Olsztyn, 24.03.2014r.

Sprawozdanie nr 2

Transformacja współrzędnych.

Ewelina Mroczkowska

GiG III, grupa 2

numer 18

1. Dane:

współrzędne w układzie WGS84

	1	2	3
X	3524523,479	3592275,204	3648845,969
Y	1329693,746	1326519,615	1359140,201
Z	5129846,405	5083787,019	5034919,536

ρ^”=206264,806^”

∆x=-23,0

∆y=124,5

∆z=82,5

δω=1,8^”=8,72665*10^-6rad

δψ=2,0^”=9,69627*10^-6rad

δε=-2,5^”=-1,21203*10^-5rad

∆=0,0000038

1. Wzór:

$\begin{bmatrix} \begin{matrix} X \\ Y \\ Z \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix}$₄₂=$\begin{bmatrix} \begin{matrix} x \\ y \\ z \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 + & \text{δω} & - \text{δψ} \\ - \text{δω} & 1 + & \text{δε} \\ \text{δψ} & - \text{δε} & 1 + \\ \end{bmatrix}$*$\begin{bmatrix} \begin{matrix} X \\ Y \\ Z \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix}$_WGS84

1. Obliczenia:

$\begin{bmatrix} \begin{matrix} \mathbf{X}\mathbf{1} \\ \mathbf{Y}\mathbf{1} \\ \mathbf{Z1} \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix}$= $\begin{bmatrix} \begin{matrix} - 23,0 \\ 124,5 \\ 82,5 \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix}$+$\begin{bmatrix} \begin{matrix} 1,0000038 & 8,72665*10\hat{} - 6 & - 9,69627*10\hat{} - 6 \\ - 8,72665*10\hat{} - 6 & 1,0000038 & - 1,21203*10\hat{} - 5 \\ 9,69627*10\hat{} - 6 & 1,21203*10\hat{} - 5 & 1,0000038 \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix}$*

*$\begin{bmatrix} 3524523,479 \\ 1329693,746 \\ 5129846,405 \\ \end{bmatrix}$=$\begin{bmatrix} \begin{matrix} - 23,0 \\ 124,5 \\ 82,5 \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix}$+$\begin{bmatrix} 3524498,736 \\ 1329605,866 \\ 5129916,19 \\ \end{bmatrix}$=$\begin{bmatrix} \mathbf{3524475}\mathbf{,}\mathbf{736} \\ \mathbf{1329730,366} \\ \mathbf{5129998}\mathbf{,}\mathbf{690} \\ \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} \begin{matrix} \mathbf{X}\mathbf{2} \\ \mathbf{Y}\mathbf{2} \\ \mathbf{Z}\mathbf{2} \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix}$= $\begin{bmatrix} \begin{matrix} - 23,0 \\ 124,5 \\ 82,5 \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix}$+$\begin{bmatrix} \begin{matrix} 1,0000038 & 8,72665*10\hat{} - 6 & - 9,69627*10\hat{} - 6 \\ - 8,72665*10\hat{} - 6 & 1,0000038 & - 1,21203*10\hat{} - 5 \\ 9,69627*10\hat{} - 6 & 1,21203*10\hat{} - 5 & 1,0000038 \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix}$*

*$\begin{bmatrix} 3592275,204 \\ 1326519,615 \\ 5083787,019 \\ \end{bmatrix}$=$\begin{bmatrix} \begin{matrix} - 23,0 \\ 124,5 \\ 82,5 \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix}$+$\begin{bmatrix} 3592251,137 \\ 1326431,690 \\ 5083857,247 \\ \end{bmatrix}$=$\begin{bmatrix} \mathbf{3592228}\mathbf{,}\mathbf{137} \\ \mathbf{1326556,190} \\ \mathbf{5083939}\mathbf{,}\mathbf{747} \\ \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} \begin{matrix} \mathbf{X}\mathbf{3} \\ \mathbf{Y}\mathbf{3} \\ \mathbf{Z}\mathbf{3} \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix}$= $\begin{bmatrix} \begin{matrix} - 23,0 \\ 124,5 \\ 82,5 \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix}$+$\begin{bmatrix} \begin{matrix} 1,0000038 & 8,72665*10\hat{} - 6 & - 9,69627*10\hat{} - 6 \\ - 8,72665*10\hat{} - 6 & 1,0000038 & - 1,21203*10\hat{} - 5 \\ 9,69627*10\hat{} - 6 & 1,21203*10\hat{} - 5 & 1,0000038 \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix}$*

*$\begin{bmatrix} 3648845,969 \\ 1359140,201 \\ 5034919,536 \\ \end{bmatrix}$=$\begin{bmatrix} \begin{matrix} - 23,0 \\ 124,5 \\ 82,5 \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix}$+$\begin{bmatrix} 3648822,602 \\ 1359052,499 \\ 5034990,522 \\ \end{bmatrix}$=$\begin{bmatrix} \mathbf{3648799}\mathbf{,}\mathbf{602} \\ \mathbf{1359176,999} \\ \mathbf{5035073}\mathbf{,}\mathbf{022} \\ \end{bmatrix}$

1. Wyznaczenie parametrów transformacji

X=-(A^TA)^-1*A^TL

V=[∆x+∆*X₈₄] + [X₈₄-X₄₂]

V= AX + L

1	0	0	3524523,479
0	1	0	1329693,746
0	0	1	5129846,405
1	0	0	3592275,204
0	1	0	1326519,615
0	0	1	5083787,019
1	0	0	3648845,969
0	1	0	1359140,201
0	0	1	5034919,536

A=

-998,3835261	-372,251	-1413,647	0,000278121
-372,2512238	-139,175	-527,2599	0,000103733
-1413,646996	-527,26	-2002,635	0,000393933
0,000278121	0,000104	0,000394	-7,75023E-11

(A^TA)^-1=

47,74344
-36,6201
-152,285
47,06708
-36,575
-152,728
46,09361
-36,7976
-153,486

L=

140,904122
-109,992694
-458,498596
-1972107688

A^TL=

-60,60452
31,578117
133,51803
3,8E-06

X=

-47,2113
36,63095
153,0114
-46,9539
36,61889
152,8364
-46,7389
36,74285
152,6507

AX=

0,532103528
0,010879301
0,726944565
0,113198636
0,043869126
0,108476856
-0,64530216
-0,05474843
-0,83542142

V=

V^TV=1,955548

m₀=0,807372

L^T= [47,743 -36,620 -152,285 47,067 -36,575 -152,728 46,094 -36,798 -153,486]

L^TAX= [-80724,62859]

L^TL= [80726,58414]

L^TAX+L^TL=1,955548

Analiza dokładności:

m=m₀*$\sqrt{{{(A}^{T}A)}^{- 1}}$

m_∆x= 25,511

m_∆y= 9,525

m_∆z= 36,131

m_∆= 7,108*10^-6

Wyniki:

Parametry transformujące:

∆x	-60,60 m
∆y	31,58 m
∆z	133,52 m
∆	0,0000038

Błędy do parametrów transformujących:

m∆x	25,511 m
m∆y	9,525 m
m∆z	36,131 m
m∆	0,000007108