Nr ćwiczenia: 102 |
Data: 17.11.2011 |
Imię i nazwisko: Agnieszka Kubiak |
Wydział: WBMiZ |
Semestr: pierwszy |
Grupa: A1 nr lab. 2 |
---|---|---|---|---|---|
Prowadzący: dr Ryszard Skwarek | Przygotowanie: | Wykonanie: | Ocena: |
Temat: Wyznaczanie modułu sztywności metodą dynamiczną
1.Podstawy teoretyczne:
Odkształcenie sprężyste – makroskopowa deformacja ciała wskutek zmiany odległości zanikająca po odjęciu działania siły zewnętrznej.
Odkształcenie plastyczne - makroskopowa deformacja ciała wskutek zmiany odległości niezanikające całkowicie po odjęciu działania siły zewnętrznej.
Naprężenie normalne – stosunek siły Fn normalnej (prostopadłej) do powierzchni S
$$\sigma = \frac{F_{n}}{S}$$
Naprężenie styczne - stosunek siły Fs stycznej do powierzchni S
$$\tau = \frac{F_{n}}{S}$$
Prawo Hooke’a (zależność odkształcenia od naprężenia) - odkształcenie ciała pod wpływem działającej na nie siły jest wprost proporcjonalne do tej siły. Współczynnik między siłą a odkształceniem jest często nazywany współczynnikiem (modułem) sprężystości.
τ = Gφ
φ-miara deformacji kątowej
G- moduł sztywności
Moduł sztywności (skręcenia) - -współczynnik uzależniający odkształcenie postaciowe materiału od naprężenia, jakie w nim występuje. Dla metody dynamicznej wynosi:
$$G = \frac{8\pi lI_{1}}{r^{4}\left( T_{1}^{2} - T^{2} \right)}$$
r - promień drutu,
l - długość drutu
T - okres drgań wibratora nieobciążonego lub obciążonego wstępnie
T1 - okres drgań wibratora obciążonego znanymi masami
I1 – moment bezwładności, który obliczamy ze wzoru:
I1 = NI0 + Nmd2
N – liczba walcowych obciążników,
m – masa walcowych obciążników
I0 –moment bezwładności pojedynczego walcowego obciążnika względem jego osi symetrii
d - odległość obciążników od wibratora
Zależność wychylenia od czasu w ruchu harmonicznym: wychylenie wraz z upływem czasu maleje, zbliżając się do 0, czyli stanu spoczynku ciała.
Okresem T ruchu harmonicznego jest czas trwania jednego pełnego drgnięcia albo cyklu (to jest najkrótszy czas, po upływie którego ruch zaczyna się powtarzać.
$$T = \frac{1}{f}$$
Czynności pomiarowe:
Pomiar długości i szerokości pręta, pomiar średnicy i wagi każdego walcowego obciążnika, pomiar długości kołków wibratora od środka, pomiar okresu 10 wahnięć wibratora bez obciążników i z obciążnikami na odpowiednich kołkach za pomocą stopera.
Streszczenie ćwiczenia:
Zmierzono długość i szerokość pręta, średnicę i wagę każdego obciążnika i długość kołków wibratora od środka. Zmierzono czas 10 wahnięć wibratora bez obciążenia, następnie obciążono jego cztery wewnętrzne kołki obciążnikami i dokonano pomiaru. Czynność powtórzono dla obciążników na środkowych kołkach i zewnętrznych. Obliczono moment bezwładności i moduł sztywności dla wszystkich rozkładów mas. Obliczono średnią arytmetyczną wyników i odchylenie standardowe. Zaokrąglono wyniki i zapisano wynik z błędem.
