Kolokwium z analizy matematycznej 3 gr. A(poniedziałkowe)

Zadanie 1

Zaznaczyć na płaszczyźnie zbiór A={(x,y): y-x²+1≥0, y+x²-1<0}. Znaleźć jego wnętrze, domkniecie oraz brzeg

Zadanie 2

Zbadać istnienie granicy funkcji dwóch zmiennych

Lim_{(x,y)→(0,0)} x²y/x²+y

Zadanie 3

Niech funkcja f dana w będzie wzorem f(x,y)=1/x-y. wyznaczyć:

(a)macierz pochodnej funkcji f w punkcie (1,2) (w bazach kanonicznych);

(b)pochodną funkcji f w punkcie (1,2);

(c)wartość pochodnej funkcji f w punkcie (1,2) na wektorze (-1,1);

(d)macierz pochodnej drugiego rzędu funkcji f w punkcie (1,2) (w bazach kanonicznych);

(e)pochodna drugiego rzędu funkcji f w punkcie (1,2);

(f)wartość pochodnej drugiego rzędu funkcji f w punkcie (1,2) na wektorach (-1,-1),(1,-2)

Zadanie 4

Znaleźć ekstrema lokalnej funkcji

f(x,y,z)=2x²-xy+2xz-y+y³+z².

Zadanie 5

Wykazać że równanie

2x²+2y²+z²+8xz-z+8=0

Wyznacza funkcję uwikłaną z=z(x,y) w pewnym otoczeniu punktu (1,1,-3). Znaleźć z’_x(1,1), z’_y(1,1)