1.Prędkość i przyspieszenie w ruchu płaskim $\overrightarrow{v} = \frac{\overrightarrow{\text{dr}}}{\text{dt}} = \frac{d}{\text{dt}}\left( \overrightarrow{i}x + \overrightarrow{j}y \right) = \overrightarrow{i}\frac{\text{dx}}{\text{dt}} + \overrightarrow{j}\frac{\text{dx}}{\text{dt}} = \overrightarrow{i}v_{x} + \overrightarrow{j}v_{y}\ $| $v = \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2}} = \sqrt{\dot{x^{2}} + \dot{y^{2}}}$ | $\overrightarrow{a} = \frac{\overrightarrow{\text{dv}}}{\text{dt}} = \frac{d}{\text{dt}}\left( \overrightarrow{i}v_{x} + \overrightarrow{j}v_{y} \right) = \overrightarrow{i}\frac{dv_{x}}{\text{dt}} + \overrightarrow{j}\frac{dv_{y}}{\text{dt}} = \overrightarrow{i}a_{x} + \overrightarrow{j}a_{y}$ | $a = \sqrt{a_{x}^{2} + a_{y}^{2}} = \sqrt{\ddot{x^{2}} + \ddot{y^{2}}}\ $ 2. Droga i predkość w ruchu płaskim $s = \sum_{i}^{n}{\text{ds}_{i} = > \int_{}^{}{\text{ds} = \int_{}^{}\sqrt{\text{dx}^{2} + \text{dy}^{2} =}\ \sqrt{\text{dx}^{2} + \text{dy}^{2}}\frac{\text{dt}}{\text{dt}}}} = \int_{}^{}\sqrt{\left( \frac{\text{dx}}{\text{dt}^{2}}^{2} \right) + \left( \frac{\text{dy}}{\text{dt}^{2}}^{2} \right)}\text{dt} = \int_{}^{}{\sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2}}\text{dt} = \int_{0}^{t}{v\ \text{dt}}}$ 3. Przyspieszenie styczne i normalne w r. płas $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{a_{\tau}} + \overrightarrow{a_{n}}$ | $\overrightarrow{a} = \frac{\overrightarrow{\text{dv}}}{\text{dt}} = \frac{d}{\text{dt}}\left( \overrightarrow{\tau\ }v \right) = \frac{\text{dτ}}{\text{dt}}v + \tau\frac{\text{dv}}{\text{dt}}\ \ /\frac{\text{dτ}}{\text{dt}} = \overrightarrow{n}\frac{v}{\rho}$ | $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{n}\frac{v^{2}}{\rho} + \overrightarrow{\tau}\frac{\text{dv}}{\text{dt}} = > a = \sqrt{a_{n}^{2} + a_{\tau}^{2}}$ 4. Zas. zachow. pędu z przykł. $\frac{\overrightarrow{\text{dp}_{1}}}{\text{dt}} = \sum_{j = 1}^{n}{\overrightarrow{F}\ }_{1j}\ \mathbf{|}$ $\frac{\overrightarrow{\text{dp}_{2}}}{\text{dt}} = \sum_{j = 1}^{n}{\overrightarrow{F}}_{2j}$ | $\frac{\overrightarrow{\text{dp}_{n}}}{\text{dt}} = \sum_{j = 1}^{n}{\overrightarrow{F}}_{\text{nj}}$ Sumujemy $\sum_{i = 1}^{n}{\frac{{\overrightarrow{\text{dp}}}_{i}}{\text{dt}} = \sum_{\text{ij}}^{n}{{\overrightarrow{F}}_{\text{ij}} = 0}}$ | $\frac{d}{\text{dt}}\sum_{i = 1}^{n}{{\overrightarrow{p}}_{i} = 0}$ | $\frac{d}{\text{dt}}{\overrightarrow{p}}_{c} = 0\ \mathbf{|}\ {\overrightarrow{p}}_{c} = \sum_{i = 1}^{n}{{\overrightarrow{p}}_{i} = \text{const}}$ | Np. $\overrightarrow{p1} + \overrightarrow{p2} = \overrightarrow{\text{pc}}$ | mv + Mv_o = (M+m)v_x 5. Zależ. przyspiesz. ziem. od szer geo $\text{mg}_{y} = F_{\text{Gy}} = G\frac{\text{Mm}}{R^{2}}\text{sinφ}$ |${\ \text{mg}}_{x} = F_{\text{Gx}} - F_{\text{ob}} = G\frac{\text{Mm}}{R^{2}}\text{cosφ} - m\omega^{2}\text{Rcosφ}$ | $\text{mg} = \sqrt{{\text{mg}_{y}}^{2} + {\text{mg}_{x}}^{2}}$ 6. Zas zachow energii mech i całk z przyk ZZEM – całkow. energ. jest suma Ep + Ek | Ec=Ek+Ep-const Np. rzut pionowy Ec1=Ec2 | $\text{Ec}1 = \frac{1}{2}mv_{0}^{2}$ | $\text{Ec}2 = \frac{1}{2}mv^{2} + \text{mg}h = \frac{1}{2}m\left( v_{0} - \text{gt} \right)^{2} + \text{mg}\left( v_{0}t - \frac{gt^{2}}{2} \right) = \frac{1}{2}mv_{0}^{2}$ OZZE – suma wszystkich rodzajów energi $\sum_{}^{}{\text{Ei} - \text{const}}$ Np. zderzenie doskonale sprężyste $\frac{1}{2}mv_{0}^{2} = \frac{1}{2}\left( M + m \right)v_{}^{2} + Q$ 7. II zasada dynamiki ruchu obrotowego dla bryły F = >F_K ω₀ = >ω F_Kt = p_K  | F_Ksinαt = p_k − p_ok = m_Kv_K − m_Kv_OK | F_Ksinαt = m_Kωr_K − m_Kω_Or_K /r | r_KF_Ksinαt = m_Kr_K²(ω − ω_O) | ${\sum_{}^{}r_{K}F}_{K}\text{sinα}t = (\omega - \omega_{O})\ \sum_{}^{}{m_{K}r_{K}^{2}}$ /t | $\sum_{}^{}{M =}\frac{(\omega - \omega_{O})}{t}\sum_{}^{}I$ | M = Iε 8. Moment bezwladności z przykladem obliczeniowym I_K = m_kr_k² dla pkt mat | $I_{K} = \sum_{}^{}{m_{k}}r_{k}^{2}\ dla\ bryly$ | $I_{K} = \rho\sum_{}^{}{v_{k}}r_{k}^{2}$

I_K = ρ∫_vr_k²dv | Dla walca dv = 2πrhdr | I = ρ∫r²2πrhdr = 2πh∫_Rw^Rzr³dr== $\frac{1}{2}\text{πρh}\left( R_{z}^{4} - R_{w}^{4} \right) = \frac{1}{2}\text{πρh}\left( R_{z}^{2} - R_{w}^{2} \right)\left( R_{z}^{2} + R_{w}^{2} \right)$ /m = πρh(R_z² − R_w²) | $I = \frac{1}{2}m\left( R_{z}^{2} - R_{w}^{2} \right)\ $ jesli R_w = 0    R_z = R | $I = \frac{1}{2}mR^{2}$ 9. Zasada zachowania momentu pędu bryły z przykładem Wszystkie pkty mater tej bryły mają kręty skierowane w tą samą stronę, a więc cał kręt bryły jest sumą krętów $\overrightarrow{L} = \sum_{i = 1}^{n}\overrightarrow{L_{i}} = \sum_{}^{}{I_{i}\overrightarrow{\omega}} = \overrightarrow{\omega}I$ | ZZKB-w ukł odosobnionym (nie działają siły zewn.) kręt bryły jest stały w czasie $\frac{\overrightarrow{\text{dL}}}{\text{dt}} = \overrightarrow{M} = 0 = > \ \overrightarrow{L} = \text{const}$ |Np. I₁ω₁ = I₂ ↓ ω₂↑ ω₂ > ω₁ 10. Drg. harm. proste, energ. Drgan F = −kx   = >ma = −kx | ma + kx = 0/m | $\ddot{x}$+$\frac{k}{m}x = 0$ | $\ddot{x} + \omega_{0}^{2}x = 0$ | x(t) = x_osin(ω₀t + φ) | v(t) = x_ocos(ω₀t + φ)ω₀ | a(t) = −x_osin(ω₀t + φ)ω₀² Energia Ec=Ek+Ep =$\ \frac{1}{2}mv^{2} + \frac{1}{2}kx^{2} = \frac{1}{2}mv^{2} + \frac{1}{2}{\text{mω}_{0}^{2}x}^{2}\left( \text{post}\text{.