Akademia Górniczo - Hutnicza

im. Stanisława Staszica w Krakowie

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Kierunek: Mechanika i Budowa Maszyn

Praca przejściowa

Temat pracy:

Numeryczny model wymiennika ciepła typu rekuperator.

Autor:

Wojciech Wełna

rok III 2011/2012

gr. I

semestr letni

Promotor pracy:

mgr inż. Jerzy Wołoszyn

Spis treści

Spis treści 2

1. Wstęp 3

1.1 Cel pracy 3

1.2 Zakres pracy 3

2. Podział Wymienników 4

3. Podstawy wymiany ciepła 6

4. Rekuperatory 15

4.1 Zasada działania 16

4.2 Budowa 16

4.3 Obliczanie wielkości wymiennika oparte na jego sprawności 18

Literatura 21

1. Wstęp

Celem pracy jest przybliżenie teorii na temat wymiany ciepła (niezbędnych definicji oraz wzorów potrzebnych do obliczeń rekuperatora) i wymienników ciepła, a następnie skupienie się na rekuperatorach i stworzenie modelu 3D tego wymiennika.

1. Zakres Pracy

W rozdziale 2 są omówione rodzaje wymienników ciepła, podzielone ze względu na: liczbę płynów biorących udział w wymianie ciepła, kierunek przepływu płynów i zasadę ich działania.

W następnym rozdziale zapisane są definicje zaczynając od podstawowych, takich jak ciepło, czy przewodzenie ciepła i przechodząc później do przenikania ciepła. Uwzględnione są zarówno zjawiska zachodzące w przegrodach płaskich, jak i cylindrycznych. Oprócz pojęć zawarte są jeszcze wzory opisujące definicje.

W ostatnim rozdziale znajduje się zastosowanie rekuperatorów, opis ich budowy, schemat obliczeniowy i model 3D rekuperatora.

2. Podział wymienników

- wymiennik ciepła- jest to urządzenie służące do wymiany ciepła pomiędzy dwoma płynami oddzielonymi od siebie ścianką. Często noszą nazwy określające ich użycie, np. chłodnice, skraplacze, podgrzewacze, przegrzewacze, wytwornice pary, parowniki. Wymienniki są stosowane w przemyśle chemicznym, spożywczym i w energetyce. Wymiana ciepła może być ustalona lub nieustalona. [1,3]

Ze względu na liczbę płynów biorących udział w wymianie ciepła wymienniki można podzielić na: dwu-czynnikowe i więcej czynnikowe.

Natomiast ze względu na kierunki przepływu płynów względem siebie, wyróżniamy wymienniki:

1. współprądowe- kierunek ruchu płynów jest taki sam;

Rys.2. Rozkład temperatur dla wymiennika współprądowego [4]

b) przeciwprądowe- kierunki ruchu płynów są przeciwne;

Rys.2. Rozkład temperatur dla wymiennika przeciwprądowego [4]

c) krzyżowy- kierunki ruchu płynów krzyżują się, średnia różnica temperatur jest obliczana tak samo, jak dla przepływu przeciwprądowego, a następnie wprowadzamy poprawkę ε;

Rys.2. Rozkład temperatur dla wymiennika krzyżowego [4]

Średnia różnica logarytmiczna temperatur dla przepływu krzyżowego

$\Delta T_{m}^{'} = \varepsilon\Delta T_{m} = \varepsilon\frac{\Delta T_{2} - \Delta T_{1}}{\ln\frac{\Delta T_{2}}{\Delta T_{1}}}$ (2.1)

Powierzchnia wymiany ciepła wymiennika

$A = \frac{\dot{Q}}{\text{kεΔ}T_{m}}$ (2.2)

