SPRAWOZDANIE Z ĆWICZENIA NR 100A
TEMAT: WYZNACZANIE GĘSTOŚCI CIAŁ STAŁYCH
Wstęp teoretyczny.
Gęstością substancji nazywamy stosunek masy pewnej jej ilości do zajmowanej przez nią objętości. Aby wyznaczyć gęstość bryły o nieregularnym kształcie, należy dokonać dokładnych pomiarów długości wszystkich boków i średnic tworzących bryłę oraz za pomocą wagi wyznaczyć jej masę. Następnie, na podstawie dokonanych pomiarów obliczamy objętości brył cząstkowych i sumując, otrzymujemy objętość całego elementu. Otrzymane wyniki podstawiamy do wzoru na gęstość:
$$\rho = \frac{m}{v}$$
Ρ= gęstość [kg/m3]
M= masa [kg]
V= objętość [m3]
Cel ćwiczenia.
Wyznaczenie objętości ciała stałego. Poznanie podstawowych narzędzi inżynierskich oraz dokładności ich pomiarów. Analiza niedokładności wyników.
Przedstawienie wyników pomiarów.
Poszczególne elementy bryły zostały zmierzone za pomocą suwmiarek oraz śruby mikrometrycznej. Masę wyznaczono za pomocą wagi. Poniżej przedstawiam dokładność wymienionych przyrządów.
| Nazwa przyrządu | Dokładność pomiarowa [mm] |
|---|---|
| Suwmiarka mniejsza | 0,1 |
| Suwmiarka większa | 0,02 |
| Śruba mikrometryczna | 0,01 |
| Waga | 0,1 |
Wyniki pomiarów [mm].
| D1 | H1 | D2 | H2 | D3 | H3 | D4 | H4 | D5 | H5 | D6 | H6 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| x | 21,39 | 16,70 | 19,02 | 11,22 | 21,44 | 24,00 | 16,58 | 2,2 | 11,23 | 11,6 | 7,3 | 5,2 |
| Δx | 0,01 | 0,02 | 0,01 | 0,02 | 0,01 | 0,02 | 0,01 | 0,1 | 0,01 | 0,1 | 0,1 | 0,1 |
x – wartość pomiarowa [cm]
Δx – dokładność przyrządu, za pomocą którego zmierzono dany wymiar
Obliczenia.
Objętość poszczególnych elementów obliczam ze wzoru na objętość walca:
V = πR2 * H
π≈3,14159265
dokładność π =+/- 0, 00000001
Przykładowe obliczenia:
V1=$\pi R^{2\ } \bullet H = 3,14159265\ \bullet \ \left( \frac{21,39}{2} \right)^{2} \bullet 16,70 = 3,14159265\ \bullet \ \left( 10,695 \right)^{2}\ \bullet 16,70 =$
=3, 14159265 • 114, 383025 • 16, 70 = 6001, 059339 [mm3]
Otrzymane wyniki to:
V1 = 6001, 059339 mm3
V2 = 3187, 893197 mm3
V3 = 8664, 643219 mm3
V4 = 474, 9868804 mm3
V5 = 1148, 966543 mm3
V6 = 217, 640114 mm3
Objętość całkowita jest równa:
Vc ∑ Vi =V1+V2+V3+V4+V5-V6= 19695, 18929 mm3
Masa bryły = 54,2 g
Δm = +/- 0,1 [g]
Biorąc pod uwagę niepewność przyrządów pomiarowych, obliczam rozrzut wyników.
Przykładowe obliczenia.
Obliczam objętość uwzględniając niepewność przyrządów pomiarowych. Następnie wyznaczam różnicę między objętością uwzględniającą, a objętością nieuwzględniającą błędu pomiarowego. W ten sposób wyznaczam rozrzut wyników.
