1. Główne funkcje wypowiedzi (mogą się łączyć):
Ekspresyjna – wyrażenie/zdradzenie swoich myśli i stanu psychicznego-oddziaływanie na emocje interlokutora.
Perswazyjno-sugestywna – sugerujemy komuś co ma (nie)zrobić. Sterowanie cudzym działaniem-oddziaływanie na czyn/działanie.
Informacyjno-opisowa – informujemy kogoś/przekazujemy mu informacje.
Performatywna(ustawodawcza)-wypowiadając pewne słowa, zdania coś ustalamy. Np. przysięgi, ustawy, deklaracje, nazywanie.
Zdanie(w sensie logicznym) – jest to wypowiedź prawdziwa albo fałszywa, bądź też będzie prawdziwa albo będzie fałszywa (przeszłość).
Zdanie jest prawdziwe – gdy w rzeczywistości jest tak jak ono głosi.
Zdanie jest fałszywe – gdy w rzeczywistości NIE jest tak jak ono głosi.
2. Zdanie w sensie logicznym ma dwa aspekty:
Wyraża pewną myśl(aspekt subiektywny).
Zdanie stwierdza pewien stan rzeczy, jeżeli ten stan rzeczy zachodzi w rzeczywistości, to zdanie jest prawdziwe(aspekt obiektywny).
Zdanie jest prawdziwe gdy stwierdza pewien stan rzeczy i w rzeczywistości ten stan rzeczy zachodzi.
Zdanie jest fałszywe gdy stwierdza pewien stan rzeczy a, w rzeczywistości ten stan NIE zachodzi.
Leibniz –XVII w- „najważniejsze co człowiek może zrobić, to zastąpić myślenie rachunkiem”
Klasyczny rachunek zdań:
Litery zdaniowe: p,q,r,s,…,∞ - zmienne/litery zdaniowe.
Wartości logiczne zdania: 1- symbol prawdy, 0-symbol fałszu.
Ad.2. Wartości logiczne zdań to prawda i fałsz.
Najprostsza operacja logiczna to zaprzeczenie zdania. Zdanie: p, zaprzeczenie zdanie: ~p.
Wyrażenie ‘nieprawda że’ nazywamy funktorem negacji i oznaczamy ~. Rozumiemy zgodnie z tabelką:
p | ~p |
---|---|
1 | 0 |
(p, ~p) – para zdań sprzecznych.
Np:
(p, q)
Jeżeli zabili go, to nie żyje.
Jeżeli temperatura jest grubo poniżej 0, to woda w stawie zamarznie.
Jeżeli liczba x jest podzielna przez 4, to liczba ta jest parzysta.
Jeżeli nauczysz się logiki, to zdasz egzamin z tego przedmiotu.
Implikacja
Wyrażenie: „Jeżeli p, to q” nazywamy implikacją o poprzedniki p i następniku q i zapisujemy p→q.
p | q | p→q |
---|---|---|
0 | 0 | 1 |
0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 |
(poprzednik i następnik ≈ przyczyna i skutek)
Równoważność
Wyrażenie: „p, wtedy i tylko wtedy, gdy q” nazywamy spójnikiem równoważności i oznaczamy p↔q, i rozumiemy zgodnie z tabelką:
p | q | p↔q |
---|---|---|
0 | 0 | 1 |
0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 |
Koniunkcja
Zdam egzamin z prawa i/oraz zdam egzamin z logiki.
Wyraz „i” lub nazywamy spójnikiem koniunkcji i oznaczamy symbolem „^” i rozumiemy go zgodnie z tabelą:
p | q | p^q |
---|---|---|
0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 |
(iloczyn)
Wartość logiczna koniunkcji dwóch zdań, jest równa iloczynowi wartości logicznych zdań składowych.
Nieprawda że zdałem prawo i logikę.
~(p^q) negacja koniunkcji
Nie zdałem prawa i nie zdałem logiki.
~p^~q koniunkcja dwóch negacji.
Nie uczyłeś się systematycznie i nie umiesz.
~p^~q koniunkcja dwóch negacji
Nieprawda, że uczyłeś się systematycznie i nie umiesz
~(p^q)
Zaprzeczenie zdania prostego: nie.
Zaprzeczenie zdania złożonego: nie prawda że… .
Negacja koniunkcji a koniunkcja dwóch negacji to nie to samo.
