I zasada Termodynamiki
Ciepło dostarczone do gazu znajdującego się pod tłokiem jest zużywane na wzrost energii wewnętrznej związane ze wzrostem temp. oraz na pracę jaką wykonuje gaz na ciałach zewn. przesuwając tłok i zwiększając objętość. Q = U + W
Zastosowanie – przemiany gazowe
a)przemiana izotermiczna, T=const ; U = 0 ; Q = W ; dW=pdV ; pV=nRT ; P=$\frac{\text{nRT}}{V}$ ; dW=$\frac{\text{nRTdV}}{V}$ ; W$\int_{V_{1}}^{V_{2}}\frac{\text{nRTdV}}{V}$=nRT$\int_{V_{1}}^{V_{2}}\frac{\text{dV}}{V} =$nRT(lnV1-lnV2)=nRT ln $\frac{V_{2}}{V_{1}}$ , b)przemiana izobaryczna, p=const ; Q = U + W ; Q = U + pV ; pV1=$\frac{m}{\mu}$RT1 ; pV2=$\frac{m}{\mu}$RT2 ; pV1- pV2= $\frac{m}{\mu}$RT1-$\ \frac{m}{\mu}$RT2 ; pV=$\frac{m}{\mu}$RT ; Q = mCpT ; $C_{p} = \frac{Q}{mT}$ ; mCpT=$\frac{i}{2}\frac{m}{\mu}RT + \frac{m}{\mu}RT$ ; $C_{p} = (\frac{i}{2} + 1)\frac{R}{\mu}$(ciepło właściwe) ; Cp = Cpμ ; $C_{p} = (\frac{i}{2} + 1)R$ (ciepło molowe wł.) c)przemiana izochoryczna V=const, W=0 ; Q = V ; Q = mCpT ; $C_{V} = \ \frac{Q}{mT}$ [$\frac{J}{kg*T}$] ; $mC_{V}T = \frac{i}{2}\frac{m}{\mu}\ RT$ ; $C_{V} = \frac{i}{2}\frac{R}{\mu}$ (właściwe) ; $C_{V} = \frac{i}{2}\text{R\ }$(molowe) ; $C_{p} = C_{V} + \frac{R}{\mu}$ ; Cp = CV + R, d)przemiana adiabatyczna (równanie adiabaty) Q = 0 (bez wymiany ciepła praca kosztem zmniejszenia energii wewn.);dW=-dU ; dla jednego k mola gazu : pdV=CVdT ; pdV+CVdT=0 ; p=$\frac{\text{RT}}{V}$ ; $\frac{\text{RT}}{V}$dV+CVdT=0 /:T ; R$\int_{}^{}\frac{\text{dV}}{V} +$ $C_{V}\int_{}^{}\frac{\text{dT}}{V}$=0 ; RlnV+CVlnT=const, ale R=Cp- CV ;
(Cp- CV)lnV+ CVlnT=const ; VCp − CVT CV = const ; $V^{\frac{C_{p} - \text{\ C}_{V}\ }{\text{\ C}_{V}}}$T =const ; Vℵ − 1T = const, ale T= $\frac{\text{pV}}{R}$ ; PVℵ = const ;obliczamy pracę w przemianie adiabatycznej: W=−CVdT= − CV(T2-T1), dla masy m: W= − $\frac{i}{2}\frac{m}{\mu}$R(T2-T1), e)przemiana politropowa (równanie politropy) – to przemiana przy której ciepło właściwe przyjmuje dowolnie wybraną stałą wartość C: dQ=dU+pdV ; dQ=CdT ; dla jednego k mola gazu : dU= CVdT ; CdT=pdV+ CVdT ; przeprowadzając obliczenia analogicznie jak w adiabacie otrzymujemy ale T= $\frac{\text{pV}}{R}$ ; $V^{\frac{C_{p} - \text{\ C}_{V}\ }{\text{\ C}_{V} - C}}$+1T=const ; $\frac{C_{p} - \text{\ C}_{V} + \text{\ C}_{V} - \ C}{\text{\ C}_{V} - C}$= $\frac{C_{p} - \ C}{\text{\ C}_{V} - C}$=n ; pVn=const
II zasada Termodynamiki
Niemożliwe jest zbudowanie silnika perpetuum mobile drugiego rodzaju co oznacza: niemożliwy jest proces którego jedynym rezultatem jest zamiana ciepła otrzymanego ze źródła ciepła na równoważną mu pracę. Niemożliwy jest proces którego jedynym rezultatem jest przekazywanie energii w postaci ciepła od ciała zimniejszego do ciała cieplejszego. $\eta = \frac{W}{Q_{1}}$ ; W=Q1 − Q2 ; η =$\frac{Q_{1} - \ Q_{2}}{Q_{1}}$ ; η- sprawność silnika, Q1- całkowite ciepło pobrane ze źródła ciepła , Q2- ciepło oddane.
Cykl Carnota
Rozpatrzmy uproszczony silnik na cyklu zamkniętym zwanym cyklem Carnota. Składa się on z dwóch izoterm i dwóch adiabat, jest odwracalny, może działać w obie strony, tzn. pobierać ciepło z chłodnicy i pracę dostarczoną z zewnątrz i oddać ciepło grzejników.
1→2 – rozprężanie izotermiczne T1=const , V1=V2 (rośnie), obliczamy pracę: W1=$\int_{V_{1}}^{V_{2}}\text{pdV} = \ \int_{V_{1}}^{V_{2}}{\text{nR}T_{1}\frac{\text{dV}}{V}}$= nRT1ln$\frac{V_{2}}{V_{1}}$=Q1 2→3 rozprężanie adiabatyczne T1→T2 , V3 > V2 ; W2=-dU=nCV(T1-T2), ciepło pobrane =0, 3→4 sprężanie izotermiczne T2=const , V3→V4; W3=∫V3V4pdV=$\int_{V_{3}}^{V_{4}}{\text{nR}T_{2}\frac{\text{dV}}{V}}$= nRT2ln$\frac{V_{4}}{V_{3}}$=-Q2 4→1 sprężanie adiabatyczne T2-T1, V4→V1 ; W4 =-dU= nCV (T2-T1) ciepło oddane = 0 ;
𝜂=$\frac{Q_{1} - \ Q_{2}}{Q_{1}}$=$\frac{W}{Q_{1}}$=$\frac{W_{1} + W_{2} + W_{3} + W_{4}}{Q_{1}}$ ; 𝜂=$\frac{\text{nR}T_{1}\ln\frac{V_{2}}{V_{1}} + \text{nR}T_{2}\ln\frac{V_{4}}{V_{3}}}{\text{nR}T_{1}\ln\frac{V_{2}}{V_{1}}}$= $\frac{\text{nR}(T1 - T2)ln\frac{V_{2}}{V_{1}}}{\text{nR}T_{1}\ln\frac{V_{2}}{V_{1}}}$= $\frac{\mathbf{T}_{\mathbf{1}}\mathbf{-}\mathbf{T}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{T}_{\mathbf{1}}}$ Wzór na sprawność cyklu Carnota mówi nam że ta sprawność zależy od skrajnych temperatur cyklu. Nie zależy od ciała znajdującego się pod tłokiem.
Chłodziarka -> odwrotny cykl Carnota : Q1=Q2+W ; 𝜂=$\frac{Q_{1} - \ Q_{2}}{Q_{1}}$=$\frac{\ Q_{2 + W -}Q_{2}}{Q_{2} + W}$=$\frac{W}{Q_{2} + W}$