V1’=$3,14159265\ \bullet \ \left( \frac{21.4}{2} \right)^{2} \bullet 16,72 = 3,14159265\ \bullet 114,49 \bullet 16,72 = 6013,\ 865359$ mm3
ΔV1=V1’-V1=6013, 865359 - 6001, 059339 = 12, 80602 mm3
V2’=$3,14159265\ \bullet \ \left( \frac{19,03}{2} \right)^{2} \bullet 11,24 = 3,14159265\ \bullet 93,1225 \bullet 11,24 =$3196, 934723 mm3
ΔV2=V2’-V2 = 3196, 934723 – 3187, 893197 = 9,041526 mm3
V3’=3$,14159265\ \bullet \ \left( \frac{21,45}{2} \right)^{2} \bullet 24,02 = 3,14159265\ \bullet 115,025625 \bullet 24,02 = 8679,\ 955067\ $ mm3
ΔV3=V3’-V3= 8679, 955067 – 8664, 643219 = 15, 311848 mm3
V4’=$3,14159265\ \bullet \ \left( \frac{16,59}{2} \right)^{2} \bullet 2,3 = 3,14159265\ \bullet 68,807025 \bullet 2,3 = 497,\ 1763812\ $ mm3
ΔV4=V4’-V4 = 497, 1763812 – 474, 9868804 = 22,1895016 mm3
V5’=$3,14159265\ \bullet \ \left( \frac{11,23}{2} \right)^{2} \bullet 11,7 = 3,14159265\ \bullet 31,528225 \bullet 11,7 = 1161,\ 059601\ $mm3
ΔV5=V5’-V5= 1161, 059601 –1148, 966543 = 12, 093058 mm3
V6’=$3,14159265\ \bullet \ \left( \frac{7,4}{2} \right)^{2} \bullet 5,2 = 3,1459265\ \bullet 136,9 \bullet 5,2 = 227,9445379\ $mm3
ΔV6=V6’-V6= 227, 9445379 –217, 640114 = 10,3044239 mm3
Niepewność pomiaru objętości całkowitej bryły obliczam za pomocą różniczki zupełnej.
${V}_{\text{c\ }} = \left| \frac{\partial(V_{1\ } + \ V_{2\ } + \ V_{3\ } + \ V_{4\ } + \ V_{5} - \ V_{6})}{\partial V_{1}}*\ V_{1} \right| + \ \ldots - \ \left| \frac{\partial(V_{1\ } + \ V_{2\ } + \ V_{3\ } + \ V_{4\ } + \ V_{5} - \ V_{6})}{\partial V_{6}}*\ V_{6} \right| = \ \left| 1*\ {V}_{1} \right| + \ldots - \ \left| 1*\ {V}_{6} \right| = \ {V}_{1\ } + \ {V}_{2} + \ {V}_{3} + \ {V}_{4} + \ {V}_{5} - \ {V}_{6} = 81,\ 6626253\ \text{mm}^{3} = \ {0,\ 0816626253\ cm}^{3}$
Vc = 19,69518929 +/- 0, 0816626253 [cm3]
Obliczam gęstość podstawiając uzyskane wyniki do wzoru:
$$\rho = \frac{m}{v} = \frac{54,2}{19,69518929} = 2,751941055\ \lbrack g/\text{cm}^{3}\rbrack$$
Za pomocą różniczki zupełnej obliczam niepewność pomiaru gęstości.
$$\rho = \ \left| \frac{m}{V} \right| + \left| - \frac{m*\ V}{V^{2}} \right| = \ \left| \frac{0,1}{19,69518929} \right| + \ \left| \frac{54,2 \bullet 0,0816626253}{{19,69518929}^{2}} \right| = 0,005077382 + 0,011410437 = 0,\ 000057935\ \lbrack\frac{g}{\text{cm}^{3}}\rbrack$$
Ρ = 2, 751941055 +/- 0, 000057935 [g/cm3]
Analiza niepewności pomiarów.
Niepewności pomiarowe moich obliczeń wynikają z niedokładności wykorzystanych przeze mnie przyrządów. Przyczyną mogą być również błędy podczas odczytu wyników, niedokładne wartości stałych, zbyt mała ilość pomiarów lub stosowanie przybliżeń. Błędy każdego pojedynczego pomiaru przenoszą się na ustalenie błędnej objętości, co prowadzi do błędnego obliczenia gęstości.
Wnioski.
Otrzymany wynik jest zbliżony do gęstości aluminium, podawanej w tablicach fizycznych, czyli 2,72 g/cm3. Różnica mieści się w granicach błędu. Przyczyną niewielkiego błędu są niedostateczne pomiary wysokości i średnic poszczególnych elementów bryły oraz jej całkowitej masy.