Ze względu na zasadę działania wymienniki można podzielić na:

a) rekuperatory- są to przeponowe wymienniki ciepła, płyny, pomiędzy którymi następuje wymiana ciepła są rozdzielone metalową ścianką (podczas wymiany występuje przenikanie). W rekuperatorze występują ustalone warunki pracy, oprócz krótkiego czasu po włączeniu, zatrzymaniu oraz zmiany warunków pracy. Przepływ płynów może być współprądowy, przeciwprądowy, krzyżowy lub krzyżowy mieszany. [3]

Ze względu na liczbę dróg przepływu rozróżnia się rekuperatory:

a) dwudrożne i wielodrożne;

b) dwuciągowe i wielociągowe;

b) regeneratory- są wypełnione np. cegłami, kulkami, blachami falistymi, itp. ciałami o rozwiniętej powierzchni przejmowania ciepła (ceramicznymi lub wykonanymi z metali). W pierwszym okresie styku (z cieplejszym płynem) ciało wypełniające gromadzi energię cieplną, którą oddaje zimniejszemu płynowi w drugim okresie styku. [3]

Ze względu na rodzaj wypełnienia, rozróżnia się regeneratory:

a) z nieruchomym wypełnieniem- mają dwie komory, do których trafiają płyny o różnych temperaturach nie mając ze sobą kontaktu, działają w sposób powtarzający się okresowo; [3]

b) z ruchomym wypełnieniem- podczas obrotu wypełnienia, ich elementy opływa na przemian płyn cieplejszy i zimniejszy, działają w sposób ciągły; [3]

c) mieszalniki- proces wymiany ciepła polega na wymieszaniu dwóch płynów o różnych temperaturach. Poza wymianą ciepła następuje wymiana substancji. Za przykład może posłużyć chłodnia kominowa, w której woda jest chłodzona przez powietrze atmosferyczne.

3. Podstawy wymiany ciepła

Ciepło- jest to energia cieplna (energia kinetyczna i potencjalna mikrocząsteczek) przenosząca się stosownie do II Zasady Termodynamiki samorzutnie od jednego ciała do drugiego kierunku (i na skutek) spadku temperatury. [2]

Wymiana ciepła- jest to przekazywanie energii cieplnej z jednego ciała do drugiego, przy czym temperatury obu ciał różnią się od siebie. Kiedy zjawiska wymiany ciepła są zmienne w czasie występuje nieustalona wymiana ciepła, a w przypadku niezmienności w czasie- ustalona wymiana ciepła. [3]

Strumień Ciepła- stosunek elementarnej ilości ciepła dQ do czasu trwania wymiany tej ilości ciepła. [3]

Możemy rozróżnić trzy mechanizmy wymiany ciepła:

- przewodzenie ciepła- jest to przekazywanie energii wewnętrznej między bezpośrednio stykającymi się częściami jednego ciała lub różnych ciał. W przypadku płynów przekazywaną energią, jest energia kinetyczna atomów i cząstek, natomiast w przypadku ciał stałych przekazywana jest energia drgań atomów w sieci krystalicznej i ruchu swobodnych elektronów. W płynach zjawisko przewodzenia ciepła połączone jest z konwekcją; [3]

Przewodzenie przez przegrodę płaską.

T₁,T₂- temperatury na powierzchni przegrody [°C]

δ- grubość przegrody [m]

λ- współczynnik przewodzenia ciepła [$\frac{W}{m*K}$]

$\dot{Q}$- strumień ciepła [W]

Strumień ciepła

$\dot{Q} = \frac{\text{dQ}}{\text{dt}}$ (3.1)

Równanie Fouriera dla przegrody płaskiej

$\dot{Q} = - A\lambda\frac{\partial T}{\partial n}$ (3.2)

A- pole powierzchni przegrody

T- temperatura w rozpatrywanym punkcie przegrody

$\frac{\partial}{\partial n}$ – pochodna w kierunku normalnej do powierzchni

Opór przewodzenia ciepła przegrody

$R_{\lambda} = \frac{\delta}{A\lambda}$ (3.3)

Przewodzenie przez przegrodę płaską wielowarstwową.

