Laboratorium Podstaw Fizyki

Nr ćwiczenia : 001

Temat ćwiczenia : WYZNACZANIE MOMENTU BEZWŁADNOŚCI CIAŁ METODĄ WAHADŁA FIZYCZNEGO I SPRAWDZENIE TWIERDZENIA STEINERA

Nazwisko i Imię prowadzącego kurs : Mgr Adam Mielnik-Pyszczorski

Imię i Nazwisko nr indeksu, wydział	Piotr Pająk, 227223, W5 AiR
Termin zajęć: dzień tygodnia, godzina	Środa, 11^15-13^00
Numer grupy ćwiczeniowej	1
Data oddania sprawozdania:	16.03.2016
Ocena końcowa

Zatwierdzam wyniki pomiarów.

Data i podpis prowadzącego zajęcia ............................................................

Adnotacje dotyczące wymaganych poprawek oraz daty otrzymania

poprawionego sprawozdania

1. Wstęp teoretyczny:

Podczas tego ćwiczenia należało wyznaczyć moment bezwładności metalowej tarczy z wyciętymi symetrycznie otworami oraz metalowego pierścienia względem osi środkowej i osi obrotu. Dla tarczy trzeba było dokonać pięciokrotnego pomiaru czasu 100 wahnięć dla trzech różnych odległość od osi obrotu do środka masy zmierzonych wcześniej za pomocą suwmiarki. Dla metalowego pierścienia należało wykonać sześć pomiarów 100 wahnięć i zmierzyć średnicę zewnętrzną oraz wewnętrzną pierścienia. Masę przedmiotów trzeba było określić za pomocą wagi laboratoryjnej.

Opracowanie wyników:

1. Tarcza:

Obliczyć

• Średni czas 100 wahnięć dla danej odległości oraz jego niepewność pomiarowa.

• Średni okres drgań $T = \frac{t}{n}$ dla danej odległości oraz jego niepewności

• Moment bezwładności względem określonej osi obrotu korzystając ze wzoru

$$I_{d} = \frac{T^{2}\text{mgd}}{8\pi^{2}}$$

• Moment bezwładności I_o tarczy względem osi środkowej korzystając ze wzoru $I_{o} = \frac{\text{mC}}{{4\pi}^{2}}$

Sprawdzić:

• Twierdzenie Steinera:

$$I_{o} = I_{d} - m\frac{d^{2}}{4} = \frac{T^{2}\text{mgd}}{{8\pi}^{2}} - m\frac{d^{2}}{4}$$

dla wszystkich wartości d oraz niepewność pomiarową.

• $C = T^{2}g\frac{d}{2} - \pi^{2}d^{2}$

1. Pierścień:

Obliczyć

• Średni czas 100 wahnięć t oraz średni okres T i ich niepewności.

• Moment bezwładności względem osi obrotu oraz jego niepewność.

• Z twierdzenia Steinera wyznaczyć moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy i jego niepewność

• Moment bezwładności względem osi środkowej na podstawie wzoru tablicowego $I_{o} = \frac{1}{8}m\left( d^{2} + D^{2} \right)$

• Porównanie otrzymanych wartości.

1. Wykaz przyrządów:

• Stojak z metalową pryzmą do zawieszania badanych ciał

• Tarcza metalowa z symetrycznie wyciętymi otworami w różnych odległościach od środka masy tarczy

• Metalowy pierścień

• Waga laboratoryjna (dokładność 0,1g)

• Suwmiarka ( dokładność 0,05mm)

• Stoper ( dokładność 0,01s)

1. Schemat układu pomiarowego:

1. Tabele pomiarowe:

1. Metalowa tarcza

m [g]	u(m) [g]	n	u(n)
1221,6	0,1	100	1

d [mm]	u(d) [mm]	t [s]	tśr [s]	u(tśr) [s]	T [s]	uc(T) [s]	Id [kgm^2]	uc(Id) [kgm^2]	Io [kgm^2]	uc(Io) [kgm^2]	C [m^2]	uc(C) [m^2]	Cśr [m^2]	uc(Cśr) [m^2]	Io.st [kgm^2]	uc(Io.st) [kgm^2]
49,75	0,029	75,49	77,04	0,30	0,77	0,0083	0,0045	0,00090	0,0038	0,00090	0,121	0,0032	0,123	0,0065	0,0038	0,00021
		78,50
		76,12
		77,47
		77,62
99,90		67,32	67,05	0,034	0,67	0,0068	0,0067	0,0013	0,0039	0,0013	0,123	0,0058
		67,09
		66,40
		66,98
		67,44
139,30		68,18	68,07	0,035	0,68	0,0069	0,0098	0,0019	0,0039	0,0019	0,125	0,0065
		67,39
		67,61
		68,12
		69,03