Uczyłem się, a(=i) nie zdałem.
(p^~q)
Uczyłem się lecz(=i) nie zdałem.
(p^~q)
Alternatywa
Zdałem egzamin z prawa lub zdam egzamin z logiki.
Wyrażenie „lub” nazywamy spójnikiem alternatywy i oznaczmy „v” i rozumiemy według tabeli:
p | q | pvq |
---|---|---|
0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 |
(suma)
„Lub” oznacza, że co najmniej jedno z dwojga zrobię.
Alternatywa rozłączna
„Albo” oznacza, że zrobię dokładnie jedno z dwojga: albo p, albo q,/ p albo q.
„Albo” – oznaczamy T(odwróconym o 180st.).
p | q | pTq |
---|---|---|
0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 0 |
Alternatywa dysjunkcji
Co najwyżej jedno z dwojga: „p bądź q”, p/q
p | q | p/q |
---|---|---|
0 | 0 | 1 |
0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 0 |
Klasyczny rachunek zdań.
Tautologia =(prawie) Prawo logiczne
Tautologię klasycznego rachunku zdań jest formułą zapisana w języku tego rachunku która jest zapisana za pomocą schematem wyłącznie prawdziwych zdań.
I Prawa dotyczące pary zdań sprzecznych
1. p v ~p – Prawo wyłączonego środka
P | ~p | pv~p |
---|---|---|
0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 |
(suma)
2. ~(p^~p) – Prawo niesprzeczności
P | p | ~(p^~p) |
---|---|---|
0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 |
3. ~(p↔~p) – prawo
P | ~p | ~(p↔~p) |
---|---|---|
0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 |
II Prawa tożsamości
4. p->p
5. p<->p
Prawa dotyczące zaprzeczeniom zdań złożonych.
6. ~ (~p) – prawo podwójnego przeczenia
Nieprawda że nie umiem
p | ~p | ~(~p) | ~(~p)<->p |
---|---|---|---|
0 | 1 | 0 | 1 |
1 | 0 | 1 | 1 |
7. ~(p^q)<->(~pv~q) – prawo de Morgana I
Negacja koniunkcji dwóch zdań jest równoważna alternatywie zanegowanych składników tej koniunkcji.
8. ~(p v q)<->(~p ^ ~q) – prawo de Morgana II
Negacja alternatywy dwóch zdań jest równoważna koniunkcji zanegowanych składników tej alternatywy.
Prawo implikacji
Jeżeli wygram w Toto, to kupię Ci samochód.
9. ~(p->q)<->(p^~q) – prawo negacji implikacji.
Negacja implikacji dwóch zdań jest równoważna koniunkcji poprzednika i zanegowanego następnika tej implikacji.
10. ~(p->q) <-> [ (p^~q) v (~p ^ q) ]
24.10.2001r.
Wykład z logiki dla I roku filozofii UW w roku akademickim 2011/12 odbywa się w piątki.
2+2=5
p-0
Możliwe że, Wykład z logiki dla I roku filozofii UW w roku akademickim 2011/12 odbywa się w piątki.
Możliwe, że 2+2=5
Możliwe, że=karo(kopnięty kwadrat)
p | karo |
---|---|
0 | 1 |
0 | 0 |
Logika klasyczna, zajmuje się taki funktorami, dla których da się ułożyć tabelkę.
Funktor jest klasyczny, gdy wartość logiczna zdania złożonego za jego pomocą, zależy tylko od wartości logicznych zdań składowych, a nie zależy od ich treści.