T₁,T₂,T₃,T₄- temperatury na powierzchni wewnętrznej i zewnętrznej przegrody [°C]

δ₁, δ₂, δ₃- grubości kolejnych przegród [m]

λ_1, λ₂ , λ₃, - współczynniki przewodzenia ciepła kolejnych przegród[$\frac{W}{m*K}$]

Opór przewodzenia ciepła przegrody

$R_{\lambda} = \sum_{i}^{}\frac{\delta_{i}}{A\lambda_{i}}$ (3.4)

Przewodzenie ciepła przez przegrodę cylindryczną.

T_s1- temperatura powierzchni ścianki wewnątrz cylindra

T_s2- temperatura powierzchni ścianki na zewnątrz cylindra

λ- współczynnik przewodzenia

q_l- gęstość strumienia ciepła

d₁- średnica wewnętrzna cylindra

d₂- średnica zewnętrzna cylindra

Równanie Fouriera dla przegrody cylindrycznej

$\dot{Q} = - \lambda 2\pi rL\frac{\partial T}{\partial n}$ (3.5)

Pole powierzchni

A = 2πrL [m²] (3.6)

Strumień ciepła

$\dot{Q} = 2\pi L\lambda\frac{T_{s1} - T_{s2}}{ln(\frac{d_{2}\ }{d_{1}})}\ \lbrack W\rbrack$ (3.7)

Opór cieplny przegrody walcowej

$R_{w} = \frac{ln(\frac{d_{2}\ }{d_{1}})}{2\pi L\lambda}\ \lbrack\frac{K}{W}\rbrack$ (3.8)

Średnia logarytmiczna powierzchnia

$A_{w} = \frac{A_{2}{- A}_{1}}{ln(\frac{A_{2}\ }{A_{1}})}\ \lbrack m^{2}\rbrack$ (3.9)

- konwekcję ciepła- jest to zjawisko związane z przepływem płynów. Transport energii występuje pomiędzy miejscami o różnej temperaturze, poprzez przemieszczanie się całych pakietów (elementów, cząstek) płynu, a nie jak ma to miejsce w przewodzeniu- przez pojedyncze molekuły. Strugi płynu mieszają się ze sobą, przez co transport ciepła jest o wiele szybszy niż w przypadku przewodzenia. Istnieją dwa typy konwekcji- wymuszona i swobodna: [1]

a) Konwekcja wymuszona- ruch płynu i ciepła jest skutkiem wymuszenia przepływu przez: pompę, wentylator, mieszadło, sprężarkę lub inne urządzenie; [1]

b) Konwekcja swobodna- ruch płynu i ciepła następuje samoistnie, poprzez wystąpienie sił wyporu termicznego. Jest to spowodowane faktem, iż płyn cieplejszy ma mniejszą gęstość, przez co unosi się do góry, gdzie miesza się z płynem zimnym i przekazuje mu część swojego ciepła. Jako przykład może posłużyć kaloryfer- zimne powietrze przechodzi pomiędzy jego ściankami (gdzie rośnie jego temperatura) do góry, a następnie mieszając się i ogrzewając zimniejsze powietrze krąży po pomieszczeniu; [1]

- promieniowanie- jest to zjawisko polegające na przekazywaniu energii za pomocą promieniowania elektromagnetycznego, takiego jak promieniowanie świetlne lecz w całym zakresie długości fal (głównie fal podczerwonych). Każde ciało posiadające temperaturę większą od zera bezwzględnego pochłania oraz wypromieniowuje ciepło. Promieniowanie zachodzi także w próżni; [2]

- wnikanie ciepła- ( przejmowanie ciepła) jest to proces wymiany ciepła pomiędzy powierzchnią ciała stałego, a opływającym to ciało płynem. Strumień ciepła przepływającego pomiędzy strugą płynu, a powierzchnią przegrody opisuje równanie Newtona. Zjawisko wnikania ciepła zawiera w sobie konwekcję oraz przewodzenie ciepła; [3]

