba walców

I₀ – momentem bezwładności pojedynczego walca

- Moment bezwładności walca względem symetrii I₀ (wzór 5)

.

m – masa walca

R – promień walca

2. Spis przyrządów pomiarowych i wyniki pomiarów

- Stoper - 0,01s

- Suwmiarka- 0,05mm

- Linijka - 1mm

- Waga - 0,1g

Wielkość mierzona	Jednostka	Pomiar 1	Pomiar 2	Pomiar3	Wartość średnia
L (drutu)	[m]				0,901
2r (drutu)	[m]				0,0007
r (drutu)	[m]				0,00035
2R1 (walec mały)	[m]				0,0395
R1 (walec mały)	[m]				0,01975
h1 (walec mały)	[m]				0,0099
2R2 (walec duży)	[m]				0,1
R2 (walec duży)	[m]				0,05
h2 (walec duży)	[m]				0,01
ρ (z tablic)	[kg/m3]	2700
M1(walec mały)	[kg]	0,03276
M2(walec duży)	[kg]	0,21206
d1	[m]	0,078
d2	[m]	0,173
T (bez walców)	[s]	13,41	13,7	13,49	13,53
T1 (ułożenie walc. 1)	[s]	17,64	17,74	17,54	17,64
T2 (ułożenie walc. 2)	[s]	27,11	27,14	26,94	27,06
T3 (ułożenie walc. 3)	[s]	14,07	14,17	14,36	14,24
T4 (ułożenie walc. 4)	[s]	16,36	16,66	16,52	16,51
T5 (ułożenie walc. 5)	[s]	20,04	19,96	20,17	20,05
T6 (ułożenie walc. 6)	[s]	27,82	27,15	27,56	27,51

1. Obliczenia

• Obliczenie masy

• Momenty bezwładności

I = nI₀ + nMd²

$$I_{0} = \frac{1}{2}MR^{2}$$

I₂ = 2 • M₂R₂² + 4M₂d₁²

I₂ = 2 • 0, 21206kg • (0, 05m)² + 4 • 0, 21206kg • (0,078m)²=0,006220992[kg • m²]

I₃ = 2 • M₂R₂² + 4M₂d₂²

I₃ = 2 • 0, 21206kg • (0, 05m)² + 4 • 0, 21206kg • (0, 173m)²=0,026447274[kg • m²]

I₄ = 2 • M₁R₁² + 4M₁d₁²

I₄ = 2 • 0, 03276kg • (0, 01975m)² + 4 • 0, 03276kg • (0, 078m)²=0,000822804[kg • m²]

I₅ = 2 • M₁R₁² + 4M₁d₂²

I₅ = 2 • 0, 03276kg • (0, 01975m)² + 4 • 0, 01975kg • (0, 173m)²=0,002389947 [kg • m²]

I₆ = (2•M₂R₂²+4M₂d₁²) + (2•M₁R₁²+4M₁d₂²)

I₆ = (2•0,21206kg•(0, 05m)²+4•0,21206kg•(0, 078m)²) + 2 • (0,03276kg•(0, 01975m)²+4•0,03276kg•(0, 0176m)²)=0,008610939[kg • m²]

I₇ = (2 • M₂R₂²+4M₂d₂²) + (2•M₁R₁²+4M₁d₁²)

I₇ = (2•0,21206kg•(0, 05m)²+4•0,21206kg•(0, 173m)²) + 2 • (0,03276kg•(0, 01975m)²+4•0,03276kg•(0, 078m)²) =0,027270078[kg • m²]