konieczne jest, że wykład z logiki dla I roku filo. UW o … od bywa się w czwartek
„konieczne jest” - nie jest funktorem klasycznym, a funktorem modalnym(tak samo jak „możliwe, że”)
KWADRATp – konieczne jest, że p
1-argumentowe funktory klasyczne:
p | F1p | F2 p) | F3 p | F4 (p) |
---|---|---|---|---|
0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
Fl | As(p) | ~p | Ver |
Fl-stała falsu
As-asercja
Verum – prawda, Ver(p)<->(p->p)
Ver2-verum 2 argumentowe Ver(p,q) <->(p->p)^(q->q)
p | q | F1(p,q) | F2(p,q) | F3 | F4 | F5 | F6 | F7 | F8 | F9 | F10 | F11 | F12 | F13 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
Fl | p^q | p^~q | ~p^q | ~p^~q | p | q | p<->q | pTq | ~p | ~q | pVq | q->p |
F14 | F15 | F16 |
---|---|---|
1 | 1 | 1 |
1 | 1 | 1 |
0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 |
p->q | p/q | Ver2 |
~(negacja)zmienia wartość, a falsum ustanawia wartość 0
Tautologia klasycznego rachunku zdań:
grupy:
I – u góry
II – u góry
III – u góry
IV – dot. wzajemnej definiowalności spójników:
11. (pVq)<->(~p->q)
(pVq)<->(~q->p)
12. (p^q)<->~(p->~q)
~(q->~p)
13. (p->q)->(~pVq)
14. (p->q)<->~(p^~q)
15. (p<->q)<->[(p->q)^(q->p)]
16. (p->q)<->(~q->~p) – prawo transpozycji (czyli zamiana poprzednika na następnik i na odwrót)
(I->II)<->)(~II->~I)
17. pV(p->q)
18. (p->q) v (q->p) – prawo Dumette
19. [ (p->q) ->p ] -> p – prawo Pirce’a
20. (`p->p) -> p
21. [(p->q) ^ (q->r)] -> (p->r) – sylogizm koniunkcyjny
22. (p->q)->[(q->r)->(p->r)] – sylogizm hipotetyczny
23. [(p^q)->r]->[p->(q->r)] – prawo eksportacji
24. [p->(q->r)]->[p^q->r]
07.11.2011
Wynikanie logiczne na gruncie klasycznego rachunku zdań.
2+2=4, Krzysztof Kolumb odkrył Amerykę.
p i q
Jeżeli 2+2=4, to Krzysztof Kolumb odkrył Amerykę.
p -> q
Jeżeli 2+2=5, to Kolumb odkrył Amerykę.
[ -Już pierwsza.
-Też bym się czegoś napił. ]
Tautologia – schemat wyłącznie prawdziwych zdań. Np. p V ~p.
Kontrtautologia – schemat wyłącznie fałszywych zdań. Np. p ^ ~p.
Prawda logiczna klasycznego rachunku zdań, jest to rezultat podstawienia w tautologii(prawie logicznym) za zmienne zdaniowe, konkretnych zdań.
Fałsz logiczny jest to wynik podstawienia kontrtautologii za zmienne zdaniowe, dowolnych/konkretnych zdań.
Definicja wynikania logicznego:
Ze zdań Z1, Z2, …,Zn wynika logicznie na gruncie klasycznego rachunku zdań, zdanie Z, gdy implikacja
(Z1 ^ Z2 … ^Zn)->Z
jest prawdą logiczną, czyli jest podstawieniem tautologii klasycznego rachunku zdań.
Z1, Z2, …, Zn |= Z
|= - znak wynikania logicznego(semantyczne), wymyślony przez G. Frege.
|- - znak wynikania syntaktycznego.
X|= z - czyli ze zbioru zdań X, wynika zdanie z
X|- z – czyli tak przekształcamy zbiór zdań X, aż wyjdzie zdanie z.
„Ideografia logiczna” – G. Frege.
Ćwiczenia z Logiki, jakiejś tam pani na S.
Przykład:
1. Czy ze zdań: Z1, Z2, Zn wynika na gruncie klasycznego rachunku zdań, zdanie Z:
Z1: Jeżeli Jan nie będzie schlebiał Piotrowi, to straci posadę.
Z2: Jeżeli Jan straci pracę, to wpadnie w kłopoty finansowe.
Z3: Jeżeli Jan będzie schlebiał Piotrowi, to straci dobrą opinie.
Z: Jan popadnie w kłopoty finansowe, lub straci dobrą opinię.
Z1: ~p -> q
Z2: q -> r
Z3: p -> s
[(~p->q)^(q->r)^(p->s)] -> (r v s) = 0
1 0 0 0 0 0 0 0
0 1 1 0
Z: r v s = 0
2. Czy ze zdań: Z1, Z2, Zn wynika na gruncie klasycznego rachunku zdań, zdanie Z:
Z1: Jeżeli Jan, uczy się pilnie, to otrzymuje dobre stopnie.
Z2: Jeżeli Jan nie otrzymuje dobrych stopni, to traci dobry humor.
Z3: Jan nie traci humoru.