W przypadku burzliwego przepływu płynu wzdłuż przegrody warstwa graniczna przyjmuje następujący kształt:

Rys.3.Błąd! W dokumencie nie ma tekstu o podanym stylu..4 Warstwa przyścienna w opływie ściany płaskiej: 1- warstwa laminarna, 2- obszar przejściowy, 3- warstwa turbulentna, 4- podwarstwa laminarna, 5- podwarstwa buforowa. [4]

Laminarna warstwa graniczna wynosi ok. 10^-6m i zachodzi w niej przewodzenie. W dalszej odległości od przegrody występuje konwekcja.

Strumień ciepła dla przegrody płaskiej określa równanie Newtona

$\dot{Q} = \alpha A\Delta T$ (3.10)

$\dot{Q}$- strumień ciepła [$\frac{J}{s}$]

α- współczynnik wnikania ciepła [$\frac{W}{m^{2}K}$], jest to ilość ciepła w dżulach przekazywana w czasie 1s na powierzchni 1m, gdy ΔT = 1K

1. pole powierzchni przegrody [m²]

ΔT- różnica temperatury w rdzeniu płynu i na powierzchni przegrody [°C]

Współczynnik wnikania ciepła jest funkcją bardzo wielu elementów, np. ciśnienia, przewodzenia ciepła, gęstość lepkość, ciepło właściwie. Samo wnikanie ciepła jest bardzo skomplikowanym procesem, przez co obliczenie współczynnika wnikania dokonuje się za pomocą programów komputerowych wykorzystujących MES.

Współczynnik przejmowania może też zmieniać się w czasie, jak również wzdłuż powierzchni, którą opływa.

Aby uśrednić współczynnik wnikania ciepła wykorzystuje się strumienie ciepła obliczone na dwa sposoby

$\backslash n\overset{\overline{}}{T_{f}} = \frac{1}{A}\int_{A}^{\ }T_{f}\text{dA}$ (3.11)

$\overset{\overline{}}{T_{s}} = \frac{1}{A}\int_{A}^{\ }T_{s}\text{dA}$ (3.12)

T_f- temperatura płynu [°C]

T_s- temperatura ścianki przegrody [°C]

Następnie rozdziela się zmienne i całkuje po odpowiednich granicach

$\int_{A}^{\ }\text{αdA} = \overset{\overline{}}{\alpha}A = \dot{m}c_{p}\ln\frac{\left( T_{f} - T_{s} \right)_{1}}{\left( T_{f} - T_{s} \right)_{2}}$ (3.13)

(T_f−T_s)₁- różnica temperatur na wlocie kanału

(T_f−T_s)₂- różnica temperatur na wylocie kanału

Ostatnim krokiem jest obliczenie strumienia ciepła

$\dot{Q} = \dot{m}c_{p}\left\lbrack \left( T_{f} - T_{s} \right)_{1} - \left( T_{f} - T_{s} \right)_{2} \right\rbrack = \overset{\overline{}}{\alpha}A\frac{\left( T_{f} - T_{s} \right)_{1} - \left( T_{f} - T_{s} \right)_{2}}{\ln\frac{\left( T_{f} - T_{s} \right)_{1}}{\left( T_{f} - T_{s} \right)_{2}}} = \overset{\overline{}}{\alpha}\text{AΔ}T_{m}$ (3.14)

ΔT_m- średnia logarytmiczna różnica temperatur

- przenikanie ciepła- jest to proces ruchu ciepła z głębi rdzenia jednej fazy do rdzenia drugiej fazy. Innymi słowy polega na transporcie ciepła z jednego płynu do drugiego, przy założeniu, że płyny oddzielone są przegrodą. Przenikanie zawiera trzy (a co najmniej dwie) fazy: przejmowanie od pierwszego płynu do ścianki, przewodzenie przez ściankę i przejmowanie ciepła od ścianki do drugiego płynu. Proces ten ma miejsce w każdym przekroju wymiennika ciepła; [1]

Przenikanie ciepła przez przegrodę płaską.