2.Wyniki pomiarów:
Długość pręta: | 163cm = 1,63m |
Średnica pręta: | 0,1cm = 10-3m |
Promień pręta (r): | 0,05cm = 5 ∙ 10-4m |
Masa ciężarka (m): | 94g = 94 ∙ 10-3kg |
Średnica ciężarka: | 3,2cm = 32 ∙ 10-4m |
Promień ciężarka (R): | 16 ∙ 10-4m |
Odległość wewnętrznych kołków od średnicy (d1): | 5cm = 5 ∙ 10-2m |
Odległość środkowych kołków od średnicy (d2): | 10cm = 10-1m |
Odległość zewnętrznych kołków od średnicy (d3): | 15cm= 15 ∙ 10-2m |
Ilustracja rozkładów obciążeń:
Pomiar okresu wibratora:
Rodzaj wibratora | Okres 10 wahnięć [s] |
---|---|
Bez obciążenia | 41,59 |
Z obciążeniem na długości d1 | 49,21 |
Z obciążeniem na długości d2 | 68,31 |
Z obciążeniem na długości d3 | 90,62 |
3.Obliczenia
1. Obliczenie momentu bezwładności dla pojedynczego walcowego obciążnika:
$$I_{0} = \frac{1}{2}mR^{2}$$
$$I_{0} = \frac{1}{2}94*10^{- 3}*\left( 16*10^{- 4} \right)^{2} = 47*10^{- 3}*256*10^{- 11} = 12032*10^{- 11}\left\lbrack kg*m^{2} \right\rbrack$$
I0=12032*10−11[kg*m2]
2.Obliczenie momentu bezwładności dla wibratora bez obciążenia:
I1 = NI0 + Nmd2
I1 = 0 * 12032 * 10−11 + 0 * 94 * 10−302 = 0[kg*m2]
$$G_{0} = \frac{8\pi lI_{1}}{r^{4}\left( T_{1}^{2} - T^{2} \right)}$$
$$G_{0} = \frac{8\pi*1,63*0}{\left( 0,5*10^{- 4} \right)^{4}*\left( {41,59}_{}^{2} - {41,59}^{2} \right)} = 0\left\lbrack \text{Pa} \right\rbrack$$
4. Obliczenie momentu bezwładności dla wibratora obciążonego na długości d1:
Id1 = NI0 + Nmd12
Id1 = 4 ⋅ 0, 000012 + 4 ⋅ 0, 094 ⋅ 0, 052 = 9, 88 ⋅ 10−4
5. Obliczenie modułu sztywności dla wibratora obciążonego na długości d1:
$$G_{d1} = \frac{8\pi lI_{d1}}{r^{4}\left( T_{d1}^{2} - T^{2} \right)}$$
$$G_{d1} = \frac{8*3,14*1,63*9,88*10^{- 4}}{{(0.5*10^{- 4})}^{4}*\left( {49,21}^{2} - {41,59}^{2} \right)} = \frac{404,5425*10^{- 4}}{6,25*10^{- 11}*691,896} = 9,355*10^{7}$$
Gd1=9, 355*107[Pa]
6. Obliczenie momentu bezwładności dla wibratora obciążonego na długości d2:
Id2 = NI0 + Nmd22
Id2 = 4 ⋅ 0, 000012 + 4 ⋅ 0, 094 ⋅ 0, 12 = 3, 808 ⋅ 10−3
7. Obliczenie modułu sztywności dla wibratora obciążonego na długości d2:
$$G_{d2} = \frac{8\pi lI_{d2}}{r^{4}\left( T_{d2}^{2} - T^{2} \right)}$$
$$G_{d2} = \frac{8*3,14*1,63*3,808*10^{- 3}}{{(0,5*10^{- 4})}^{4}*\left( {68,31}^{2} - {41,59}^{2} \right)} = \frac{155,9208*10^{- 3}}{6,25*10^{- 10}*2936,528} = 8,496*10^{7}$$
Gd2=8, 496*107[Pa]
8. Obliczenie momentu bezwładności dla wibratora obciążonego na długości d3:
Id3 = NI0 + Nmd32
Id3 = 4 ⋅ 0, 000012 + 4 ⋅ 0, 094 ⋅ 0, 152 = 8, 508 ⋅ 10−3
9.Obliczenie modułu sztywności dla wibratora obciążonego na długości d3:
$$G_{d3} = \frac{8\pi lI_{d3}}{r^{4}\left( T_{d3}^{2} - T^{2} \right)}$$
$$G_{d3} = \frac{8*3,14*1,63*8,508*10^{- 3}}{{(0,5*10^{- 4})}^{4}*\left( {90,62}^{2} - {41,59}^{2} \right)} = \frac{348,3652*10^{- 3}}{6,25*10^{- 10}*6482,256} = 8,599*10^{7}$$
Gd3 = 8, 599*107[Pa]
Zestawienie wyników dla modułu sztywności:
Gd1 = 9, 355 * 107[Pa] |
---|
Gd2 = 8, 496 * 107[Pa] |
Gd3 = 8, 599 * 107[Pa] |
4.Obliczanie błędów pomiaru:
Błędy systematyczne:
ΔT=±1[s]
Δl=±2 * 10−3[m]
ΔR = ±10−4[m]
ΔM = ±10−4[kg]
Błąd wyliczenia momentu bezwładności:
$$I = \mid \frac{\partial I}{\partial R}\Delta R \mid + \mid \frac{\partial I}{\partial M}\Delta M \mid = \mid 2MR\Delta R \mid + \mid R^{2} + {2d}^{2}\Delta M \mid$$
ΔI1 = ∣2 * 0, 094 * 0, 016 * 0, 001 ∣ + ∣ (0,016)2 + 2 * (0,05)2 * 0, 001 ∣ =2, 79008 * 10−4
ΔI2 = ∣2 * 0, 094 * 0, 016 * 0, 001 ∣ + ∣ (0,016)2 + 2 * (0,1)2 * 0, 001 ∣ =2, 76048 * 10−4
ΔI3 = ∣2 * 0, 094 * 0, 016 * 0, 001 ∣ + ∣ (0,016)2 + 2 * (0,15)2 * 0, 001 ∣ =3, 01048 * 10−4
Błąd wyliczenia modułu sztywności:
$$\overset{\bar{}}{T} = \frac{49,21 + 68,31 + 90,62}{3} = 69,38$$
$$G = \mid \frac{\partial G}{\partial l}\text{Δl} \mid + \mid \frac{\partial G}{\partial T}\text{ΔT} \mid = \mid \frac{8\text{πl}}{r^{4}(T_{1,2,3sr}^{2} - T_{sr}^{2})}\text{Δl} \mid + \mid \frac{- 8\pi \cdot l \cdot I}{r^{4}(T_{1,2,3sr}^{2} - T_{sr}^{2})(T_{1,2,3sr} + T_{sr})}\text{ΔT} \mid$$
$$\Delta G_{1} = \mid \frac{8*3,14*1,63}{\left( 0,5*10^{- 4} \right)^{4}*\left( {69,38}^{2} - {49,21}^{2} \right)}*{2*10}^{- 3} \mid + \mid \frac{- 8*3,14*1,63*9,88 \cdot 10^{- 4}}{\left( 0,5*10^{- 4} \right)^{4}*\left( {69,38}^{2} - {49,21}^{2} \right)*118,59}*1 \mid = 0,05249*10^{9}$$
ΔG2 = 0, 01959815 * 109
ΔG3 = 0, 0123842 ⋅ 109
$$\overset{\overline{}}{G} = 8,81667*10^{7}$$
$$\overset{\overline{}}{G} = 2,35897*10^{7}$$
$$\sigma = \sqrt{\frac{\left( 9,355*10^{7} - 8,81667*10^{7} \right)^{2} + \left( 8,496*10^{7} - 8,81667*10^{7} \right)^{2} + \left( 8,599*10^{7} - 8,81667*10^{7} \right)^{2}}{6}\ }$$
σ = 0, 271 ⋅ 107
ΔGP = 3σt3=2,359* 107
$$\Delta G_{C} = \Delta G_{p} + \Delta\overset{\overline{}}{G} = 3,416*10^{7}$$
G=8, 817*107±3, 416*107[Pa]
Po zaokrągleniu: G=(8±0,3) [Nm-1rad-1]
4.Wnioski:
Po wyliczeniu średniej wartości modułu sztywności zakładam pewną niedokładność w obliczeniach, odczytując wartości tablicowe, wnioskuję, że metalem z którego wykonany jest badany przeze mnie drut – jest stal. Wartość zbadana niewiele odbiega od tablicowej. Można założyć ze ćwiczenie zostało wykonane poprawnie.