szeregi potęgowe

TEMAT:
Szeregi potęgowe

Niech

fn : K ' x ¾® fn (x) = an (x-xo)n , (an)nÎN Ì K

K - zbiór liczb zespolonych, lub rzeczywistych. W przypadku ogólnym an
może być dowolnym ciągiem z przestrzeni Banacha.

DEFINICJA 18.1 ( SZEREG POTĘGOWY )

Szereg nazywamy szeregiem potęgowym o środku xo.

TWIERDZENIE 18.1 ( O ZBIEŻNOŚCI SZEREGU )

1° Jeżeli szereg jest zbieżny dla x = x1 to szereg
jest zbieżny bezwzględnie w kole K (xo, êx1 - xoç) ;

2° Jeżeli szereg jest rozbieżny dla x = x2 to szereg
jest rozbieżny w (dopełnienie koła K (x0, êx2 - x0ç)

D: Ad 1°

Z założeń jest zbieżny. Więc dla tego szeregu jest spełniony
warunek konieczny ,

zatem .

Niech: x ÎK (x0, êx1 - x0ç) Þ êx - x0ç< êx1 - x0ç Û .

Rozważmy: (1);

Zauważmy, że jest szeregiem geometrycznym o ilorazie ,

a z tego wynika, że szereg geometryczny jest zbieżny. (2);

Z (1) i (2) na podstawie I kryterium porównawczego szereg
jest bezwzględnie zbieżny.

Ad 2° (nie wprost)

Hipoteza: i jest zbieżny Þ na
podstawie 1° części dowodu : szereg

jest zbieżny (3);

Z założeń hipotezy (4);

Z (1) i (2) wynika, że jest zbieżny,

co jest sprzeczne z założeniami.

DEFINICJA 18.2 ( PROMIEŃ ZBIEŻNOŚCI SZEREGU POTĘGOWEGO )

Niech : Z = { xÎK : - zbieżny}

Wówczas :

- promień zbieżności szeregu potęgowego;

K(xo, R) – koło zbieżności szeregu potęgowego;

K(xo,R) = { xÎK : ½x - xo½ < R }

TWIERDZENIE 18.2 ( WŁASNOŚCI SZEREGU POTĘGOWEGO )

Z: R – promień zbieżności szeregu

T: jest zbieżny bezwzględnie i niemal jednostajnie w K(xo,R).

D: jest zbieżny bezwzględnie w K(x0,R) Ü Tw. 18.1
(największe koło, w którym jest zbieżny);

jest zbieżny niemal jednostajnie w K(xo,R) Û

Û jest zbieżny jednostajnie w A;

Ponieważ oraz szereg jest zbieżny

zatem na podstawie kryterium Weierstrassa szereg

jest zbieżny jednostajnie
w A. A – dowolny, więc jest niemal jednostajnie zbieżny K(xo,R)

Podsumowanie:

Jeśli R – promień zbieżności szeregu , to:

1° jest zbieżny bezwzględnie i niemal jednostajnie w K(xo,R)

2° jest rozbieżny w

WNIOSEK 18.1

Jeżeli : f(x) = dla x Î K(xo,R) ;

to f Î C ( K(xo,R) ) - suma szeregu potęgowego jest funkcją ciągłą w swoim kole zbieżności K(xo,R).

TWIERDZENIE 18.3 ( O PROMIENIU ZBIEŻNOŚCI )

Z: ; R – promień zbieżności szeregu ;

D: Z kryterium d’Alamberta :

1° 0<l<+¥

Ponieważ szereg jest zbieżny bezwzględnie i niemal jednostajnie dla ,
a rozbieżny dla , więc .

2° l = 0

½x-x0½l = 0 < 1 dla każdego xÎK.

Na podstawie kryterium d’Alamberta, szereg jest zbieżny

bezwzględnie i niemal jednostajnie na całym K, a to oznacza, że R = +¥.

3° l = +¥

½x-x0½l = +¥ > 1 dla każdego xÎK \ {x0}.

Na podstawie kryterium d’Alamberta, szereg jest rozbieżny

dla każdego xÎK \ {xo} , więc R = 0.

TWIERDZENIE 18.4 ( O PROMIENIU ZBIEŻNOŚCI )

Z: R – promień zbieżności szeregu ; ;

D: Z kryterium Cauchy’ego

1° 0<l<+¥

Szereg jest rozbieżny dla ; jeśli szereg jest zbieżny bezwzględnie i niemal jednostajnie, więc .

2° l = 0

½x-x0½l = 0 < 1 dla każdego xÎK.

Szereg jest zbieżny bezwzględnie i niemal jednostajnie na całym K,

a to oznacza, że R = +¥.

3° l = +¥

½x - xo½l = +¥ > 1 dla każdego xÎK \ {xo}.

Szereg jest rozbieżny dla każdego xÎK \ {xo} ,

a zatem R = 0.

TWIERDZENIE 18.5 ( WŁASNOŚCI SZEREGU POTĘGOWEGO )

Z: R – promień zbieżności szeregu

f(x) = dla x Î K(x0,R) ;

T: 1° funkcja f jest ciągła w K(x0,R) ;

2° funkcja f jest różniczkowalna w K(x0,R) oraz

;

3° funkcja ; f(k) (x0) = k! ak .

D: 1° Wniosek 18.1

           2°        Żeby różniczkować wyraz po wyrazie szereg pochodnych musi być niemal
           jednostajnie zbieżny. Wystarczy pokazać, że r – promień zbieżności szeregu
           jest równy R – promieniowi zbieżności szeregu