T₁, T₂- temperatury płynów

T_ść1, T_ść2- temperatury powierzchni ścianek

λ- współczynnik przewodzenia ciepła

δ- grubość ścianki

Równanie Pecleta dla przegrody płaskiej

$\dot{Q} = kA\left( T_{1} - T_{2} \right)$ (3.15)

k- współczynnik przenikania ciepła, [$\frac{W}{m^{2}K}$], jest to strumień ciepła przenikający przez powierzchnię 1 m² pomiędzy dwoma fazami płynnymi w ciągu 1 s, przy czym różnica temperatur między fazami wynosi 1 K. [1]

$\frac{1}{k} = \frac{1}{\alpha_{1}} + \frac{\delta}{\lambda} + \frac{1}{\alpha_{2}}$ (3.16)

Przekazywanie ciepła pomiędzy ścianką przegrody, a płynem może odbywać się poprzez wnikanie lub promieniowanie. Przy uwzględnieniu promieniowania należy wprowadzić zastępczy współczynnik α_r

${\dot{Q}}_{1 - 2} = \alpha_{r}A_{1}\left( T_{sc1} - T_{1} \right)$ (3.17)

$\alpha_{r} = \frac{{\dot{Q}}_{1 - 2}}{A_{1}\left( T_{sc1} - T_{1} \right)}$ (3.18)

Przy uwzględnieniu wnikania i promieniowania strumień ciepła oblicza się z następującego wzoru

$\dot{Q} = (\alpha_{k} + \alpha_{r})A_{1}\text{ΔT}$ (3.19)

α_k- współczynnik wnikania ciepła

α_r- współczynnik ruchu ciepła przez promieniowanie

Opór podczas przenikania ciepła składa się z trzech procesów tworzących układ szeregowy. Gdy opór jednego procesu jest znaczny, powoduje duże zmniejszenie strumienia ciepła całego układu.

Opór cieplny przewodzenia dla ścianki płaskiej

$R_{\lambda} = \frac{\text{ΔT}}{\dot{Q}} = \frac{\delta}{\text{λA}}$ (3.20)

Opór cieplny wnikania

$R_{\alpha} = \frac{1}{\text{αA}}$ (3.21)

Opór cieplny promieniowania

$R_{r} = \frac{1}{\alpha_{r}A}$ (3.22)

Opór cieplny wnikania z promieniowaniem

$R_{\alpha + r} = \frac{1}{(\alpha_{k} + \alpha_{r})A}$ (3.23)

Opór cieplny przenikania

$R_{k} = \frac{1}{\text{kA}} = R_{\alpha_{1}} + R_{\lambda} + R_{\alpha_{2}}$ (3.24)

Przenikanie ciepła przez przegrodę cylindryczną.T_p1 – temperatura płynu wewnątrz cylindra

T_p2 temperatura płynu na zewnątrz cylindra

T_s1- temperatura powierzchni ścianki wewnątrz cylindra

T_s2- temperatura powierzchni ścianki na zewnątrz cylindra

α₁- współczynnik przenikania ciepła płynu wewnątrz cylindra

α₂- współczynnik przenikania ciepła płynu na zewnątrz cylindra

Równania wnikania ciepła przez przegrodę cylindryczną

${\dot{Q}}_{1} = \alpha_{1}\pi d_{1}L(T_{p1} - T_{s1})$ (3.25)

${\dot{Q}}_{2} = \alpha_{2}\pi d_{2}L(T_{s2} - T_{p2})$ (3.26)

Równania przewodzenia ciepła przez przegrodę cylindryczną

$\dot{Q} = \frac{\text{πL}}{\frac{1}{2\lambda_{p}}\ln\frac{d_{2}}{d_{1}}}(T_{s1} - T_{s2})$ (3.27)

