Predykcja to kreślenie wartości w pktach, w których nie wykonano pomiaru. Model funkcjonalny X=[Cpp1,Cpp2…][Cp1p1xCpnpn]-1[Xp1,Xp2…], Gdzie: X – wartość obliczana; Cpp1 – kowariancja dla odległości obliczonej (ze współrzędnych) między poszczególnymi punktami szukanymi a punktami w których znamy wartości, Cp1p1 – kowariancja dla odległości między punktami w których znamy wartości (w naszym przypadku wartości anomalii grawimetrycznej), XP1 – wartości znane (w naszym przypadku anomalii grawimetrycznej). Zastosowanie: Należało wyinterpolować (wypredykować) wartości anomalii grawimetrycznej w dwóch punktach o podanych współrzędnych: Mamy dane anomalii grawimetrycznej w oczkach siatki 10x10 pkt o bokach 100x100m.; Obliczamy wartość trendu – średnia ważona (wagi każdej obserwacji = 1 – czyli średnia arytmetyczna); Wartość trendu odejmujemy od wartości anomalii w poszczególnych punktach siatki.; Obliczamy empiryczne wartości kowariancji dla poszczególnych odległości; Podstawiając do wzoru Hirvonena lub Gaussa obliczamy wartości kowariancji; Obliczamy kowariancję dla odległości (6) pomiędzy punktami w których chcemy wyinterpolować wartości i wszystkimi oczkami siatki; Obliczamy kowariancję (7) dla odległości pomiędzy wszystkimi oczkami siatki; Mnożymy macierz z punktu 6 i odwrócona mac z pkt7; Przywracamy obliczoną wartość trendu. Kriging zakłada zależności między oddalaniem pktów a stopniem ich podobieństwa. Wielkości zmierzone w bliskich sobie pktach powinny być bardziej zbliżone cechą niż zmierzone w pktach bardziej oddalonych. d=PIER(x-x)2+(y-y)2	Kolokacja - uogólnienie metody najmniejszych kwadratów, w którym uwzględnia się dwa składniki błędu, tzw. szum oraz skorelowany sygnał, który charakteryzuje się przyjętą funkcją korelacji. W materiale obserwacyjnym można wyróżnić: 1)część regularną (deterministyczną) – trend (x) 2)część regularną (stochastyczną) – sygnał (s) 3)część nieregularną (stochastyczną) – szum pomiarowy (n). Kolokacja łączy w sobie: estymację trendu, filtrację – oddzielenie szumu pomiarowego, predykcję (interpolację) – określenie wartości w punktach, w których nie wykonano pomiaru. Model funkcjonalny kolokacji: L = Ax + (s + n) = Ax + ε, gdzie: L - wektor obserwacji A - prostokątna macierz zawierająca współczynniki przy niewiadomych x - wektor niewiadomych (trend) s – część regularna wektora losowego (sygnał) n – część nieregularna (szum). ε = s + n założenie: s i n są niezależne. Metoda najmniejszych kwadratów polega na minimalizacji sumy kwadratów błędów, dlatego ε^TP ε -> min, czyli n^TCnn^-1n + s^TCss^-1s ->min. Taki warunek trzeba założyć, aby rozwiązać model kolokacji. W przypadku szczególnym, gdy s = 0 (czyli sygnał jest równy 0), wtedy Css = 0 i Csps = 0. Mamy wówczas do czynienia z metodą najmniejszych kwadratów: X = (ATCnn-1A)-1ATCnn-1L. Kolokacja jest więc uogólnieniem metody najmniejszych kwadratów. Fcja wpływu jest pochodną fcji straty po wartości poprawek. Opisuje ona mechanizm odpornościowy danej metody. V dla v>c; c/v<=c. Fcja straty jest miarą odchyleń wartości estymowanej od wartości oczekiwanej.1/2v^2 dla v<=c; cv-1/2c^2 dla v>c.