• Moduł skręcania

$$G = \frac{8\pi lI}{r^{4}(\mathbf{T}_{\mathbf{2,3,\ldots,7\ sr}}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{T}_{\mathbf{sr}}^{\mathbf{2}}\mathbf{)}}$$

$$G_{2} = \frac{8 \bullet \pi \bullet 0,901m \bullet 0,006220992kg \bullet m^{2}}{1,506 \bullet 10^{- 14}m^{4} \bullet {128,1087s}^{2}} = \ 7,29 \bullet 10^{- 11}\left\lbrack \text{Pa} \right\rbrack$$

$$G_{3} = \frac{8 \bullet \pi \bullet 0,901m \bullet 0,026447274 \bullet m^{2}}{1,506 \bullet 10^{- 14}m^{4} \bullet 549,1827s^{2}} = 7,23 \bullet 10^{11}\lbrack Pa\rbrack$$

$$G_{4} = \frac{8 \bullet \pi \bullet 0,901m \bullet 0,000822804kg \bullet m^{2}}{1,506 \bullet 10^{- 14}m^{4} \bullet 19,7167s^{2}} = 6,27 \bullet 10^{11}\lbrack Pa\rbrack$$

$$G_{5} = \frac{8 \bullet \pi \bullet 0,901m \bullet 0,002389947kg \bullet m^{2}}{1,506 \bullet 10^{- 14}m^{4} \bullet 89,5192s^{2}} = 4,01 \bullet 10^{11}\lbrack Pa\rbrack$$

$$G_{6} = \frac{8 \bullet \pi \bullet 0,901m \bullet 0,008610939kg \bullet m^{2}}{1,506 \bullet 10^{- 14}m^{4} \bullet 218,9416s^{2}} = 5,9 \bullet 10^{11}\lbrack Pa\rbrack$$

$$G_{7} = \frac{8 \bullet \pi \bullet 0,901m \bullet 0,027270078kg \bullet m^{2}}{1,506 \bullet 10^{- 14}m^{4} \bullet 573,7392s^{2}} = 7,14 \bullet 10^{11}\lbrack Pa\rbrack$$

$$G_{\text{sr}} = \frac{G_{2} + G_{3} + G_{4} + G_{5} + G_{6} + G_{7}}{6} = 6,3 \bullet 10^{11}\lbrack Pa\rbrack$$

1. Rachunek błędów

   • G

   • I

$$I = \left| \frac{\partial I}{\partial R}R \right| + \left| \frac{\partial I}{\partial M}M \right| = \left| \frac{1}{2}4MRR \right| + \left| R^{2} + {\frac{1}{2}4d}^{2}m \right|$$

I₂ = (2•0,03276kg•0,01975m•0,00005m) + (0,000390063m²+2•0,006084m²•0,0001kg) = 0, 00039[kg • m²]

I₃ = 0, 00040[kg • m²],

I₄ = 0, 00251[kg • m²],

I₅ = 0, 00250[kg • m²]

I₆ = I₅ + I₂ = 0, 00250 + 0, 00039 = 0, 00289[kg • m²]

I₇ = I₃ + I₄ = 0, 0004 + 0, 00250 = 0, 0029[kg • m²]

1. Zestawienie wyników

I₂ = 0, 006220992 ± 0, 00039[kg • m²]

I₃ = 0, 026447274 ± 0, 0004[kg • m²]

I₄ = 0, 000822804 ± 0, 0025[kg • m²]

I₅ = 0, 002389947  ± 0, 0025[kg • m²]

I₆ = 0, 008610939 ± 0, 0029[kg • m²]

I₇ = 0, 027270078 ± 0, 0029[kg • m²]

1. Wnioski

Celem ćwiczenia było wyznaczenie modułu sprężystości poprzecznej drutu poprzez zbadanie parametrów ruchu obrotowego bryły sztywnej. Można zauważyć że im bliżej osi obrotu umieszczone są walce, tym całkowity moment bezwładności jest mniejszy, a co za tym idzie moment siły również maleje. Po skręceniu drutu wystąpi w nim moment siły sprężystości który ma za zadanie przywrócić stan równowagi. W miarę oddalania się masy od osi obrotu moment bezwładności rośnie, a maleje prędkość i wydłuża się okres drgań.

Wartość modułu sprężystości G obarczony jest bardzo dużym błędem prawdopodobnie na wskutek błędów w pomiarze czasu. Rozbieżności pomiędzy poszczególnymi wynikami uniemożliwiają określenie materiału z którego został wykonany drut.