Strumień ciepła dla przegrody cylindrycznej

$\dot{Q} = \frac{\text{πL}}{\frac{1}{\alpha_{1}d_{1}} + \frac{1}{2\lambda_{p}}\ln\frac{d_{2}}{d_{1}} + \frac{1}{\alpha_{2}\pi d_{2}}}(T_{p1} - T_{p2})$ (3.28)

K_D- współczynnik przenikania dla ścianki cylindrycznej

$K_{D} = \frac{\pi}{\frac{1}{\alpha_{1}d_{1}} + \frac{1}{2\lambda_{p}}\ln\frac{d_{2}}{d_{1}} + \frac{1}{\alpha_{2}\pi d_{2}}}$ (3.29)

Strumień ciepła dla przegrody cylindrycznej po podstawieniu

$\dot{Q} = K_{D}L(T_{p1} - T_{p2})$ (3.30)

4. Rekuperatory

Rekuperacja- jest to proces odzysku ciepła ze zużytego i ogrzanego powietrza (np. z kuchni, łazienki) i oddanie go do powietrza nawiewanego (pokoi mieszkalnych). W tym procesie bierze udział urządzenie, zwane rekuperatorem. Dzięki rekuperacji obieg powietrza w pomieszczeniach jest optymalny, powietrze jest przefiltrowane (bez wilgoci i nieprzyjemnych zapachów).

Jak większość rzeczy, ich powstanie spowodowała potrzeba. Wraz z zaczęciem stosowania energooszczędnych rozwiązań w budownictwie pogorszyła się jakość powietrza w pomieszczeniach. Poprzez instalację szczelnych okien, ogranicza się wymianę powietrza z zewnątrz. W następstwie skutkuje to koncentracją zanieczyszczeń w pomieszczeniach, zwiększeniem ilości pary wodnej, która może się wykraplać na ścianach, co prowadzi do rozwoju pleśni i grzybów. Potrzebne więc było rozwiązanie tego problemu- wentylacja zapewniająca wymianę powietrza, która jednocześnie nie powodowałaby dużych strat ciepła.

4.1 Zasada działania

Zużyte powietrze wyrzucane na zewnątrz zabiera ze sobą znaczne ilości energii. Aby zatrzymać ciepło, przy jednoczesnej wymianie powietrza należy zastosować rekuperator, który przekazuje energię z usuwanego do napływającego powietrza. W domach jednorodzinnych najczęściej stosowane są wymienniki krzyżowe- przez przegrody naprzemiennie przepływa gaz ciepły i zimny, a kierunki przepływu krzyżują się. Taki wymiennik pozwala odzyskać do 80% ciepła, a przy zastosowaniu podwójnego wymiennika ponad 90%.

Rys.4.1 Przepływ medium przez rekuperator i wymiana ciepła [5]

Najprostszym i najtańszym wyjściem jest odzyskiwanie energii cieplnej z wentylacji podczas recyrkulacji powietrza. To rozwiązanie ma jednak poważne wady- nie można w ten sposób usuwać zanieczyszczonego powietrza (np. dymem papierosowym, bakteriami, czy zapachami z kuchni). W takim wypadku najlepszym wyborem jest zastosowanie rekuperatora, ponieważ strumienie powietrza nie mieszają się ze sobą, a jednocześnie następuje wymiana ciepła pomiędzy tymi strumieniami. Instalację wentylacji z odzyskiem ciepła należy uwzględnić w czasie projektowania budynku lub jego modernizacji. Podczas doboru urządzenia należy zwrócić uwagę na jego sprawność, efektywność odzysku ciepła, rodzaj izolacji oraz zabezpieczenia antykorozyjne. Centrala rekuperacyjna nie powinna przenosić drgań z wentylatora na obudowę. Wentylator musi mieć odpowiednią wydajność i rozmiar, aby nie wytwarzał zbyt dużego poziomu hałasu. Filtry powinny być umieszczone na ssaniu, by wychwyciły zanieczyszczenia, zwiększając żywotność wentylatora i silnika. Wymiennikiem ciepła można sterować mechaniczno-elektrycznie, elektrycznie lub cyfrowo.

