Zakład Miernictwa i Ochrony Atmosfery

Laboratorium

Podstawy Metrologii i Technik Eksperymentu

SPRAWOZDANIE

Ćwiczenie nr 1

Temat ćwiczenia: Rozkład normalny, niepewność standardowa typu A

Wykonawca:

Imię i Nazwisko: Agata Matras

Nr indeksu: 192901

Wydział: Mechaniczno – Energetyczny

Rok studiów: I

Data wykonania ćwiczenia: 07.03.2013r.

Imię i Nazwisko prowadzącego: Dr inż. Monika Tkaczuk – Serafin

Data oddania sprawozdania: 21.03.2013r.

Ocena:

Poprawa:

1. Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest sporządzenie histogramu wartości wielkości mierzonych, a następnie analityczne wyznaczenie parametrów funkcji Gaussa dla pojedynczego pomiaru i średniej oraz graficzne przedstawienie wyników wraz z ich interpretacją.

1. Opis przebiegu ćwiczenia

Przebieg ćwiczenia polegał na mierzeniu za pomocą stopera elektronicznego czasu świecenia lampy od zapalenia jej zwykłym włącznikiem przez jednego ze studentów aż do jej samoistnego wyłączenia się. Pomiary wykonano 30 razy.

1. Wyniki pomiarów

Tabela 1. Wyniki pomiarów czasu świecenia lampy.

Lp.	[t]s	Lp.	[t]s
1.	15,98	16.	15,65
2.	15,61	17.	15,82
3.	15,75	18.	15,72
4.	15,84	19.	15,67
5.	15,83	20.	15,64
6.	15,77	21.	15,70
7.	15,76	22.	15,59
8.	15,76	23.	15,81
9.	15,75	24.	15,85
10.	15,76	25.	15,98
11.	15,80	26.	15,69
12.	15,65	27.	15,58
13.	15,87	28.	15,90
14.	15,93	29.	15,77
15.	15,72	30.	15,65

1. Opracowanie wyników

   1. Histogram otrzymanych wyników.

Tabela 2. Wartości potrzebne do narysowania histogramu.

Lp.	δt = 0, 1s	Czestosc
1.	15,5 – 15,6	2
2.	15,6 – 15,7	7
3.	15,7 – 15,8	10
4.	15,8 – 15,9	7
5.	15,9 – 16,0	4
6.	16,0	0

Wykres 1. Histogram otrzymanych wyników pomiarowych.

1. Obliczenie średniej.

Aby obliczyć średnią z 30 pomiarów należy skorzystać ze wzoru:

$$\overset{\overline{}}{x} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_{i} = \frac{1}{n}(x_{1} + x_{2} + x_{3} + \ldots + x_{n})$$

gdzie: x_i - pojedynczy pomiar

n - liczba wszystkich pomiarów

$$\overset{\overline{}}{x} = \frac{15,98 + 15,61 + 15,75 + \ldots + 15,65}{30} = \frac{472,8}{30} = 15,76\ s$$

1. Odchylenie standardowe.

   1. Odchylenie standardowe pojedynczego pomiaru.

Odchylenie standardowe pojedynczego pomiaru oblicza się ze wzoru:

$$\sigma = \sqrt{\frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}\left( x_{i} - \overset{\overline{}}{x} \right)^{2}}$$

gdzie: n - liczba pomiarów

x_i - pojedynczy pomiar

$\overset{\overline{}}{x}$ - średnia z wszystkich pomiarów

$$\sigma = \sqrt{\frac{\left( 15,98 - 15,76 \right)^{2} + \left( 15,61 - 15,76 \right)^{2} + \left( 15,75 - 15,76 \right)^{2} + \ldots + \left( 15,65 - 15,76 \right)^{2}}{30 - 1}} =$$

$$= \sqrt{\frac{\left( 0,22 \right)^{2} + \left( - 0,15 \right)^{2} + \left( - 0,01 \right)^{2} + \ldots + \left( - 0,11 \right)^{2}}{29}} =$$

$$= \sqrt{\frac{0,0484 + 0,0225 + 0,0001 + \ldots + 0,0121}{29} =}\sqrt{\frac{0,3392}{29}} = \sqrt{0,011696551} =$$