\ }x\ i\ v \right) = \frac{1}{2}mx_{o}^{2}\omega_{0}^{2} = \text{const}$ 11. Drgania tłumione ma = F_s + F₀ | F_s = −kx F₀ = −rv | $\text{ma} + \text{kx} + \text{rv} = 0\ \left| \ \text{ma} + \frac{k}{m}x + \frac{r}{m}v = 0\ \ \ \right|\frac{k}{m} = \omega_{0}^{2}\text{\ \ \ \ }\frac{r}{m} = 2\beta$ | $\ddot{x} + \omega_{0}^{2}x + 2\beta\dot{x} = 0\ $ Wprow zmienn z z = xe^βt = >x = ze^−βt | $\ddot{z} + \left( \omega_{0}^{2} - \beta^{2} \right)z = 0$ | z = z₀sin(ωt+φ) | x = x₀sin(ωt+φ) 12. Drgania wymuszone ma = F + F_s + F₀| F = F₀cosΩt | F_s = −kx F₀ = −rv | $\text{ma} + \text{kx} + \text{rv} = F_{0}\cos\mathrm{\Omega}t\ \left| \ \text{ma} + \frac{k}{m}x + \frac{r}{m}v = \frac{F_{o}}{m}\cos\mathrm{\Omega}t\text{\ \ } \right|\frac{k}{m} = \omega_{0}^{2}\text{\ \ \ \ }\frac{r}{m} = 2\beta$ | $\ddot{x} + \omega_{0}^{2}x + 2\beta\dot{x} = \frac{F_{o}}{m}\cos\mathrm{\Omega}t\ \mathbf{|\ }x\left( t \right) = \text{Acos}(\mathrm{\Omega}t - \varphi)$ 13. Fale stojące$\mathbf{\text{\ \ }}y_{1} = Asin2\pi(\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda})$ $y_{2} = Asin2\pi(\frac{t}{T} + \frac{x}{\lambda})$ | $y = y_{1} + y_{2} = A\left\lbrack sin2\pi\left( \frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda} \right) + sin2\pi\left( \frac{t}{T} + \frac{x}{\lambda} \right) \right\rbrack = 2Asin\frac{2\pi\left( \frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda} \right) + 2\pi\left( \frac{t}{T} + \frac{x}{\lambda} \right)}{2}\cos\frac{2\pi\left( \frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda} \right) + 2\pi\left( \frac{t}{T} + \frac{x}{\lambda} \right)}{2}$ $= 2Acos2\pi\frac{x}{\lambda}sin2\pi\frac{t}{T}$ | $A\left( x \right) = 2Acos2\pi\frac{x}{\lambda}$ Wezeł A(x)=0 =>$x_{w} = \frac{2m + 1}{4}\lambda\text{\ \ \ }$Strzałka A(x)=2A =>$x_{s} = \frac{m}{2}\lambda\text{\ \ }$14. I zasadda termodynamiki z zastosowaniem Ciepło dostar do gazu jest zużywane na wrost energ wewn związanej ze wzostem temp oraz pracę jaką wykonuje gaz zwiększając swoją objętość Q = U + W Zastosowanie do przemian gazowych -prz. izoterm T=const | U = 0 = >Q = W | $\text{dW} = \text{pdv} = \frac{\text{nRTdv}}{v}$ | $W = \int_{v1}^{v2}{\frac{\text{nRTdv}}{v} = \text{nRT}(\ln v_{2}} - \ln v_{1}) = \text{nR}\text{Tln}\frac{v_{2}}{v_{1}} = Q$ |-prz izobar p=const |Q = U + W = >Q = U + pv  | $pv_{1} = \frac{m}{\mu}RT_{1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }pv_{2} = \frac{m}{\mu}RT_{2}$ | $pv_{2} - pv_{1} = \frac{m}{\mu}RT_{2} - \frac{m}{\mu}RT_{1}$ | $pv_{} = \frac{m}{\mu}R{T}_{}$ | Q = mc_pT | $mc_{p}T = \frac{\text{im}}{2\mu}RT + \frac{m}{\mu}R{T}_{}$ |$c_{p} = (\frac{i}{2} + 1)\frac{R}{\mu}$ $C_{p} = \mu c_{p}(\frac{i}{2} + 1)R$ | -prz izochor v=const | Q = U | Q = mc_vT | $mc_{v}T = \frac{\text{im}}{2\mu}RT$ | $c_{v} = (\frac{i}{2} + 1)\frac{R}{\mu}$ | $C_{v} = \mu c_{v}(\frac{i}{2} + 1)R$ |-prz adiabaty Q = 0 | −U = W = > − dU = dW | pdv + c_vdt = O | $p = \frac{\text{RT}}{v}$ | $\frac{\text{RT}}{v}dv + c_{v}\text{dt} = 0\ \mathbf{|}\ T = > \frac{R}{v}dv + c_{v}\frac{\text{dt}}{T} = 0$ | $\int_{}^{}{\frac{R}{v}dv + {\int_{}^{}\frac{\text{dt}}{T}c}_{v}\frac{\text{dt}}{T} = 0}$ | Rlnv + C_vlnT = const | (C_p − C_v)lnv + C_vlnT = const | pv^k = const 15. II zas termo dyn, cykl Carnota- Niemożl jest proces, którego jedynym rezultat. jest zmiana ciepła otrzym. ze źródła ciepła na równoważ. mu pracę. Niemożl jest proces, którego jedynym rezultat. jest przekazywanie ener. w postaci ciepła od ciała zimniej. do ciała cieplejszego $n = \frac{W}{Q_{1}}\ = \frac{Q_{1} - Q_{2}}{Q_{1}}$ Rozpatrzmy uprosz. silnik oparty na cyklu zamk. Składa się z 2 izoterm i 2 adiabat. Jest odwracal. 1 → 2 rozprezanie izoterm T₁ = const v₁→v₂ $W_{1} = \int_{v1}^{v2}{\text{pdv} = \int_{v1}^{v2}{\text{nR}T_{1}\frac{\text{dv}}{v}} = \text{nR}T_{1}\ln\frac{v_{2}}{v_{1}}} = Q_{1}$ | 2 → 3 rozprezanie adiab T₁→T₂ W₂ = −dv = nc_v(T₁−T₂) ciepl pobr = 0 | 3 → 4 sprezanie izoterm T₂ = const v₃→v₄ $W_{3} = \int_{v3}^{v4}{\text{pdv} = \int_{v3}^{v4}{\text{nR}T_{2}\frac{\text{dv}}{v}} = \text{nR}T_{2}\ln\frac{v_{4}}{v_{3}}} = {- Q}_{2}$ | 4 → 1 sprezanie adiab T₂→T₁ W₄ = −dv = nc_v(T₂−T₁) ciepl pobr = 0 | Wprowadz. otrzym ciepła do wzoru na sprawność $n = \ \frac{Q_{1} - Q_{2}}{Q_{1}} = \frac{\text{nR}T_{1}\ln\frac{v_{2}}{v_{1}} - \text{nR}T_{2}\ln\frac{v_{4}}{v_{3}}}{\text{nR}T_{1}\ln\frac{v_{2}}{v_{1}}}$ $= \frac{W}{Q_{1}}$=$\frac{W_{1} + W_{3}}{Q_{1}}$ 16. Równanie Bernoulliego z przykładem s₁v₁ = s₂v₂                            s₁dx₁ = s₂dx₂ | $E1 = Ek1 + Ep1 = \frac{\rho s_{1}\text{dx}_{1}v_{1}^{2}}{2} + \rho s_{1}\text{dx}_{1}gh_{1}$ | $E2 = Ek2 + Ep2 = \frac{\rho s_{2}\text{dx}_{2}v_{2}^{2}}{2} + \rho s_{2}\text{dx}_{2}gh_{2}$ | dW = E2 − E1 = p₁s₁dx₁ −  p₂s₂dx₂  | $\frac{1}{2}\rho v_{1}^{2} + \rho gh_{1} + p_{1} = \frac{1}{2}\rho v_{2}^{2} + \rho gh_{2} + p_{2}$ | $\frac{1}{2}\rho v_{}^{2} + \rho gh_{} + p_{} = const$ | Np.$\ \frac{1}{2}\rho v_{1}^{2} + \rho gh_{1} + p_{1} - \left( \frac{1}{2}\rho v_{2}^{2} + \rho gh_{2} + p_{2} \right) < 0$ | v₂ > v₁

