PROJEKT 3

„Równania różniczkowe zwyczajne”

Katarzyna Lachowska 168628

Iga Zawadzka 207878

Paulina Zawiślańska 176221

1. Cel i problem projektu

Celem projektu było wyznaczenie równań różniczkowych zwyczajnych, które umożliwią rozwiązanie dwóch przedstawionych problemów.

1. Założenia

W celu rozwiązania równań różniczkowych w programie MATLAB należy:

• Zdefiniować prawą stronę równania różniczkowego

• Określić wektor czasu

• Podać wektor wartości numerycznego rozwiązania równania różniczkowego czyli wartości funkcji w kolejnych chwilach czasu

• Warunek początkowy - jest to wartość funkcji dla czasu

• Opcje numerycznego rozwiązywania równania m. in. początkowy krok całkowania, dopuszczalne błędy metody.

1. Wyniki

PROBLEM 1

W 1798 Malthus zaproponował prosty model wzrostu populacji, w którym założono, że populacja składa się z jednego, jednorodnego gatunku.

Z powyższych założeń otrzymujemy, że:

x'(t)=kx(t)

k=u-z

Gdzie x(t) jest wielkością populacji w danym momencie, u wskaźnikiem urodzeń, z wskaźnikiem zgonów.

Ponieważ model ten prowadzi do nieograniczonego, wykładniczego rozrostu populacji został wzbogacony założeniem o skończonej dostępności zasobów, tzw. problem logistyczny opisany

równaniem:

x’(t)=kx(t)(A-x(t)).

1. Narysuj przebieg x(t) dla obu modeli dla różnych k (<0, >0, =0). Do jakich wniosków prowadzą oba modele? W domu podaj rozwiązanie analityczne, przeanalizuj rozwiązanie.

2. Dla jakich x, x’(t) = 0? Co to oznacza? Czy są to punkty stabilne, czy nie?

3. W roku 1950 populacja Polski wynosiła ok. 25,008 mln, 1970 32,642 mln a 1990 38,183 mln. Ile według wz. Malthusa a ile według modelu logistycznego powinna wynosić populacja Polski obecnie a ile za 30 lat?

4. Dodatkowe. Rozwiąż układ metodą różnić skończonych przy pomocy Excela.

Rozwiązanie:

1. Narysuj przebieg x(t) dla obu modeli dla różnych k (<0, >0, =0). Do jakich wniosków prowadzą oba modele? W domu podaj rozwiązanie analityczne, przeanalizuj rozwiązanie.

Model Malthusa: x'(t)=kx(t). W modelu przyjęto x0 = 1, przedział t od 0 do 2. W miejsce k wstawiono kolejno wartości -3, 0 i 3 i obliczono ts oraz cs.

>> cdot=@(t,c)[k*c]

cdot =

@(t,c)[k*c]

>> [ts,cs]=ode45(cdot,[0,2],1)

Tabela 1. Zestawienie wartości t_s i c_s dla różnych k.

k = -3	k = 0	k = 3
ts	cs	ts
0	1.0000	0
0.0167	0.9510	0.0500
0.0335	0.9044	0.1000
0.0502	0.8601	0.1500
0.0670	0.8180	0.2000
0.1170	0.7040	0.2500
0.1670	0.6059	0.3000
0.2170	0.5215	0.3500
0.2670	0.4489	0.4000
0.3170	0.3864	0.4500
0.3670	0.3325	0.5000
0.4170	0.2862	0.5500
0.4670	0.2464	0.6000
0.5170	0.2120	0.6500
0.5670	0.1825	0.7000
0.6170	0.1571	0.7500
0.6670	0.1352	0.8000
0.7170	0.1164	0.8500
0.7670	0.1002	0.9000
0.8170	0.0862	0.9500
0.8670	0.0742	1.0000
0.9170	0.0639	1.0500
0.9670	0.0550	1.1000
1.0170	0.0473	1.1500
1.0670	0.0407	1.2000
1.1170	0.0351	1.2500
1.1670	0.0302	1.3000
1.2170	0.0260	1.3500
1.2670	0.0224	1.4000
1.3170	0.0192	1.4500
1.3670	0.0166	1.5000
1.4170	0.0143	1.5500
1.4670	0.0123	1.6000
1.5170	0.0106	1.6500
1.5670	0.0091	1.7000
1.6170	0.0078	1.7500
1.6670	0.0067	1.8000
1.7170	0.0058	1.8500
1.7670	0.0050	1.9000
1.8170	0.0043	1.9500
1.8670	0.0037	2.0000
1.9002	0.0033	-
1.9335	0.0030	-
1.9667	0.0027	-
2.0000	0.0025	-