=0, 108150597 ≈ 0, 11

1. Odchylenie standardowe średniej.

Odchylenie standardowe średniej oblicza się ze wzoru:

$$\sigma_{\overset{\overline{}}{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

gdzie: σ - odchylenie standardowe pojedynczego pomiaru

n - liczba pomiarów

$$\sigma_{\overset{\overline{}}{x}} = \frac{0,11}{\sqrt{30}} = \frac{0,11}{5,477225575} = 0,02008316 \approx 0,021$$

1. Funkcja Gaussa.

   1. Funkcja Gaussa dla pojedynczego pomiaru.

Równanie funkcji Gaussa dla pojedynczego pomiaru ma postać:

$$f_{X,\sigma}\left( x \right) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{\frac{- \left( x - X \right)^{2}}{2\sigma^{2}}}$$

gdzie: X - wartość prawdziwa (środek rozkładu); $X = \overset{\overline{}}{x}$

σ - odchylenie standardowe pojedynczego pomiaru

x - pojedynczy pomiar

π ≈ 3, 1415

e ≈ 2, 72

Przykładowe obliczenia (dla x = 15, 98):

$$f_{X,\sigma}\left( x \right) = \frac{1}{0,11\sqrt{2 \bullet 3,1415}}{2,72}^{\frac{- \left( 15,98 - 15,76 \right)^{2}}{2\left( 0,11 \right)^{2}}} = \frac{1}{0,11\sqrt{6,283}}{2,72}^{\frac{- \left( 0,22 \right)^{2}}{0,0242}} =$$

$$= \frac{1}{0,275725044}{2,72}^{\frac{- 0,0484}{0,0242}} = \frac{1}{0,275725044}{2,72}^{- 2} = \frac{1}{0,275725044 \bullet {2,72}^{2}} =$$

$$= \frac{1}{0,275725044 \bullet 7,3984} = \frac{1}{2,039924166} = 0,490214301$$

Tabela 3. Dane potrzebne do funkcji Gaussa dla pojedynczego pomiaru.

Lp.	x	$$X = \overset{\overline{}}{x}$$	fX, σ(x)
1.	15,98	15,76	0,490214301
2.	15,61		1,430482169
3.	15,75		3,611836194
4.	15,84		2,783533622
5.	15,83		2,961642002
6.	15,77		3,611836194
7.	15,76		3,626801486
8.	15,76		3,626801486
9.	15,75		3,611836194
10.	15,76		3,626801486
11.	15,80		3,394626183
12.	15,65		2,199071413
13.	15,87		2,199071413
14.	15,93		1,097880661
15.	15,72		3,394626183
16.	15,65		2,199071413
17.	15,82		3,125195362
18.	15,72		3,394626183
19.	15,67		2,59459098
20.	15,64		1,999573303
21.	15,70		3,125195362
22.	15,59		1,097880661
23.	15,81		3,270621619
24.	15,85		2,59459098
25.	15,98		0,490214301
26.	15,69		2,961642002
27.	15,58		0,949957685
28.	15,90		1,612719687
29.	15,77		3,611836194
30.	15,65		2,199071413

Wykres 2. Funkcja Gaussa dla pojedynczego pomiaru.

Obszar w którym znajduje się 95% pomiarów zawiera się w przedziale X = ±2σ, czyli 2σ = 2 • 0, 11 = 0, 22, więc jest to obszar w przedziale 15, 54 ≪ X ≪ 15, 98 (pole pomiędzy zaznaczonymi kwadracikami).

1. Funkcja Gaussa dla średniej.

Równanie funkcji Gaussa dla średniej ma postać:

$$f_{X,\sigma_{\overset{\overline{}}{x}}}\left( x \right) = \frac{1}{\sigma_{\overset{\overline{}}{x}}\sqrt{2\pi}}e^{\frac{- \left( x - X \right)^{2}}{2\left( \frac{\sigma_{\overset{\overline{}}{x}}}{\sqrt{n}} \right)^{2}}}$$