1.Prędkość i przyspieszenie w ruchu płaskim $\overrightarrow{v} = \frac{\overrightarrow{\text{dr}}}{\text{dt}} = \frac{d}{\text{dt}}\left( \overrightarrow{i}x + \overrightarrow{j}y \right) = \overrightarrow{i}\frac{\text{dx}}{\text{dt}} + \overrightarrow{j}\frac{\text{dx}}{\text{dt}} = \overrightarrow{i}v_{x} + \overrightarrow{j}v_{y}\ $| $v = \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2}} = \sqrt{\dot{x^{2}} + \dot{y^{2}}}$ | $\overrightarrow{a} = \frac{\overrightarrow{\text{dv}}}{\text{dt}} = \frac{d}{\text{dt}}\left( \overrightarrow{i}v_{x} + \overrightarrow{j}v_{y} \right) = \overrightarrow{i}\frac{dv_{x}}{\text{dt}} + \overrightarrow{j}\frac{dv_{y}}{\text{dt}} = \overrightarrow{i}a_{x} + \overrightarrow{j}a_{y}$ | $a = \sqrt{a_{x}^{2} + a_{y}^{2}} = \sqrt{\ddot{x^{2}} + \ddot{y^{2}}}\ $ 2. Droga i predkość w ruchu płaskim $s = \sum_{i}^{n}{\text{ds}_{i} = > \int_{}^{}{\text{ds} = \int_{}^{}\sqrt{\text{dx}^{2} + \text{dy}^{2} =}\ \sqrt{\text{dx}^{2} + \text{dy}^{2}}\frac{\text{dt}}{\text{dt}}}} = \int_{}^{}\sqrt{\left( \frac{\text{dx}}{\text{dt}^{2}}^{2} \right) + \left( \frac{\text{dy}}{\text{dt}^{2}}^{2} \right)}\text{dt} = \int_{}^{}{\sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2}}\text{dt} = \int_{0}^{t}{v\ \text{dt}}}$ 3. Przyspieszenie styczne i normalne w r. płas $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{a_{\tau}} + \overrightarrow{a_{n}}$ | $\overrightarrow{a} = \frac{\overrightarrow{\text{dv}}}{\text{dt}} = \frac{d}{\text{dt}}\left( \overrightarrow{\tau\ }v \right) = \frac{\text{dτ}}{\text{dt}}v + \tau\frac{\text{dv}}{\text{dt}}\ \ /\frac{\text{dτ}}{\text{dt}} = \overrightarrow{n}\frac{v}{\rho}$ | $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{n}\frac{v^{2}}{\rho} + \overrightarrow{\tau}\frac{\text{dv}}{\text{dt}} = > a = \sqrt{a_{n}^{2} + a_{\tau}^{2}}$ 4. Zas. zachow. pędu z przykł. $\frac{\overrightarrow{\text{dp}_{1}}}{\text{dt}} = \sum_{j = 1}^{n}{\overrightarrow{F}\ }_{1j}\ \mathbf{|}$ $\frac{\overrightarrow{\text{dp}_{2}}}{\text{dt}} = \sum_{j = 1}^{n}{\overrightarrow{F}}_{2j}$ | $\frac{\overrightarrow{\text{dp}_{n}}}{\text{dt}} = \sum_{j = 1}^{n}{\overrightarrow{F}}_{\text{nj}}$ Sumujemy $\sum_{i = 1}^{n}{\frac{{\overrightarrow{\text{dp}}}_{i}}{\text{dt}} = \sum_{\text{ij}}^{n}{{\overrightarrow{F}}_{\text{ij}} = 0}}$ | $\frac{d}{\text{dt}}\sum_{i = 1}^{n}{{\overrightarrow{p}}_{i} = 0}$ | $\frac{d}{\text{dt}}{\overrightarrow{p}}_{c} = 0\ \mathbf{|}\ {\overrightarrow{p}}_{c} = \sum_{i = 1}^{n}{{\overrightarrow{p}}_{i} = \text{const}}$ | Np. $\overrightarrow{p1} + \overrightarrow{p2} = \overrightarrow{\text{pc}}$ | mv + Mv_o = (M+m)v_x 5. Zależ. przyspiesz. ziem. od szer geo $\text{mg}_{y} = F_{\text{Gy}} = G\frac{\text{Mm}}{R^{2}}\text{sinφ}$ |$\text{\ mg}_{x} = F_{\text{Gx}} - F_{\text{ob}} = G\frac{\text{Mm}}{R^{2}}\text{cosφ} - m\omega^{2}\text{Rcosφ}$ | $\text{mg} = \sqrt{{\text{mg}_{y}}^{2} + {\text{mg}_{x}}^{2}}$ 6. Zas zachow energii mech i całk z przyk ZZEM – całkow. energ. jest suma Ep + Ek | Ec=Ek+Ep-const Np. rzut pionowy Ec1=Ec2 | $\text{Ec}1 = \frac{1}{2}mv_{0}^{2}$ | $\text{Ec}2 = \frac{1}{2}mv^{2} + \text{mg}h = \frac{1}{2}m\left( v_{0} - \text{gt} \right)^{2} + \text{mg}\left( v_{0}t - \frac{gt^{2}}{2} \right) = \frac{1}{2}mv_{0}^{2}$ OZZE – suma wszystkich rodzajów energi $\sum_{}^{}{\text{Ei} - \text{const}}$ Np. zderzenie doskonale sprężyste $\frac{1}{2}mv_{0}^{2} = \frac{1}{2}\left( M + m \right)v_{}^{2} + Q$ 7. II zasada dynamiki ruchu obrotowego dla bryły F = >F_K ω₀ = >ω F_Kt = p_K | F_Ksinαt = p_k − p_ok = m_Kv_K − m_Kv_OK | F_Ksinαt = m_Kωr_K − m_Kω_Or_K /r | r_KF_Ksinαt = m_Kr_K²(ω − ω_O) | ${\sum_{}^{}r_{K}F}_{K}\text{sinα}t = (\omega - \omega_{O})\ \sum_{}^{}{m_{K}r_{K}^{2}}$ /t | $\sum_{}^{}{M =}\frac{(\omega - \omega_{O})}{t}\sum_{}^{}I$ | M = Iε 8. Moment bezwladności z przykladem obliczeniowym I_K = m_kr_k² dla pkt mat | $I_{K} = \sum_{}^{}{m_{k}}r_{k}^{2}\ dla\ bryly$ | $I_{K} = \rho\sum_{}^{}{v_{k}}r_{k}^{2}$

I_K = ρ∫_vr_k²dv | Dla walca dv = 2πrhdr | I = ρ∫r²2πrhdr = 2πh∫_Rw^Rzr³dr== $\frac{1}{2}\text{πρh}\left( R_{z}^{4} - R_{w}^{4} \right) = \frac{1}{2}\text{πρh}\left( R_{z}^{2} - R_{w}^{2} \right)\left( R_{z}^{2} + R_{w}^{2} \right)$ /m = πρh(R_z² − R_w²) | $I = \frac{1}{2}m\left( R_{z}^{2} - R_{w}^{2} \right)\ $ jesli R_w = 0    R_z = R | $I = \frac{1}{2}mR^{2}$ 9. Zasada zachowania momentu pędu bryły z przykładem Wszystkie pkty mater tej bryły mają kręty skierowane w tą samą stronę, a więc cał kręt bryły jest sumą krętów $\overrightarrow{L} = \sum_{i = 1}^{n}\overrightarrow{L_{i}} = \sum_{}^{}{I_{i}\overrightarrow{\omega}} = \overrightarrow{\omega}I$ | ZZKB-w ukł odosobnionym (nie działają siły zewn.) kręt bryły jest stały w czasie $\frac{\overrightarrow{\text{dL}}}{\text{dt}} = \overrightarrow{M} = 0 = > \ \overrightarrow{L} = \text{const}$ |Np. I₁ω₁ = I₂ ↓ ω₂↑ ω₂ > ω₁ 10. Drg. harm. proste, energ. Drgan F = −kx   = >ma = −kx | ma + kx = 0/m | $\ddot{x}$+$\frac{k}{m}x = 0$ | $\ddot{x} + \omega_{0}^{2}x = 0$ | x(t) = x_osin(ω₀t + φ) | v(t) = x_ocos(ω₀t + φ)ω₀ | a(t) = −x_osin(ω₀t + φ)ω₀² Energia Ec=Ek+Ep =$\ \frac{1}{2}mv^{2} + \frac{1}{2}kx^{2} = \frac{1}{2}mv^{2} + \frac{1}{2}{\text{mω}_{0}^{2}x}^{2}\left( \text{post}\text{.