Rzut cechowany – rzutem cechowanym punktu lub zbioru punktów jest rzut prostokątny tego punktu lub zbioru punktów wraz ze związanym z nim układem kartezjańskim ustawionym tak aby oś z tego układu odniesienia była prostą rzutującą tzn. że Z⊥π

Prostą w przestrzeni wyznacza się przez dwa niejednoczące się punkty, a rzut tej prostej wyznacza się rzutami tych dwóch punktów. Zwrot prostej to wskazanie za pomocą strzałki kierunku opadania tej prostej.

Stopniowanie prostej – wg twierdzenia Talesa stopniowanie prostej wykonujemy prowadząc z dowolnego punktu tej prostej prostą pomocniczą pod dowolnym kątem. Na tej prostej pomocniczej odkładamy ilość jednakowych odcinków, która równa się różnicy cech zadanych punktów. Ostatni punkt podziału łączymy z drugim punktem prostej i prowadzimy szereg prostych równoległych.

Rzut cechowany płaszczyzny – płaszczyznę w przestrzeni wyznacza się jednoznacznie przez trzy niejednoczące się i nie współliniowe punkty.

• Prosta warstwowa (warstwica) to prosta przechodząca przez dwa punkty o jednakowych cechach tzn. prosta równoległa względem rzutni π.

• Wszystkie warstwice jednej płaszczyzny są równoległe do siebie, a jeżeli maja cechy całkowite to jednocześnie są równoodległe.

• Prosta spadu płaszczyzny S_α to prosta prostopadła względem tejże płaszczyzny α.

• W rzucie cechowanym może być zadana nie tylko przez trzy punkty ale przez prostą spadu płaszczyzny.

Wyróżniamy sześć rodzajów konstrukcji podstawowych:

• Konstrukcje elementów przynależnych:

1. Punkt należy do prostej – jeżeli jego rzut jest należny do rzutu tej prostej i jednoczy się z rzutem punktu przynależnym do tej prostej tzn. że cecha poszukiwanego punktu odpowiada cesze punktu na tej prostej.

2. Proste należy do płaszczyzny – jeżeli przechodzi przez dwa niejednoczące się punkty tej płaszczyzny.

3. Punkt przynależny do płaszczyzny – jeżeli leży na prostej w tej płaszczyźnie.

• Konstrukcje elementów wspólnych:

  1. Punkt wspólny dwóch prostych – występuje wówczas gdy te proste znajdują się w jednej płaszczyźnie. Może to być punkt właściwy lub niewłaściwy.

  2. Prosta wspólna dwóch płaszczyzn – wyznacza się jako dwa punkty przecinania się dwóch par odpowiadających sobie warstwic płaszczyzn tzn. że każda para warstwic musi być dowolna ale jednoimienna.

  3. Punkt przecinania się prostej z płaszczyzną.

• Konstrukcje elementów równoległych:

DEFINICJA 1: Dwie proste są równoległe do siebie jeżeli spełniają się jednocześnie trzy warunki:

1. Rzuty prostych są równoległe do siebie.

2. Zwroty prostych zgadzają się.

3. Ich moduły są równe.

DEFINICJA 2: Definicja: Prosta jest równoległą do płaszczyzny jeśli na tej płaszczyźnie istnieje chociaż jedna równoległa prosta do zadanej.

DEFINICJA 3: Dwie płaszczyzny są równoległe do siebie tylko wtedy gdy dwie przecinające się proste jednej płaszczyzny są odpowiednio równoległe do dwóch przecinających się prostych drugiej płaszczyzny. W przypadku rzutu cech. dwie płaszczyzny są równ. do siebie proste spadu tych płaszczyzn są liniami równoległymi.

• Konstrukcję kładu:

Kład płaszczyzny – jest to wyznaczenie rzutu płaszczyzny doprowadzonej za pomocą obrotu do położenia równoległego do rzutni. Jako oś obrotu wykorzystujemy dowolną warstwicę. W zależności od położenia obracanej płaszczyzny w przestrzeni wyróżniamy:

1. Kład płaszczyzny rzutującej.

2. Kład płaszczyzny nierzutującej.

• Konstrukcje elementów prostopadłych,

• Konstrukcję obrotu,

Powierzchnie matematyczne i graficzne.