Z: Jan uczy się pilnie.
Z1: p -> q
Z2: ~q -> r
Z3: ~r
Z: p
[(p->q)^(~q->r)^(~r)] -> p
0 1 0 0 1 0
1 1 1 0
14.11.2011
Aksjomatyczne(syntaktyczne) ujęcie klasycznego rachunku zdań:
Aksjomaty służą do wyprowadzania kolejnych tautologii.
A1) p(qp) - prawo symplifikacji.
A2) [p(qr)] [(pq)->(pr)] - sylogizm Frege’go / prawo samoroździelności implikacji.
A3) ~p(pq) – prawo Dunsa Szkota, inaczej ~p ^ p→q. Przyjmując dwa zdania sprzeczne to przyjmujemy każde zdanie.
A4) (~pp)p – prawo Claviusa
A5)(pq)[(qp) (p↔q)]
A6) (p↔q) → (p→q)
A7) (p↔q)→(q→p)
A8) (p v q) ↔ (~p→q)
A9) (p ^ q) ↔ ~(p→~q)
MP. - reguła odrywania dla implikacji:
a, a→ b, jeżeli alfa jest prawdziwe, i implikacja jest tautologią(prawdziwa) o beta jest prawdziwa.
B
a(p1, p2…) → b(q1, q2…)
b(q1, q2…)
Reguła podstawiania – za litery zdaniowe, wstawiamy dowolne formy
a(p1…)
p v ~p
p→q v ~(p→q)
Reguła a ↔b,y
y[a/b]
Formuła α, jest twierdzeniem logicznym, gdy jest formalnie wyprowadzana z akasjomatów logicznych, za pomocom reguł inferencji.
|- - α jest twierdzeniem logicznym
|= - α jest tautologią
Dowodzenie, że p→p
Kroki dowodu:
1. p→[(p→p)] z A1 przez podstawienie q// p→p
2. p→(p→p) z A1 przez podstawienie q// p
3. {p→ [(p→p)→p]} → [(p→(p→p)→(p→p)] z A2 przez podst q// p→p, r→p
4. [p→(p→p)] → (p→p) z 3 i 1 przez MP
5. p→p z 4 i 2 przez MP
p→p
(~p→q)→(~p→q) podstawienie p// (~p→q)
.
.
.
.
.
.
.
Dedukcja naturalna
Stanisław Jaśkowski, jakiśtam Gentzen
UZUPEŁNIĆ NOTATKI
Klasyczny rachunek kwantyfikatorów
Donald Tusk jest premierem.
Warszawa jest stolicą
5 jest liczbą nieparzystą
6 jest liczbą doskonałą.
Jan kocha Marię.
Jan jest krewnym Piotra.
Nazwa jest symbol lub znak dokładnie jednego przedmiotu.
ktoś, kiedyś, gdzieś, ja – są to zaimki
Nazwy: a1 ,a2, a3, A, B, C
Zmienne nazwowe (zaimki w mowy potocznej): x1, x2, x3, x, y, z
Predykat, jest to wyrażenie, które z nazw tworzą zdania. Są predykaty jednoargumentowe(np. A jest premierem, B jest stolicą), dwuargumentowe(A kocha B), trójargumentowe …
Predykaty jednoargumentowe są symbolami własności.
Słońce świeci.
Słońce – nazwa, świeci – własność.
Predykaty dwuargumentowe są to symbole relacji(związków) między przedmiotami.
||-symbol relacji
A kocha Β
A i B – ludzie(przedmioty), kocha – relacja
A || B
Funkcje zdaniowe, są to wyrażenia w których występują zmienne nazwowe, a z których powstanie zdanie, jeżeli za te zmienne podstawimy odpowiednie nazwynnnnnnnnnnnnnnnn
+ - predykat dwu argumentowy
x+y=z funkcja zdaniowa
P1(x), P2(y) – funkcja zdaniowa,
R(x, y) – relacja między x a y
Definicja rodzica:
x jest ojcem V x jest matką – alternatywa dwóch funkcji zdaniowych.
Ax, ∏x - kwantyfikator ogólny(„dla każdego x”) →
x jest nieprzygotowany do danych zajęć
Vx, ∑x – kwantyfikator egzystencjalny/szczegółowy wiążący zmienną x(„istnieje taki x”)
Vx Q(x) – pewien x ma własność q