1. Pierścień

m [g]	u(m) [g]	n	u(n)	d [mm]	u(d) [mm]	D [mm]	u(D) [mm]
204,8	0,1	100	1	99,70	0,029	109,70	0,029

t [s]	tśr [s]	u(t) [s]	T [s]	uc(T) [s]	Id [kgm^2]	uc(Id) [kgm^2]	Io [kgm^2]	uc(Io) [kgm^2]	Io.st [kgm^2]	uc(Io.st) [kgm^2]
64,76	65,18	0,072	0,66	0,0066	0,0022	0,00039	0,0017	0,00039	0,0015	0,0000024
65,89
65,28
64,15
65,17
65,81

1. Przykładowe wzory i obliczenia:

• Niepewność pomiaru długości

$$\mathbf{u}\left( \mathbf{d} \right)\mathbf{=}\sqrt{\frac{\mathbf{(}{\mathbf{\Delta}\mathbf{X)}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{3}}}$$

$$u\left( d \right) = \sqrt{\frac{\left( 0,05 \right)^{2}}{3}} = 0,029\left\lbrack \text{mm} \right\rbrack$$

• Niepewność pomiaru wagi

$$\mathbf{u}\left( \mathbf{m} \right)\mathbf{=}\sqrt{\frac{\mathbf{(}{\mathbf{\Delta}\mathbf{X)}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{3}}}$$

$$u\left( m \right) = \sqrt{\frac{\left( {0,1}^{2} \right)}{3}} = 0,058 \approx 0,1\left\lbrack g \right\rbrack$$

• Średni czas stu wahnięć i niepewność tego pomiaru

$$\mathbf{tsr =}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{5}}\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{5}}\mathbf{ti =}\mathbf{\ }\frac{\mathbf{t}_{\mathbf{1}}\mathbf{+}\mathbf{t}_{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{t}_{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{t}_{\mathbf{4}}\mathbf{+}\mathbf{t}_{\mathbf{5}}}{\mathbf{5}}$$

$$tsr = \frac{385,2}{5} = 77,04\left\lbrack s \right\rbrack$$

$$\mathbf{u}\left( \mathbf{t} \right)\mathbf{=}\sqrt{\left( \mathbf{u}_{\mathbf{a}}\left( \mathbf{t} \right) \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\left( \mathbf{u}_{\mathbf{b}}\mathbf{(t)} \right)^{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\sqrt{\left( \frac{\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{6}}{\mathbf{(Xi -}\mathbf{}\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{n(n - 1)}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\left( \frac{\mathbf{(}{\mathbf{\Delta}\mathbf{X)}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{3}} \right)^{\mathbf{2}}}$$

$$u\left( t \right) = \sqrt{\left( \frac{5,902}{20} \right)^{2} + \frac{\left( 0,01 \right)^{2}}{3}} = 0,30\left\lbrack s \right\rbrack$$

• Okres i jego niepewność

$$\mathbf{T =}\frac{\mathbf{t}_{\mathbf{sr}}}{\mathbf{n}}$$

$$T = \frac{77,04}{100} = 0,77\left\lbrack s \right\rbrack$$

$$\mathbf{u}_{\mathbf{c}}\left( \mathbf{T} \right)\mathbf{=}\sqrt{\left( \frac{\mathbf{\partial T}}{\mathbf{\partial t}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{u}^{\mathbf{2}}\left( \mathbf{t} \right)\mathbf{+}\left( \frac{\mathbf{\partial T}}{\mathbf{\partial n}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{u}^{\mathbf{2}}\left( \mathbf{n} \right)}\mathbf{=}\sqrt{\left( \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{n}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{u}^{\mathbf{2}}\left( \mathbf{t}_{\mathbf{sr}} \right)\mathbf{+}\left( \mathbf{-}\frac{\mathbf{t}_{\mathbf{sr}}}{\mathbf{n}^{\mathbf{2}}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{u}^{\mathbf{2}}\left( \mathbf{n} \right)}$$

$$u_{c}\left( T \right) = \sqrt{\left( \frac{1}{100} \right)^{2}*\left( 0,30 \right)^{2} + \left( - \frac{77,04}{100^{2}} \right)^{2}*\left( 1 \right)^{2}} = 0,0083\left\lbrack s \right\rbrack$$