M-estymatory W metodzie M – estymatorów odbywa się to poprzez odpowiednie wagowanie tych obserwacji (wprowadza się funkcję wagową). W metodzie najmniejszych kwadratów można ewentualnie wykryć za pomocą testów statystycznych takie obserwacje, a następnie usunąć je ze zbioru danych. Tok postępowania w metodzie M – estymatorów przebiega podobnie jak w metodzie najmniejszych kwadratów, ale w przeciwieństwie do tej drugiej przebiega iteracyjnie. Kolejne iteracje przebiegają jak wyznaczanie parametrów modelu i wyrównanie obserwacji w metodzie pośredniczącej, ale w każdej kolejnej iteracji tworzy się nową macierz wag, w której wagi obserwacji obarczonych błędami grubymi są coraz mniejsze. Zasto: wpasowanie prosty równoległych: Pierwsze wyznaczenie parametrów modelu: w każdej kolejnej iteracji zmieniały się współrzędne Y X0 = (AtA)-1Aty 2. Wyznaczenie poprawek do obserwacji v(k) = Ax(k) – y 3. Obliczenie wag (w pierwszym obliczeniu wartości wag wszystkich obserwacji = 1, w pozostałych iteracjach korzystamy z funkcji wagowej Hubera) Obserwacje obarczone błędami grubymi dostają mniejsze wartości wag 4. Kolejne wyznaczenie parametrów modelu: Xk = (Atw(k)A)-1ATw(k)y 5. Wyznaczenie różnicy między wektorami parametrów wyznaczonymi w dwóch kolejnych iteracjach ε = X(k+1) – X(k)	Sieć swobodna defekt konfiguracji (polega na tym, że punkty sieci nie mają ze sobą połączenia. Defekt ten można usunąć poprzez pomiar dodatkowych (odpowiednich) obserwacji.); defekt układu odniesienia (może być usunięty poprzez nałożenie dodatkowych warunków lub częściowo usunięty poprzez wykonanie dodatkowych obserwacji.) Sieć swobodną wyrównuje się poprzez nałożenie na wyrównywane parametry odpowiednich warunków Warunki te wprowadza się w macierzy Btx=w, B^T – macierz współczynników przy wyznaczanych parametrach, x – wektor wyznaczanych parametrów. Równania warunkowe dopisuje się do równań obserwacji Ax=L+v, A – macierz współczynników przy niewiadomych, L – macierz wyrazów wolnych, v – poprawki. W ten sposób otrzymujemy rozszerzony układ równań normalnych (macierz blokowa). Jeżeli det(N = A^TPA,) = 0, wówczas należy wykonać rozkład spektralny macierzy N na wektory i wartości własne. Obliczamy: Współrzędne przybliżone, Obserwacje przybliżone, Układamy równania poprawek dla długości i kątów, Ogólny układ obserwacyjny V=Ax-L, Macierz kowariancji pierwotnych obserwacji „C”, Układamy ostateczną macierz wag P=C(-1), ATPA, Nakładamy warunki (na wysokość), Układamy macierz Kofaktorów „Q”, Rozwiązujemy układ z charakterystyką dokładności dx=QATPL, V=Adx-L, Błędy niewiadomych , Wyrównujemy współrzędne, odległości, kąty, Błędy poprawek, Ocena dokładności wyrównania + test lokalny Sieć niw nawiązana: 1.ułożenie równań obserwacji z uwzględnieniem błędów (poprawek do obserwacji); 2.ułożenie równań poprawek 3.tworzymy macierz v=AX-L 4.tworzymy macierz wag, 5.tworzymy macierz ATPA, 6.tworzymy macierz kofaktorów: Q=(ATPA)-1 7.wyznaczamy wyrównane niewiadome x= Q*ATPL , poprawki V=Ax-L i obser Δh=Δh+v Ocena dokładności: błąd pojedynczej obserwacji: m0=PIER(vtPv/n-m), błąd wyrównanych niewiadomych,:mH=m0*PIER(Qii); błąd wyrównanych obserwacji: mΔh=m0*PIER(Qhh=mo2*AQAt) błędy poprawek do obserwacji: mv=m0PIER(Cvv)
