1) Podział syg zdeterminowanych

Ogólnie jest to taki syg, którego przebieg możemy przewidzieć. Nie ma jednak w pełni zdeterminowanego syg, ponieważ zawsze może wydarzyć się jakieś zdarzenie, które zaburzy przebieg tego syg.

Okresowe:

- harmoniczne: x(t)=Xsin(2πf_ot+φ)

- poliharmoniczne (superpozycja harmonicznych): X(t)=x(t±nT_p) dla n=1,2,3

Nieokresowe:

- prawie okresowe

- przejściowe (nie można przedstawić w postaci widma dyskret): Widmo ciągłe: X(f) = ∫_−∞^∞x(t)e^−j2πftdt

2) Def syg stacjonarnego

Syg stacjonarny to zbiór realizacji tego samego procesu losowego. Charakterystyki statystyczne nie są funkcjami czasu. Wartość funkcji μ_x(t₁) oraz R_x(t₁,t₁+τ) nie zależą od czasu to jest to sygnał STACJONARNY W SZERSZYM SENSIE – funkcja korelacji zależy od różnicy czasu, czyli przesunięcia τ.

Wszystkie charakterystyki probabilistyczne nie zależą od czasu to sygnał jest STACJONARNY W WĘŻSZYM SENSIE.

Proces ergodyczny to proces stacjonarny dla którego wartości parametrów statystycznych po zbiorze realizacji (czyli wartość średnia, wariancja i funkcja autokorelacji) są równe wartościom tych parametrów z jego dowolnej realizacji czasowej. Proces jest ergodycznym gdy spełnia warunek: lim(T->∞)E{[1/T∫(t_odot_o+T)X(t)dt – m_x]²}=0 dla T - dł. przedziału uśredniania, t₀ - dowolna chwila procesu uśredniania, m_x - stała wartość oczekiwana procesu X(t). Zatem mamy 2 wnioski: Ergodyczność procesu oznacza, że charakterystyki wyznaczone z realizacji w danym czasie są w pełni równoważne charakterystykom wyznaczonym z realizacji w danych miejscach (po zbiorze realizacji). Tylko procesy stacjonarne mogą wykazywać cechę ergodyczności. (UWAGA: proces stacjonarny nie musi być ergodyczny!)

3) Twierdzenie o próbkowaniu.

Tw.Shannona-Kotielnikowa:DowolSygDolnPasmo”x(t)”oWidmZawartWPrzed”f”(-f_g;f_g)MożeByćPrzedstaWPrzedz”t”(-∞,∞)WPostaSzeregu: x(t)=SUM(∞,n=-∞)x(nΔt)sin2πf_g(t-nΔt)/2πf_g(t-Δt),nΔt=n/2f_g(n=0,±1,±2…MomentPróbko),f_g/2-„f”Nyquista; WarunkOdtwoALLSkład”f”do”f_g”NaPodstCiągPróbekSygJestJegoPróbkowaZ”f≥f_g”. WarunkOdtwoNajwyższSkład”f”ZawartWSygOOkreślPaśmieJestPróbkowaSygZ”f≥2f_g”. KolejnymWarunkOdtwoJestPozbySięAliasingu. PrzyZwiększa”f”Próbkowa(>4-5razy)NieZwiększToDokładno(kilkaPróbW1Przedz-PróbSkorelo,aMusząByćNieSkorelo). PrókowaWMomentZbytBliskiOdSiebiePowoduIchRedundancjęOrazJestPrzyczyIchKorela. PróbkowaWMomentZbytOdległyMożeProwadziDoZjawiAliasingu.

4) DFT i ODFT.

