1

1. Główne funkcje wypowiedzi (mogą się łączyć):

  1. Ekspresyjna – wyrażenie/zdradzenie swoich myśli i stanu psychicznego-oddziaływanie na emocje interlokutora.

  2. Perswazyjno-sugestywna – sugerujemy komuś co ma (nie)zrobić. Sterowanie cudzym działaniem-oddziaływanie na czyn/działanie.

  3. Informacyjno-opisowa – informujemy kogoś/przekazujemy mu informacje.

  4. Performatywna(ustawodawcza)-wypowiadając pewne słowa, zdania coś ustalamy. Np. przysięgi, ustawy, deklaracje, nazywanie.

Zdanie(w sensie logicznym) – jest to wypowiedź prawdziwa albo fałszywa, bądź też będzie prawdziwa albo będzie fałszywa (przeszłość).

Zdanie jest prawdziwe – gdy w rzeczywistości jest tak jak ono głosi.

Zdanie jest fałszywe – gdy w rzeczywistości NIE jest tak jak ono głosi.

2. Zdanie w sensie logicznym ma dwa aspekty:

  1. Wyraża pewną myśl(aspekt subiektywny).

  2. Zdanie stwierdza pewien stan rzeczy, jeżeli ten stan rzeczy zachodzi w rzeczywistości, to zdanie jest prawdziwe(aspekt obiektywny).

Zdanie jest prawdziwe gdy stwierdza pewien stan rzeczy i w rzeczywistości ten stan rzeczy zachodzi.

Zdanie jest fałszywe gdy stwierdza pewien stan rzeczy a, w rzeczywistości ten stan NIE zachodzi.

Leibniz –XVII w- „najważniejsze co człowiek może zrobić, to zastąpić myślenie rachunkiem”

Klasyczny rachunek zdań:

  1. Litery zdaniowe: p,q,r,s,…,∞ - zmienne/litery zdaniowe.

  2. Wartości logiczne zdania: 1- symbol prawdy, 0-symbol fałszu.

Ad.2. Wartości logiczne zdań to prawda i fałsz.

Najprostsza operacja logiczna to zaprzeczenie zdania. Zdanie: p, zaprzeczenie zdanie: ~p.

Wyrażenie ‘nieprawda że’ nazywamy funktorem negacji i oznaczamy ~. Rozumiemy zgodnie z tabelką:

p ~p
1 0

(p, ~p) – para zdań sprzecznych.

Np:

(p, q)

Jeżeli zabili go, to nie żyje.

Jeżeli temperatura jest grubo poniżej 0, to woda w stawie zamarznie.

Jeżeli liczba x jest podzielna przez 4, to liczba ta jest parzysta.

Jeżeli nauczysz się logiki, to zdasz egzamin z tego przedmiotu.

Implikacja

Wyrażenie: „Jeżeli p, to q” nazywamy implikacją o poprzedniki p i następniku q i zapisujemy p→q.

p q p→q
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1

(poprzednik i następnik ≈ przyczyna i skutek)

Równoważność

Wyrażenie: „p, wtedy i tylko wtedy, gdy q” nazywamy spójnikiem równoważności i oznaczamy p↔q, i rozumiemy zgodnie z tabelką:

p q p↔q
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1

Koniunkcja

Zdam egzamin z prawa i/oraz zdam egzamin z logiki.

Wyraz „i” lub nazywamy spójnikiem koniunkcji i oznaczamy symbolem „^” i rozumiemy go zgodnie z tabelą:

p q p^q
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1

(iloczyn)

Wartość logiczna koniunkcji dwóch zdań, jest równa iloczynowi wartości logicznych zdań składowych.

Nieprawda że zdałem prawo i logikę.

~(p^q) negacja koniunkcji

Nie zdałem prawa i nie zdałem logiki.

~p^~q koniunkcja dwóch negacji.

Nie uczyłeś się systematycznie i nie umiesz.

~p^~q koniunkcja dwóch negacji

Nieprawda, że uczyłeś się systematycznie i nie umiesz

~(p^q)

Zaprzeczenie zdania prostego: nie.

Zaprzeczenie zdania złożonego: nie prawda że… .

Negacja koniunkcji a koniunkcja dwóch negacji to nie to samo.

Uczyłem się, a(=i) nie zdałem.