Rys.1. Wykres funkcji x'(t)=kx(t) dla k=0

Rys.2. Wykres funkcji x'(t)=kx(t) dla k=3

Rys.3. Wykres funkcji x'(t)=kx(t) dla k=-3

Wnioski

Dla modelu x'(t)=kx(t) można zaobserwować następującą tendencję: jeżeli k < 0 (czyli liczba zgonów jest wyższa niż liczba urodzeń) to populacja się zmniejsza. Jeżeli natomiast k > 0 (liczba urodzeń jest wyższa niż liczba zgonów) to populacja się zwiększa. W przypadku k = 0 (liczba urodzeń równa liczbie zgonów), populacja się nie zmienia.

2. Dla jakich x, x’(t) = 0? Co to oznacza? Czy są to punkty stabilne, czy nie?

x’(t) = 0 dla x = 0. Założeniem jest, że populacja jest jednorodna. Jeżeli populacja nie istnieje (x=0) to nie mogą zachodzić na niej zmiany.

3. W roku 1950 populacja Polski wynosiła ok. 25,008 mln, 1970 32,642 mln a 1990 38,183 mln. Ile według wz. Malthusa a ile według modelu logistycznego powinna wynosić populacja Polski obecnie a ile za 30 lat?

PROBLEM 2

Do zbiornika wpływa woda z szybkością 10 l/min. Zawartość zbiornika jest mieszana
a następnie opuszcza go z szybkością 10 l/min. Do zbiornika dodawana jest również sól
w ilości 0.1 kg/min. Początkowo zbiornik zawiera 10 kg soli w 100 l wody.

Rozwiązanie:

Dane:

_wejście=$\ 10\ \frac{l}{m}$

_wyjście =$\ 10\ \frac{l}{m}$

C_początkowe= $\frac{10\text{kg}}{100l} = \ 0,1\frac{\text{kg}}{l*\min}$

C_wejście= $0,1\frac{\text{kg}}{\min}*\frac{\ 1}{100\ l} = \frac{1}{1000}\ \frac{\text{kg}}{l*min}$

C_wyjście= $\frac{1\ }{10}\text{c\ }\frac{\text{kg}}{l*min}$

1. Ułóż równanie różniczkowe opisujące problem.

$$\frac{dc}{\text{dt}} = c_{\text{in}} - c_{\text{out}} = \frac{1}{1000} - \frac{1}{10}c$$

1. Podaj rozwiązanie numeryczne (analityczne).

$$10\frac{\text{dc}}{\text{dt}} = \frac{1}{100} - c$$

$$\int_{}^{}\frac{\text{dc}}{c - \frac{1}{100}} = - \int_{}^{}{\frac{1}{10}d}t$$

$$lnC + \ln\left( c - \frac{1}{100} \right) = - \frac{1}{10}t$$

$$c\left( c - \frac{1}{100} \right) = e^{- \frac{t}{10}}$$

$$c = \frac{e^{- \frac{0}{10}}}{\frac{1}{10} - \frac{1}{100}} = \frac{100}{9}$$

$$c\left( t \right) = \frac{9}{100}e^{- \frac{t}{10}} + \frac{1}{100}$$

$$\operatorname{}{c\left( t \right) = \frac{1}{100}\frac{\text{kg}}{l}}$$

1. Ile soli będzie w zbiorniku po 1 h?

>> 9/100*exp(-6)+1/100

ans = 0.0102

4. Jakie jest zachowanie asymptotyczne modelu?

Rys.4 Wykres asymptotyczny modelu.

Asymptota funkcji jest prosta, prawostronna y=0.

1. Wnioski

2. Równania różniczkowe zwyczajne są jednym ze sposobów opisu zmienności parametrów w danym procesie. Za pomocą równania różniczkowego można wyznaczyć jak zmienia się stężenie soli w określonym czasie.