4.2 Budowa

W przypadku domu jednorodzinnego wystarcza rekuperator o wymiarach nie większych niż:

• długość- 1m,

• wysokość- 0,5m,

• szerokość- 0,3m.

Rekuperator zawiera: wymiennik ciepła, dwa wentylatory, filtry, opcjonalnie nagrzewnicy i sterowania. Powietrze z zewnątrz przechodzi przez filtry i następnie podgrzewane. Moc wentylatorów nie jest większa, niż 120W i nie wytwarza uciążliwego hałasu. Dla poprawienia efektywności wymiany ciepła można zastosować nagrzewnicę (pierwotną lub wtórną), w której moc grzałek wynosi 2kW, lecz czas włączenia jest krótki. Niektóre rekuperatory są zaopatrzone w układ odmrożeniowy- przy oszronieniu wymiennika włączony jest jedynie wentylator usuwający ciepłe powietrze, a po odszronieniu drugi wentylator zaczyna pracować. Obudowa powinna tłumić hałas. Najważniejszym parametrem rekuperatora jest spręż- siła zasysania i wyrzucania powietrza. Gdy spręż jest zbyt mały, powietrze może nie docierać do wszystkich nawiewników. Spręż w domach jednorodzinnych powinien wynosić od 150 do 300Pa.

Rys.4.2 Instalacja systemu rekuperacyjnego w domu jednorodzinnym [5]

Zalety rekuperatorów:

• filtracja powietrza,

• usuwanie przykrych zapachów,

• brak przeciągów,

• redukcja hałasu z zewnątrz,

• usuwanie nadmiernej ilości pary wodnej,

• stały dopływ świeżego powietrza,

• oszczędność kosztów energii cieplnej (w niektórych przypadkach ponad 80% na ogrzanie powietrza wentylacyjnego).

Model 3D rekuperatora.

Rys.4.3 Model 3D rekuperatora

Rys.4.4 Model 3D rekuperatora- wnętrze

4.3 Obliczanie wielkości wymiennika oparte na jego sprawności.

Jedną z metod obliczania wymienników ciepła jest metoda oparta na liczbie wymiany jednostek- NTU (Number of Transfer Units). Jest ona oparta na sprawności (efektywności) wymiennika ciepła η. Efektywność wymiennika ciepła jest stosunkiem jego wydajności do wydajności, jaką uzyskałby, w przypadku uzyskania przez czynnik o mniejszym równoważniku wodnym przepływu wykorzystał całkowicie maksymalną różnicę temperatury ΔT_max = T_a1 − T_b1 w tym wymienniku. [4] (4.1)

Całkowite wykorzystanie ΔT_max jest możliwe w wymienniku przeciwprądowym o nieograniczonej powierzchni. W przypadku wymiennika współprądowego jest to możliwe wyłącznie w przypadku, kiedy jeden z równoważników wodnych przepływu jest nieskończenie duży (skraplacz, wyparka). Płyn o mniejszym równoważniku wodnym (W_min) doświadcza większej zmiany temperatury. Dla założenia W_b=W_min - jak dla przeciwprądu, to przy nieskończenie dużej powierzchni wymiany temperatury płynu b na wylocie i płynu a na wlocie będą równe. [4]

${\dot{Q}}_{\max} = W_{\min}\left( T_{\text{ap}} - T_{\text{bp}} \right) = W_{\min}\Delta T_{m\text{ax}}$ (4.2)

$\dot{Q} = W_{\max}\left( T_{\text{ap}} - T_{\text{bp}} \right) = W_{\max}\Delta T_{\min}$ (4.3)