(p^~q)

Uczyłem się lecz(=i) nie zdałem.

(p^~q)

Alternatywa

Zdałem egzamin z prawa lub zdam egzamin z logiki.

Wyrażenie „lub” nazywamy spójnikiem alternatywy i oznaczmy „v” i rozumiemy według tabeli:

p q pvq
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1

(suma)

„Lub” oznacza, że co najmniej jedno z dwojga zrobię.

Alternatywa rozłączna

„Albo” oznacza, że zrobię dokładnie jedno z dwojga: albo p, albo q,/ p albo q.

„Albo” – oznaczamy T(odwróconym o 180st.).

p q pTq
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0

Alternatywa dysjunkcji

Co najwyżej jedno z dwojga: „p bądź q”, p/q

p q p/q
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0

Klasyczny rachunek zdań.

Tautologia =(prawie) Prawo logiczne

Tautologię klasycznego rachunku zdań jest formułą zapisana w języku tego rachunku która jest zapisana za pomocą schematem wyłącznie prawdziwych zdań.

I Prawa dotyczące pary zdań sprzecznych

1. p v ~p – Prawo wyłączonego środka

P ~p pv~p
0 1 1
1 0 1

(suma)

2. ~(p^~p) – Prawo niesprzeczności

P p ~(p^~p)
0 1 1
1 0 1

3. ~(p↔~p) – prawo

P ~p ~(p↔~p)
0 1 1
1 0 1

II Prawa tożsamości

4. p->p

5. p<->p

Prawa dotyczące zaprzeczeniom zdań złożonych.

6. ~ (~p) – prawo podwójnego przeczenia

Nieprawda że nie umiem

p ~p ~(~p) ~(~p)<->p
0 1 0 1
1 0 1 1

7. ~(p^q)<->(~pv~q) – prawo de Morgana I

Negacja koniunkcji dwóch zdań jest równoważna alternatywie zanegowanych składników tej koniunkcji.

8. ~(p v q)<->(~p ^ ~q) – prawo de Morgana II

Negacja alternatywy dwóch zdań jest równoważna koniunkcji zanegowanych składników tej alternatywy.

Prawo implikacji

Jeżeli wygram w Toto, to kupię Ci samochód.

9. ~(p->q)<->(p^~q) – prawo negacji implikacji.

Negacja implikacji dwóch zdań jest równoważna koniunkcji poprzednika i zanegowanego następnika tej implikacji.

10. ~(p->q) <-> [ (p^~q) v (~p ^ q) ]

24.10.2001r.

Wykład z logiki dla I roku filozofii UW w roku akademickim 2011/12 odbywa się w piątki.

2+2=5

p-0

Możliwe że, Wykład z logiki dla I roku filozofii UW w roku akademickim 2011/12 odbywa się w piątki.

Możliwe, że 2+2=5

Możliwe, że=karo(kopnięty kwadrat)

p karo
0 1
0 0

Logika klasyczna, zajmuje się taki funktorami, dla których da się ułożyć tabelkę.

Funktor jest klasyczny, gdy wartość logiczna zdania złożonego za jego pomocą, zależy tylko od wartości logicznych zdań składowych, a nie zależy od ich treści.

konieczne jest, że wykład z logiki dla I roku filo. UW o … od bywa się w czwartek

„konieczne jest” - nie jest funktorem klasycznym, a funktorem modalnym(tak samo jak „możliwe, że”)

KWADRATp – konieczne jest, że p

1-argumentowe funktory klasyczne:

p F1p F2 p) F3 p F4 (p)
0 0 0 1 1
1 0 1 0 1
Fl As(p) ~p Ver

Fl-stała falsu

As-asercja

Verum – prawda, Ver(p)<->(p->p)

Ver2-verum 2 argumentowe Ver(p,q) <->(p->p)^(q->q)

p q F1(p,q) F2(p,q) F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11 F12 F13
0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1
0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0
1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1
1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1
Fl p^q p^~q ~p^q ~p^~q p q p<->q pTq ~p ~q pVq q->p
F14 F15 F16
1 1 1
1 1 1
0 1 1
1 0 1
p->q p/q Ver2

~(negacja)zmienia wartość, a falsum ustanawia wartość 0

Tautologia klasycznego rachunku zdań:

grupy:

I – u góry

II – u góry

III – u góry

IV – dot. wzajemnej definiowalności spójników:

11. (pVq)<->(~p->q)

(pVq)<->(~q->p)

12. (p^q)<->~(p->~q)

~(q->~p)

13. (p->q)->(~pVq)

14. (p->q)<->~(p^~q)

15. (p<->q)<->[(p->q)^(q->p)]

16. (p->q)<->(~q->~p) – prawo transpozycji (czyli zamiana poprzednika na następnik i na odwrót)

(I->II)<->)(~II->~I)

17. pV(p->q)

18. (p->q) v (q->p) – prawo Dumette

19. [ (p->q) ->p ] -> p – prawo Pirce’a

20. (`p->p) -> p

21. [(p->q) ^ (q->r)] -> (p->r) – sylogizm koniunkcyjny

22. (p->q)->[(q->r)->(p->r)] – sylogizm hipotetyczny

23. [(p^q)->r]->[p->(q->r)] – prawo eksportacji

24. [p->(q->r)]->[p^q->r]

07.11.2011

Wynikanie logiczne na gruncie klasycznego rachunku zdań.

2+2=4, Krzysztof Kolumb odkrył Amerykę.

p i q

Jeżeli 2+2=4, to Krzysztof Kolumb odkrył Amerykę.

p -> q

Jeżeli 2+2=5, to Kolumb odkrył Amerykę.

[ -Już pierwsza.

-Też bym się czegoś napił. ]

Tautologia – schemat wyłącznie prawdziwych zdań. Np. p V ~p.

Kontrtautologia – schemat wyłącznie fałszywych zdań. Np. p ^ ~p.

Prawda logiczna klasycznego rachunku zdań, jest to rezultat podstawienia w tautologii(prawie logicznym) za zmienne zdaniowe, konkretnych zdań.

Fałsz logiczny jest to wynik podstawienia kontrtautologii za zmienne zdaniowe, dowolnych/konkretnych zdań.

Definicja wynikania logicznego:

Ze zdań Z1, Z2, …,Zn wynika logicznie na gruncie klasycznego rachunku zdań, zdanie Z, gdy implikacja

(Z1 ^ Z2 … ^Zn)->Z

jest prawdą logiczną, czyli jest podstawieniem tautologii klasycznego rachunku zdań.

Z1, Z2, …, Zn |= Z

|= - znak wynikania logicznego(semantyczne), wymyślony przez G. Frege.

|- - znak wynikania syntaktycznego.

X|= z - czyli ze zbioru zdań X, wynika zdanie z

X|- z – czyli tak przekształcamy zbiór zdań X, aż wyjdzie zdanie z.

„Ideografia logiczna” – G. Frege.

Ćwiczenia z Logiki, jakiejś tam pani na S.

Przykład:

1. Czy ze zdań: Z1, Z2, Zn wynika na gruncie klasycznego rachunku zdań, zdanie Z:

Z1: Jeżeli Jan nie będzie schlebiał Piotrowi, to straci posadę.

Z2: Jeżeli Jan straci pracę, to wpadnie w kłopoty finansowe.

Z3: Jeżeli Jan będzie schlebiał Piotrowi, to straci dobrą opinie.

Z: Jan popadnie w kłopoty finansowe, lub straci dobrą opinię.

Z1: ~p -> q

Z2: q -> r

Z3: p -> s

[(~p->q)^(q->r)^(p->s)] -> (r v s) = 0

1 0 0 0 0 0 0 0

0 1 1 0

Z: r v s = 0

2. Czy ze zdań: Z1, Z2, Zn wynika na gruncie klasycznego rachunku zdań, zdanie Z:

Z1: Jeżeli Jan, uczy się pilnie, to otrzymuje dobre stopnie.

Z2: Jeżeli Jan nie otrzymuje dobrych stopni, to traci dobry humor.

Z3: Jan nie traci humoru.

Z: Jan uczy się pilnie.

Z1: p -> q

Z2: ~q -> r

Z3: ~r

Z: p

[(p->q)^(~q->r)^(~r)] -> p

0 1 0 0 1 0

1 1 1 0

14.11.2011

Aksjomatyczne(syntaktyczne) ujęcie klasycznego rachunku zdań:

Aksjomaty służą do wyprowadzania kolejnych tautologii.

A1) p(qp) - prawo symplifikacji.