DFT: X(f,T_g)=Δt*SUM(N-1,k=0)x_ke^-j2πfkΔt,PrzyZałożeŻe: x_k(k=1,2...N-1)-CiąPróbSyg”x(t)”SpróbkoRówno; Δt-okresPróbko(Δt≤f_m/2); f_m-Max”f”WSyg; T-„t”TrwaSyg; t_k=kΔt-DysMoment”t”PróbkoSyg; ZwiązPomiędz”f_n”,aNumPrążkaWWidm”X(f,T_g)”To: f_n=nf=n/T_g=n/NΔt dla n=0,1,2..N-1. f_n-Num”f”WWidmSyg; N-WielkPróby. Otrzymujemy(z”t”do”f”): X_n=x(f_n,T_g)/Δt=SUM(N-1,k=0)x_ke^-j2πkn/N. DysPostPrzekszFouReprezeNLiczbBędącychKolejPrążkWidmOdległOdSiebWDziedzi”f”OWart:Δf=1/NΔf. OdwrotnePrzekszFou(z”f”do”t”): X_k=1/N*SUM(N-1,n=0)X_ne^j2πkn/N dla k=0,1,2..N-1. e^-odtwoStałSkładWynikajZZasilUkładu.

5) Własności i def splotu.

Dowolny syg dyskret można przedstawić w postaci ważonej SUM jednostkowych impulsów: x(n)=SUM(∞,k=-∞)x(k)σ(k-n),gdzie x(k)toCiągiemFunkcjiσ(k-n).JeżeliUkładJestLTItoSygWYPrzyjmujePostać:y(n)=T{x(n)}. Niech h(n-k)=T{σ(k-n)}; Reasumując:y(n)=T{SUM(∞,k=-∞)x(k)σ(k-n)} skąd:y(n)=SUM(∞,k=-∞)x(k)T{σ(k-n)} zatem:y(n)=SUM(∞,k=-∞)x(k)h(n-k). Podstawiająć m=n-k mamy:y(n)=SUM(∞,m=-∞)h(m)x(n-m)=h(n)*x(n) SPLOT; SygWYSysLTIJestSplotSygWEOrazOdpImpulsowejSys.

Własności:

-symetria: h(n)*x(n)=x(n)*h(n)

-liniowość: [ax₁(n)+bx₂(n)]*h(n)=ax₁(n)*h(n)+bx₂(n)*h(n)

-SplotSygWDziedzinie”t”jest=IloczynowiIchTransformatFourWDziedzinie”f”: h(n)*x(n)=H(m)X(m)

6) Proste przekształcenie Laplace’a

Przekształcenie Laplace’a zalicza się do tzw. Metod operatorowych, a zespół twierdzeń i reguł związanych z zastosowaniem przekształcenia Laplace’a nazywa się rachunkiem operatorowym. Założenia:

1) Funkcja argumentu rzeczywistego f(t) jest nieujemna, tzn. f(t)=0 dla t<0.

2) Funkcja f(t) jest jednoznacznie określona w całym przedziale od 0 do ∞.

3) Funkcja f(t) w przedziale od 0 do ∞ jest ciągła z wyjątkiem co najwyżej punktów nieciągłości w każdym skończonym przedziale; w punktach tych następuje skok funkcji o skończoną waty ość (punkty nieciągłości pierwszego rodzaju)

4) Funkcja f(t) wzrasta co do wartości bezwzględnej nie szybciej niż funkcja wykładnicza, tzn. do danej funkcji f(t) można dobrać taką liczbę M oraz taką stałą nieujemną α, że dla wszelkich wartości argumentu zachodzi |f(t)|<Mexp(αt)

!!!!! s=σ+jw. !!!!!

Transformata Laplace’a: F(s)= ∫(od0do∞)f(t)e^-stdt

Odwrotna transformata Laplace’a f(t)=1/2π∫(od-∞do∞)F(σ+jw)e^(σ+jw)tdw

Własności:

-liniowość: α{λ₁f₁(t)+λ₂f₂(t)}= λ₁F₁(s)+λ₂F₂(s)

-splot: α{f₁(t)¤f₂(t)}= F₁(s)*F₂(s)