Powierzchnie mat. To takie, które da się ściśle opisać za pomocą wzorów. Pow. graf. nie są opisywane za pomocą wzorów i konstruują się tylko w sposób graf. Pow. mat. to zbiór wszystkich chwilowych położeń poruszającej się w przestrzeni linii, którą nazywamy linią kształtującą. Każde chwilowe położenie tej linii nosi nazwę linii tworzącej. Elementy geometryczne, które wyznaczają trajektorię ruchu linii kszt. nazywają się kierownicami. Pow. mat jest zadana kiedy są zadane linie kształtujące oraz kierownice.

Linia kształtująca może być linia prostą lub krzywą. W zależności od tego pow. dzielimy na:

• Powierzchnię prostokreślne,

• Pow. krzywokreślne.

W zależności ok. kszt. linii kierownicy pow. dzielimy na:

• Pow. obrotowe,

• Pow. nieobrotowe.

W praktyce najczęściej wykorzystujemy pow. obrotowe, krzywokreślne i prostokreślne:

• Pow. stożkow,

• Pow. walcowa,

• Pow. sferyczna.

Pow. graficzne są to pow., które kształtują pow. ziemi i są najczęściej używane w kartografii, geodezji, robotach ziemnych, budownictwie, itd. Pow. graficzne w budownictwie oznacza się w rzucie cechowanym za pomocą linii warstwowych, które w odróżnieniu od płaszczyzn nie są równoległe do siebie.

Rzuty Monge’a. DEFINICJA: Rzutami Monge’a nazywamy co najmniej dwa rzuty prostokątne punktu lub zbioru punktów wraz ze związanym z tym punktem lub zb. punktów kartezjańskim układem odniesienia. Ustawiamy tak aby w każdym rzucie inna oś układu była prostą rzutującą. Otrzymujemy wówczas interpretację geometryczną wszystkich trzech współrzędnych punktu. Jednostką jest milimetr.

Elementy przynależne. Rzut należy do prostej jeżeli jego odpow. rzut należy do odpow. rzutu prostej.

Elementy wspólne. Aby wyznaczyć punkt wspólny prostej i płaszczyzny należy na tej płaszczyźnie znaleźć taką prostą, która w jednym z rzutów (1 lub 2) jednoczy się z drugą prostą. Punkt wspól. tych dwóch prostych jest szukanym punktem przebicia.

Transformacja układu odniesienia – jest to taka konstrukcja geom., która przewiduje doprowadzenie jakiegokolwiek obiektu geom. do położenia szczególnego.

Aksonometria prostokątna (spóźniłem się kilka minut więc nie mam początku wykładu)

Skrócenia aksonometryczne:

• $S_{x} = \frac{\left| O^{'}X^{'} \right|}{\left| \text{OX} \right|} = cos\alpha$

• $S_{y} = \frac{\left| O^{'}Y^{'} \right|}{\left| \text{OY} \right|} = cos\beta$

• $S_{z} = \frac{\left| O^{'}Z^{'} \right|}{\left| \text{OZ} \right|} = cos\gamma$

• cos²α + cos²β + cos²γ = 2 - równanie charkt. aksonometrii prostokątnej.

W zależności od kątów nachylenia α,  β,  γ wyróżniamy trzy rodzaje aksonometrii prostokątnej:

• S_x ≠ S_y ≠ S_z – anizometria,

• $\begin{matrix} S_{x} = S_{y} \neq S_{z} \\ S_{x} = S_{z} \neq S_{y} \\ \end{matrix}$ – demetria,

• S_x = S_y = S_z - izometria.

Izometria prostokątna. Stosunek 0,82:1 daje nam izometrię teoretyczną; 1:1 to izometria praktyczna; różnią się one od siebie pojemnością figury w perzestzeni. Iz. prakt. Ma pojemność obiektu o 22% większą niż realny przedmiot.

Aksonometria ukośna. Najczęściej wykorzystywane rodzaje aks. ukośnej to: kawalerska, wojskowa – przewiduje możliwość wykonania trzech rodzajów ustawienia osi X i Y względem poziomej linii: 30,  45,  60.