A2) [p(qr)] [(pq)->(pr)] - sylogizm Frege’go / prawo samoroździelności implikacji.

A3) ~p(pq) – prawo Dunsa Szkota, inaczej ~p ^ p→q. Przyjmując dwa zdania sprzeczne to przyjmujemy każde zdanie.

A4) (~pp)p – prawo Claviusa

A5)(pq)[(qp) (p↔q)]

A6) (p↔q) → (p→q)

A7) (p↔q)→(q→p)

A8) (p v q) ↔ (~p→q)

A9) (p ^ q) ↔ ~(p→~q)

MP. - reguła odrywania dla implikacji:

a, a→ b, jeżeli alfa jest prawdziwe, i implikacja jest tautologią(prawdziwa) o beta jest prawdziwa.

B

a(p1, p2…) → b(q1, q2…)

b(q1, q2…)

Reguła podstawiania – za litery zdaniowe, wstawiamy dowolne formy

a(p1…)

p v ~p

p→q v ~(p→q)

Reguła a ↔b,y

y[a/b]

Formuła α, jest twierdzeniem logicznym, gdy jest formalnie wyprowadzana z akasjomatów logicznych, za pomocom reguł inferencji.

|- - α jest twierdzeniem logicznym

|= - α jest tautologią

Dowodzenie, że p→p

Kroki dowodu:

1. p→[(p→p)] z A1 przez podstawienie q// p→p

2. p→(p→p) z A1 przez podstawienie q// p

3. {p→ [(p→p)→p]} → [(p→(p→p)→(p→p)] z A2 przez podst q// p→p, r→p

4. [p→(p→p)] → (p→p) z 3 i 1 przez MP

5. p→p z 4 i 2 przez MP

p→p

(~p→q)→(~p→q) podstawienie p// (~p→q)

.

.

.

.

.

.

.

Dedukcja naturalna

Stanisław Jaśkowski, jakiśtam Gentzen

UZUPEŁNIĆ NOTATKI

Klasyczny rachunek kwantyfikatorów

Donald Tusk jest premierem.

Warszawa jest stolicą

5 jest liczbą nieparzystą

6 jest liczbą doskonałą.

Jan kocha Marię.

Jan jest krewnym Piotra.

Nazwa jest symbol lub znak dokładnie jednego przedmiotu.

ktoś, kiedyś, gdzieś, ja – są to zaimki

Nazwy: a1 ,a2, a3, A, B, C

Zmienne nazwowe (zaimki w mowy potocznej): x1, x2, x3, x, y, z

Predykat, jest to wyrażenie, które z nazw tworzą zdania. Są predykaty jednoargumentowe(np. A jest premierem, B jest stolicą), dwuargumentowe(A kocha B), trójargumentowe …

Predykaty jednoargumentowe są symbolami własności.

Słońce świeci.

Słońce – nazwa, świeci – własność.

Predykaty dwuargumentowe są to symbole relacji(związków) między przedmiotami.

||-symbol relacji

A kocha Β

A i B – ludzie(przedmioty), kocha – relacja

A || B

Funkcje zdaniowe, są to wyrażenia w których występują zmienne nazwowe, a z których powstanie zdanie, jeżeli za te zmienne podstawimy odpowiednie nazwynnnnnnnnnnnnnnnn

+ - predykat dwu argumentowy

x+y=z funkcja zdaniowa

P1(x), P2(y) – funkcja zdaniowa,

R(x, y) – relacja między x a y

Definicja rodzica:

x jest ojcem V x jest matką – alternatywa dwóch funkcji zdaniowych.

Ax, ∏x - kwantyfikator ogólny(„dla każdego x”) →

x jest nieprzygotowany do danych zajęć

Vx, ∑x – kwantyfikator egzystencjalny/szczegółowy wiążący zmienną x(„istnieje taki x”)

Vx Q(x) – pewien x ma własność q


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
1
1
X~1
SEM18 ~1
1
1
1
1
1
1
14 gal~1
1
1
11-nkb~1, wisisz, wydzial informatyki, studia zaoczne inzynierskie, podstawy programowania, l2
2-eukl~1, wisisz, wydzial informatyki, studia zaoczne inzynierskie, podstawy programowania, l2
1-algo~1, wisisz, wydzial informatyki, studia zaoczne inzynierskie, podstawy programowania, l2
1

więcej podobnych podstron