Obserwacje dźwigniowe – Są to obserwacje, które leżą daleko od środka ciężkości pozostałych obserwacji (od geometrycznie uporządkowanych stałych punktów). Występujące w tych obserwacjach błędy grube są szczególnie niebezpieczne. Punkty dźwigniowe można określić na podstawie analizy geometrii. Można zaplanować obserwacje tak, żeby obserwacje dźwigniowe wykonać z większą dokładnością lub zwiększyć ich ilość. Obserwacja jest obserwacją dźwigniową, jeśli wartość hii w macierzy projekcji jest duża, tzn. większa od wartości średniej hśr = , gdzie m – liczba wyznaczanych parametrów, n – liczba obserwacji. Twierdzenie o próbkowaniu daje odpowiedź, w których miejscach profilu terenu należy pomierzyć punkty, przy założeniu, że profil terenu odpowiada sygnałowi i że pomiar odbywa się z określonym interwałem ΔX. Jest to dyskretyzowanie z interwału ΔX, mierzone w postaci dyskretnych punktów. Musimy dobrać taki interwał, aby był mniejszy od połowy długości fali w sygnale: ΔX≤l/2=1/2f=pi/ωg; gdzie: ΔX – próbkowanie fmax – max częstotliwość, ωg –częstotliwość graficzna, ω = 2пf –częstotliwość kołowa, lmin –minimalna długość fali, dzięki czemu nie natrafimy na wartości zerowe i uwzględnimy składową spektralną sygnału. Oznacza to, że na jedną próbkę (ΔX) pomierzone są dwie wartości. Jeśli konkretna wartość jest zawarta w próbkowaniu, to możemy odtworzyć zawarte informacje uwidocznione po analizie spektralnej. Czyli analiza spektralna to przeniesienie problemu do innych dziedzin, np. pomiar w współrzędnych xy (dziedzina w przestrzeni euklidesowej) w sygnał rejestrowany w czasie (przejście w dziedzinę częstotliwości).	Klasyfikacja met odpornych: 1)estymacja parametrów a)pasywne (MNK+testy stat) b)aktywne (M-estymatory, LMS-estymatory); 2)inne (odporna predykcja liniowa, aktywne funkcje sklejane). MNW możemy zastosować gdy znany lub zakładmy rozkład prawdopodobieństwa. Funkcja największej wiarygodności L(beta,y), gdzie beta-parametry, y-obserwacje o znanym prawdopodobieństwie, szacowana jest na podstawie parametrów beta, tak aby fcja L osiągnęła wartość max – wtedy osiągniemy maksimum wartości prawdopodobieństwa. W praktyce wprowadza sie funkcje logarytmiczne w celu ułatwienia obliczeń w sensie numerycznym (tzn zastępujemy mnożenie dodawaniem). Zastosowanie: klasyfikacja obrazó (cokolwiek to jest) Problemem jest fakt ze trzeba znac rozklad prawdopobienstwa, gdy go nie znamy to przyjmujemy rozklad normalny. Poszukiwanie max(-VtCy^-1V)=min(VtCy^-1V), tutaj mozemy narysowac wykres. Rozwiazania MNW i MNK jest tożsame gdy mamy dane o rozkladzie normalnym, ponieważ posuzkujemy tego samego punktu. Natomiast gdy rozkład prawdopodobienstwa jest inny niz normlany to wtedy stosujemy MNW i nie jest ona tożsama z MNK.
Metody interpolacji lokalnej polegają na tym, że do wyznaczenia wartości w danym punkcie wybieramy punkty z najbliższego otoczenia tego punktu. metodę średniej ważonej- obliczamy wartość prognozowana w danym punkcie na podstawie wzoru: gdzie waga jest odwrotnością odległości (lub kwadratu odległości) między punktem ze znana wartością a punktem interpolowanym; najbliższego sąsiada- wartość pomierzona w jednym punkcie przypisywana jest obszarowi wokół tego punktu. Polega na tworzeniu pomiędzy punktami sieci trójkątów (boki łączące 2 punkty dzielimy symetralną; ich przecięcia tworzą mozaikę voronoi). Obszarowi przypisujemy wartość pola skalarnego w tym punkcie. wielomianu ruchomego- wybieramy punkty z najbliższego otoczenia interpolowanego punktu; następnie obliczamy odległości miedzy tym punktem a pktami o znanej wartości. Aby wykorzystać tę metodę musza być min 4 punkty. Tworzymy wielomian taki, aby płaszczyzna przechodziła przez interpolowany punkt, np.: z(x,y) = ao + a1x + a2y + a3xy… Twierdzenie Fouriera – każdy sygnał ciągły może być przedstawiony w postaci nieskończonej sumy fcji harmonicznej. Przedstawienie ekwiwalentne wzrou: z(x)=SUMck*cos(2PIkx/L-ROk), ck=PIER(ak2+bk2)-amplituda, ROk=arctg(bk/ak)-faza sygnału, ck2=widmo mocy sygnału. Następuje oddzielenie amplitudy od fazy. Ak{bk}=2/n*SUMzj*COS{sin}(2PIkj*dx/L),