\ }x\ i\ v \right) = \frac{1}{2}mx_{o}^{2}\omega_{0}^{2} = \text{const}$ 11. Drgania tłumione ma = F_s + F₀ | F_s = −kx F₀ = −rv | $\text{ma} + \text{kx} + \text{rv} = 0\ \left| \ \text{ma} + \frac{k}{m}x + \frac{r}{m}v = 0\ \ \ \right|\frac{k}{m} = \omega_{0}^{2}\text{\ \ \ \ }\frac{r}{m} = 2\beta$ | $\ddot{x} + \omega_{0}^{2}x + 2\beta\dot{x} = 0\ $ Wprow zmienn z z = xe^βt = >x = ze^−βt | $\ddot{z} + \left( \omega_{0}^{2} - \beta^{2} \right)z = 0$ | z = z₀sin(ωt+φ) | x = x₀sin(ωt+φ) 12. Drgania wymuszone ma = F + F_s + F₀| F = F₀cosΩt | F_s = −kx F₀ = −rv | $\text{ma} + \text{kx} + \text{rv} = F_{0}\cos\mathrm{\Omega}t\ \left| \ \text{ma} + \frac{k}{m}x + \frac{r}{m}v = \frac{F_{o}}{m}\cos\mathrm{\Omega}t\text{\ \ } \right|\frac{k}{m} = \omega_{0}^{2}\text{\ \ \ \ }\frac{r}{m} = 2\beta$ | $\ddot{x} + \omega_{0}^{2}x + 2\beta\dot{x} = \frac{F_{o}}{m}\cos\mathrm{\Omega}t\ \mathbf{|\ }x\left( t \right) = \text{Acos}(\mathrm{\Omega}t - \varphi)$ 13. Fale stojące$\mathbf{\text{\ \ }}y_{1} = Asin2\pi(\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda})$ $y_{2} = Asin2\pi(\frac{t}{T} + \frac{x}{\lambda})$ | $y = y_{1} + y_{2} = A\left\lbrack sin2\pi\left( \frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda} \right) + sin2\pi\left( \frac{t}{T} + \frac{x}{\lambda} \right) \right\rbrack = 2Asin\frac{2\pi\left( \frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda} \right) + 2\pi\left( \frac{t}{T} + \frac{x}{\lambda} \right)}{2}\cos\frac{2\pi\left( \frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda} \right) + 2\pi\left( \frac{t}{T} + \frac{x}{\lambda} \right)}{2}$ $= 2Acos2\pi\frac{x}{\lambda}sin2\pi\frac{t}{T}$ | $A\left( x \right) = 2Acos2\pi\frac{x}{\lambda}$ Wezeł A(x)=0 =>$x_{w} = \frac{2m + 1}{4}\text{λ\ \ \ }$Strzałka A(x)=2A =>$x_{s} = \frac{m}{2}\text{λ\ \ }$14. I zasadda termodynamiki z zastosowaniem Ciepło dostar do gazu jest zużywane na wrost energ wewn związanej ze wzostem temp oraz pracę jaką wykonuje gaz zwiększając swoją objętość Q = U + W Zastosowanie do przemian gazowych -prz. izoterm T=const | U = 0 = >Q = W | $\text{dW} = \text{pdv} = \frac{\text{nRTdv}}{v}$ | $W = \int_{v1}^{v2}{\frac{\text{nRTdv}}{v} = \text{nRT}(\ln v_{2}} - \ln v_{1}) = \text{nR}\text{Tln}\frac{v_{2}}{v_{1}} = Q$ |-prz izobar p=const |Q = U + W = >Q = U + pv  | $pv_{1} = \frac{m}{\mu}RT_{1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }pv_{2} = \frac{m}{\mu}RT_{2}$ | $pv_{2} - pv_{1} = \frac{m}{\mu}RT_{2} - \frac{m}{\mu}RT_{1}$ | $pv_{} = \frac{m}{\mu}R{T}_{}$ | Q = mc_pT | $mc_{p}T = \frac{\text{im}}{2\mu}RT + \frac{m}{\mu}R{T}_{}$ |$c_{p} = (\frac{i}{2} + 1)\frac{R}{\mu}$ $C_{p} = \mu c_{p}(\frac{i}{2} + 1)R$ | -prz izochor v=const | Q = U | Q = mc_vT | $mc_{v}T = \frac{\text{im}}{2\mu}RT$ | $c_{v} = (\frac{i}{2} + 1)\frac{R}{\mu}$ | $C_{v} = \mu c_{v}(\frac{i}{2} + 1)R$ |-prz adiabaty Q = 0 | −U = W = > − dU = dW | pdv + c_vdt = O | $p = \frac{\text{RT}}{v}$ | $\frac{\text{RT}}{v}dv + c_{v}dt = 0\ \mathbf{|}\ T = > \frac{R}{v}dv + c_{v}\frac{\text{dt}}{T} = 0$ | $\int_{}^{}{\frac{R}{v}dv + {\int_{}^{}\frac{\text{dt}}{T}c}_{v}\frac{\text{dt}}{T} = 0}$ | Rlnv + C_vlnT = const | (C_p − C_v)lnv + C_vlnT = const | pv^k = const 15. II zas termo dyn, cykl Carnota- Niemożl jest proces, którego jedynym rezultat. jest zmiana ciepła otrzym. ze źródła ciepła na równoważ. mu pracę. Niemożl jest proces, którego jedynym rezultat. jest przekazywanie ener. w postaci ciepła od ciała zimniej. do ciała cieplejszego $n = \frac{W}{Q_{1}}\ = \frac{Q_{1} - Q_{2}}{Q_{1}}$ Rozpatrzmy uprosz. silnik oparty na cyklu zamk. Składa się z 2 izoterm i 2 adiabat. Jest odwracal. 1 → 2 rozprezanie izoterm T₁ = const v₁→v₂ $W_{1} = \int_{v1}^{v2}{\text{pdv} = \int_{v1}^{v2}{\text{nR}T_{1}\frac{\text{dv}}{v}} = \text{nR}T_{1}\ln\frac{v_{2}}{v_{1}}} = Q_{1}$ | 2 → 3 rozprezanie adiab T₁→T₂ W₂ = −dv = nc_v(T₁−T₂) ciepl pobr = 0 | 3 → 4 sprezanie izoterm T₂ = const v₃→v₄ $W_{3} = \int_{v3}^{v4}{\text{pdv} = \int_{v3}^{v4}{\text{nR}T_{2}\frac{\text{dv}}{v}} = \text{nR}T_{2}\ln\frac{v_{4}}{v_{3}}} = {- Q}_{2}$ | 4 → 1 sprezanie adiab T₂→T₁ W₄ = −dv = nc_v(T₂−T₁) ciepl pobr = 0 | Wprowadz. otrzym ciepła do wzoru na sprawność $n = \ \frac{Q_{1} - Q_{2}}{Q_{1}} = \frac{\text{nR}T_{1}\ln\frac{v_{2}}{v_{1}} - \text{nR}T_{2}\ln\frac{v_{4}}{v_{3}}}{\text{nR}T_{1}\ln\frac{v_{2}}{v_{1}}}$ $= \frac{W}{Q_{1}}$=$\frac{W_{1} + W_{3}}{Q_{1}}$ 16. Równanie Bernoulliego z przykładem s₁v₁ = s₂v₂                            s₁dx₁ = s₂dx₂ | $E1 = Ek1 + Ep1 = \frac{\rho s_{1}\text{dx}_{1}v_{1}^{2}}{2} + \rho s_{1}\text{dx}_{1}gh_{1}$ | $E2 = Ek2 + Ep2 = \frac{\rho s_{2}\text{dx}_{2}v_{2}^{2}}{2} + \rho s_{2}\text{dx}_{2}gh_{2}$ | dW = E2 − E1 = p₁s₁dx₁ −  p₂s₂dx₂  | $\frac{1}{2}\rho v_{1}^{2} + \rho gh_{1} + p_{1} = \frac{1}{2}\rho v_{2}^{2} + \rho gh_{2} + p_{2}$ | $\frac{1}{2}\rho v_{}^{2} + \rho gh_{} + p_{} = const$ | Np.$\ \frac{1}{2}\rho v_{1}^{2} + \rho gh_{1} + p_{1} - \left( \frac{1}{2}\rho v_{2}^{2} + \rho gh_{2} + p_{2} \right) < 0$ | v₂ > v₁