• Moment bezwładności względem wybranej osi obrotu i jego niepewność

$$\mathbf{I}_{\mathbf{d}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{T}^{\mathbf{2}}\mathbf{\text{mgd}}}{\mathbf{8}\mathbf{\pi}^{\mathbf{2}}}$$

$$I_{d} = \frac{\left( 0,77 \right)^{2}*1,2216*9,81*0,04975}{8*\left( 3,14 \right)^{2}} = 0,0045\left\lbrack \text{kgm}^{2} \right\rbrack$$

$$\mathbf{u}_{\mathbf{c}}\left( \mathbf{I}_{\mathbf{d}} \right)\mathbf{=}\sqrt{\left( \frac{\mathbf{\partial}\mathbf{I}_{\mathbf{d}}}{\mathbf{\partial T}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{u}^{\mathbf{2}}\left( \mathbf{T} \right)\mathbf{+}\left( \frac{\mathbf{\partial}\mathbf{I}_{\mathbf{d}}}{\mathbf{\partial m}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{u}^{\mathbf{2}}\left( \mathbf{m} \right)\mathbf{+}\left( \frac{\mathbf{\partial}\mathbf{I}_{\mathbf{d}}}{\mathbf{\partial d}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{u}^{\mathbf{2}}\left( \mathbf{d} \right)}$$

$$\mathbf{u}_{\mathbf{c}}\left( \mathbf{I}_{\mathbf{d}} \right)\mathbf{=}\sqrt{\left( \frac{\mathbf{\text{Tmgd}}}{{\mathbf{4}\mathbf{\pi}}^{\mathbf{2}}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{u}^{\mathbf{2}}\left( \mathbf{T} \right)\mathbf{+}\left( \frac{\mathbf{T}^{\mathbf{2}}\mathbf{\text{gd}}}{{\mathbf{8}\mathbf{\pi}}^{\mathbf{2}}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{u}^{\mathbf{2}}\left( \mathbf{m} \right)\mathbf{+}{\left( \frac{\mathbf{T}^{\mathbf{2}}\mathbf{\text{mg}}}{{\mathbf{8}\mathbf{\pi}}^{\mathbf{2}}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{u}^{\mathbf{2}}\left( \mathbf{d} \right)}^{\mathbf{2}}}$$

$$u_{c}\left( I_{d} \right) = \sqrt{\left( \frac{0,77*1,2216*9,81*0,04975}{4*\left( 3,14 \right)^{2}} \right)^{2}*\left( 0,0083 \right)^{2} + \left( \frac{\left( 0,77 \right)^{2}*9,81*0,04975}{8*\left( 3,14 \right)^{2}} \right)^{2}*\left( 0,0001 \right)^{2} + \left( \frac{\left( 0,77 \right)^{2}*1,2216*9,81}{8*\left( 3,14 \right)^{2}} \right)^{2}*\left( 0,000029 \right)^{2}} = 0,000097\text{kgm}^{2}$$

• Moment bezwładności względem osi środkowej i jego niepewność

$$\mathbf{I}_{\mathbf{o}}\mathbf{=}\mathbf{I}_{\mathbf{d}}\mathbf{- m}\frac{\mathbf{d}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{4}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{T}^{\mathbf{2}}\mathbf{\text{mgd}}}{{\mathbf{8}\mathbf{\pi}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{- m}\frac{\mathbf{d}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{4}}$$

$$I_{o} = 0,0045 - 1,2216*\frac{\left( 0,04975 \right)^{2}}{4} = 0,0038\left\lbrack \text{kgm}^{2} \right\rbrack$$

$$\mathbf{u}_{\mathbf{c}}\left( \mathbf{I}_{\mathbf{o}} \right)\mathbf{=}\sqrt{\left( \frac{\mathbf{\partial}\mathbf{I}_{\mathbf{o}}}{\mathbf{\partial}\mathbf{I}_{\mathbf{d}}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{u}^{\mathbf{2}}\left( \mathbf{I}_{\mathbf{d}} \right)\mathbf{+}\left( \frac{\mathbf{\partial}\mathbf{I}_{\mathbf{o}}}{\mathbf{\partial m}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{u}^{\mathbf{2}}\left( \mathbf{m} \right)\mathbf{+}\left( \frac{\mathbf{\partial}\mathbf{I}_{\mathbf{o}}}{\mathbf{\partial d}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{u}^{\mathbf{2}}\left( \mathbf{d} \right)}$$