gdzie: X - wartość prawdziwa (środek rozkładu); $X = \overset{\overline{}}{x}$

$\sigma_{\overset{\overline{}}{x}}$ - odchylenie standardowe średniej z pomiarów

x - pojedynczy pomiar

n - liczba pomiarów

π ≈ 3, 1415

e ≈ 2, 72

Przykładowe obliczenia (dla x = 15, 75):

$$f_{X,\sigma_{\overset{\overline{}}{x}}}\left( x \right) = \frac{1}{0,021\sqrt{2 \bullet 3,1415}}{2,72}^{\frac{- \left( 15,75 - 15,76 \right)^{2}}{2\left( \frac{0,021}{\sqrt{30}} \right)^{2}}} = \frac{1}{0,021\sqrt{6,283}}{2,72}^{\frac{- \left( 0,01 \right)^{2}}{0,0000284}} =$$

$$= \frac{1}{0,052638417}{2,72}^{\frac{- 0,0001}{0,0000294}} = \frac{1}{0,052638417}{2,72}^{- 3,401360544} =$$

$$= \frac{1}{0,052638417 \bullet {2,72}^{3,401360544}} = \frac{1}{0,052638417 \bullet 30,06945272} = 0,631788405$$

Tabela 4. Dane potrzebne do funkcji Gaussa dla średniej.

Lp.	x	$$X = \overset{\overline{}}{x}$$	fX, σ(x)
1.	15,98	15,76	≈0 (bardzo mała liczba)
2.	15,61		≈0
3.	15,75		0,631788405
4.	15,84		4,7716·10^-94
5.	15,83		7,08837·10^-72
6.	15,77		0,631788405
7.	15,76		18,99753159
8.	15,76		18,99753159
9.	15,75		0,631788405
10.	15,76		18,99753159
11.	15,80		4,25294·10^-23
12.	15,65		2,6638·10^-178
13.	15,87		2,6638·10^-178
14.	15,93		≈0
15.	15,72		4,25294·10^-23
16.	15,65		2,6638·10^-178
17.	15,82		1,1646·10^-52
18.	15,72		4,25294·10^-23
19.	15,67		3,5525·10^-119
20.	15,64		2,683·10^-212
21.	15,70		1,1646·10^-52E-52
22.	15,59		≈0
23.	15,81		2,11621·10^-36
24.	15,85		3,5525·10^-119
25.	15,98		≈0
26.	15,69		7,08837·10^-72
27.	15,58		≈0
28.	15,90		3,6821·10^-289
29.	15,77		0,631788405
30.	15,65		2,6638·10^-178

Wykres 3. Funkcja Gaussa dla średniej.

Obszar w którym znajduje się 95% pomiarów znajduje się w przedziale $X = \pm 2\sigma_{\overset{\overline{}}{x}}$, czyli $2\sigma_{\overset{\overline{}}{x}} = 2 \bullet 0,021 = 0,042$, a więc w przedziale 15, 718 ≪ X ≪ 15, 802 (pole pomiędzy zaznaczonymi kwadracikami).

1. Poprawny zapis wyników.

Tabela 5. Zestawienie wszystkich wyników.

P	k	$$X = \overset{\overline{}}{x}$$	σ	X ± k • σ	$$\sigma_{\overset{\overline{}}{x}}$$	$$X \pm k \bullet \sigma_{\overset{\overline{}}{x}}$$
95%	2	15, 76s	0, 11s	(15,76±0,22)s	0, 021s	(15,76±0,042)s

1. Wnioski.

• Różnice w bezpośrednich wynikach pomiarów spowodowane są między innymi szybkością reakcji prowadzącego pomiary na dźwięk włączania i wyłączania się lampy.

• Na podstawie wykonanych obliczeń można zauważyć, że odchylenie standardowe pojedynczego pomiaru (σ=0,11) jest większe od odchylenia standardowego średniej z pomiarów $\left( \sigma_{\overset{\overline{}}{x}} = 0,021 \right)$.

• Z prawdopodobieństwem 95% można stwierdzić, że przy dokonaniu kolejnego pojedynczego pomiaru, jego wynik znajdzie się w przedziale 15, 76 ± 0, 22.

• Wartości funkcji Gaussa zarówno pojedynczego pomiaru jak i średniej zbliżają się do zera wraz z oddalaniem się wartości pojedynczego pomiaru x od środka rozkładu.