$$\mathbf{u}_{\mathbf{c}}\left( \mathbf{I}_{\mathbf{o}} \right)\mathbf{=}\sqrt{\left( \mathbf{1} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{u}^{\mathbf{2}}\left( \mathbf{I}_{\mathbf{d}} \right)\mathbf{+}\left( \mathbf{-}\frac{\mathbf{d}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{4}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{u}^{\mathbf{2}}\left( \mathbf{m} \right)\mathbf{+}\left( \mathbf{-}\frac{\mathbf{\text{md}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{u}^{\mathbf{2}}\left( \mathbf{d} \right)}$$

$$u_{c}\left( I_{o} \right) = \sqrt{\left( 1 \right)^{2}*\left( 0,000097 \right)^{2} + \left( - \frac{\left( 0,04975 \right)^{2}}{4} \right)^{2}*\left( 0,0001 \right)^{2} + \left( - \frac{1,2216*\left( 0,04975 \right)^{2}}{2} \right)^{2}*\left( 0,000029 \right)^{2}} = 0,00090\left\lbrack \text{kgm}^{2} \right\rbrack$$

• Wartość C i jej niepewność

$$\mathbf{C =}\mathbf{T}^{\mathbf{2}}\mathbf{g}\frac{\mathbf{d}}{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{\pi}^{\mathbf{2}}\mathbf{d}^{\mathbf{2}}$$

$$C = \left( 0,77 \right)^{2}*9,81*\frac{0,04975}{2} - \left( 3,14 \right)^{2}*\left( 0,04975 \right)^{2} = 0,121\left\lbrack m^{2} \right\rbrack$$

$$\mathbf{u}_{\mathbf{c}}\left( \mathbf{C} \right)\mathbf{=}\sqrt{\left( \frac{\mathbf{\partial}\mathbf{C}}{\mathbf{\partial}\mathbf{T}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{u}^{\mathbf{2}}\left( \mathbf{T} \right)\mathbf{+}\left( \frac{\mathbf{\partial}\mathbf{C}}{\mathbf{\partial d}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{u}^{\mathbf{2}}\left( \mathbf{d} \right)}$$

$$\mathbf{u}_{\mathbf{c}}\left( \mathbf{C} \right)\mathbf{=}\sqrt{\left( \mathbf{\text{Tgd}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{u}^{\mathbf{2}}\left( \mathbf{T} \right)\mathbf{+}\left( \frac{\mathbf{T}^{\mathbf{2}}\mathbf{g}}{\mathbf{2}}\mathbf{- 2}\mathbf{\pi}^{\mathbf{2}}\mathbf{d} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{u}^{\mathbf{2}}\left( \mathbf{d} \right)}$$

$$u_{c}\left( C \right) = \sqrt{\left( 0,77*9,81*0,04975 \right)^{2}*\left( 0,0083 \right)^{2} + \left( \frac{\left( 0,77 \right)^{2}*9,81}{2} - 2*\left( 3,14 \right)^{2}*0,04975 \right)^{2}*\left( 0,000029 \right)^{2}} = 0,0032\left\lbrack m^{2} \right\rbrack$$

$$\mathbf{C}_{\mathbf{sr}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{3}}\mathbf{Ci =}\mathbf{\ }\frac{\mathbf{C}_{\mathbf{1}}\mathbf{+}\mathbf{C}_{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{C}_{\mathbf{3}}}{\mathbf{3}}$$

$$C_{sr} = \frac{0,369}{3} = 0,123\left\lbrack m^{2} \right\rbrack$$

• Moment bezwładności względem osi środkowej obliczony z tw. Steinera oraz jego niepewność (dla tarczy)

$$\mathbf{I}_{\mathbf{\text{o.st}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\text{mC}}}{{\mathbf{4}\mathbf{\pi}}^{\mathbf{2}}}$$

$$I_{\text{o.st}} = \frac{1,2216*0,123}{4*\left( 3,14 \right)^{2}} = 0,0038\left\lbrack \text{kgm}^{2} \right\rbrack$$

$$\mathbf{u}_{\mathbf{c}}\left( \mathbf{I}_{\mathbf{\text{o.st}}} \right)\mathbf{=}\sqrt{\left( \frac{\mathbf{\partial}\mathbf{I}_{\mathbf{\text{o.st}}}}{\mathbf{\partial C}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{u}^{\mathbf{2}}\left( \mathbf{m} \right)\mathbf{+}\left( \frac{\mathbf{\partial}\mathbf{I}_{\mathbf{\text{o.st}}}}{\mathbf{\partial n}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{u}^{\mathbf{2}}\left( \mathbf{C}_{\mathbf{sr}} \right)}$$

$$\mathbf{u}_{\mathbf{c}}\left( \mathbf{I}_{\mathbf{\text{o.st}}} \right)\mathbf{=}\sqrt{\left( \frac{\mathbf{C}}{{\mathbf{4}\mathbf{\pi}}^{\mathbf{2}}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{u}^{\mathbf{2}}\left( \mathbf{m} \right)\mathbf{+}\left( \frac{\mathbf{m}}{{\mathbf{4}\mathbf{\pi}}^{\mathbf{2}}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{u}^{\mathbf{2}}\left( \mathbf{C}_{\mathbf{sr}} \right)}$$

$$u_{c}\left( I_{\text{o.st}} \right) = \sqrt{\left( \frac{0,123}{4*\left( 3,14 \right)^{2}} \right)^{2}*\left( 0,0001 \right)^{2} + \left( \frac{1,2216}{4*\left( 3,14 \right)^{2}} \right)^{2}*\left( 0,0065 \right)^{2}} = 0,00021\left\lbrack \text{kgm}^{2} \right\rbrack$$

• Moment bezwładności względem osi środkowej oraz jego niepewność ( dla pierścienia)

$$\mathbf{I}_{\mathbf{o}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{8}}\mathbf{m}\left( \mathbf{d}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{D}^{\mathbf{2}} \right)$$

$$I_{o} = \frac{1}{8}*0,2048*\left( {0,0997}^{2} + {0,1097}^{2} \right) = 0,0015\left\lbrack \text{kgm}^{2} \right\rbrack$$

$$\mathbf{u}_{\mathbf{c}}\left( \mathbf{I}_{\mathbf{\text{o.st}}} \right)\mathbf{=}\sqrt{\left( \frac{\mathbf{\partial}\mathbf{I}_{\mathbf{\text{o.st}}}}{\mathbf{\partial m}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{u}^{\mathbf{2}}\left( \mathbf{m} \right)\mathbf{+}\left( \frac{\mathbf{\partial}\mathbf{I}_{\mathbf{\text{o.st}}}}{\mathbf{\partial d}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{u}^{\mathbf{2}}\left( \mathbf{d} \right)\mathbf{+}\left( \frac{\mathbf{\partial}\mathbf{I}_{\mathbf{\text{o.st}}}}{\mathbf{\partial D}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{u}^{\mathbf{2}}\left( \mathbf{D} \right)}$$

$$\mathbf{u}_{\mathbf{c}}\left( \mathbf{I}_{\mathbf{\text{o.st}}} \right)\mathbf{=}\sqrt{\left( \frac{\mathbf{d}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{D}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{8}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{u}^{\mathbf{2}}\left( \mathbf{m} \right)\mathbf{+}\left( \frac{\mathbf{m}\left( \mathbf{2}\mathbf{d +}\mathbf{D}^{\mathbf{2}} \right)}{\mathbf{8}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{u}^{\mathbf{2}}\left( \mathbf{d} \right)\mathbf{+}\left( \frac{\mathbf{m}\left( \mathbf{2}\mathbf{D +}\mathbf{d}^{\mathbf{2}} \right)}{\mathbf{8}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{u}^{\mathbf{2}}\left( \mathbf{D} \right)}$$

$$u_{c}\left( I_{\text{o.st}} \right) = \sqrt{\left( \frac{\left( 0,0997 \right)^{2} + \left( 0,1097 \right)^{2}}{8} \right)^{2}*\left( 0,001 \right)^{2} + \left( \frac{0,2048\left( 2*0,0977 + \left( 0,1097 \right)^{2} \right)}{8} \right)^{2}*\left( 0,000029 \right)^{2} + \left( \frac{0,2048\left( 2*0,1097 + \left( 0,0977 \right)^{2} \right)}{8} \right)^{2}*\left( 0,000029 \right)^{2}} = 0,0000024\left\lbrack \text{kgm}^{2} \right\rbrack$$