$\eta = \frac{W_{a}\left( T_{\text{ap}} - T_{\text{ak}} \right)}{W_{b}\left( T_{\text{bp}} - T_{\text{bk}} \right)_{\max}} = \frac{W_{\max}\left( T_{\text{ap}} - T_{\text{ak}} \right)}{W_{\min}\left( T_{\text{ap}} - T_{\text{bp}} \right)}$ (4.4)

Gdy płyn gorący jest płynem minimum, to ostatnie wyrażenie przyjmie postać:

$\eta = \frac{W_{b}\left( T_{\text{bk}} - T_{\text{bp}} \right)}{W_{a}\left( T_{\text{ap}} - T_{\text{ak}} \right)_{\max}} = \frac{W_{\max}\left( T_{\text{bk}} - T_{\text{bp}} \right)}{W_{\min}\left( T_{\text{ap}} - T_{\text{bp}} \right)}$ (4.5)

W licznikach powyższych wzorów występuje strumień ciepła $\dot{Q}$, zatem możemy napisać, że:

$\dot{Q} = \eta W_{\min}\left( T_{\text{ap}} - T_{\text{bp}} \right)$ (4.6)

Gdy płyn zimny jest płynem minimum, to dla przeciwprądowego wymiennika ciepła mamy:

$\dot{Q} = W_{b}\left( T_{b2} - T_{b1} \right) = kA\frac{\left( T_{a1} - T_{b1} \right) - \left( T_{a2} - T_{b2} \right)}{ln(\frac{T_{a1} - T_{b1}}{T_{a2} - T_{b2}})}$ (4.7)

Z równania (4.6) otrzymujemy sprawność wymiennika:

$\eta = \frac{W_{b}\left( T_{b2} - T_{b1} \right)}{W_{\min}\left( T_{a2} - T_{b1} \right)}$ (4.8)

Dla W_b = W_min

$T_{a2} = T_{b1} + \frac{1}{\eta}\left( T_{b2} - T_{b1} \right)$ (4.9)

Następnie odejmujemy stronami T_b2:

$T_{a2} - T_{b2} = T_{b1} - T_{b2} + \frac{1}{\eta}\left( T_{b2} - T_{b1} \right) = \left( \frac{1}{\eta} - 1 \right)\left( T_{b2} - T_{b1} \right)$ (4.10)

Ponieważ:

$\frac{W_{b}}{W_{a}} = \frac{T_{a2} - T_{a1}}{T_{b2} - T_{b1}}$ (4.11)

to po przekształceniu:

$T_{a1} = T_{a2} - \frac{W_{\max}}{W_{\min}}\left( T_{b2} - T_{b1} \right)$ (4.12)

oraz

$T_{a1} - T_{b1} = T_{a2} - T_{b1} - \frac{W_{\max}}{W_{\min}}\left( T_{b2} - T_{b1} \right)$ (4.13)

Z równania (4.9) otrzymujemy zależność:

$T_{a2} - T_{b1} = \frac{1}{\eta}\left( T_{b2} - T_{b1} \right)$ (4.14)

Następnie podstawiamy ją do równania (1.46):

$T_{a1} - T_{b1} = T_{a2} - T_{b1} - \frac{W_{\max}}{W_{\min}}\left( T_{b2} - T_{b1} \right) = \left( \frac{1}{\eta} - \frac{W_{\max}}{W_{\min}} \right)\left( T_{b2} - T_{b1} \right)$ (4.15)

Z zależności (4.10) i (4.15) podstawiamy do równania 4.7)

$\ln\frac{\frac{1}{\eta} - \frac{W_{\min}}{W_{\max}}}{\frac{1}{\eta} - 1} = \frac{\text{kA}}{W_{\min}}\left( 1 - \frac{W_{\min}}{W_{\max}} \right)$ (4.16)

Następnie pozbywamy się logarytmu i przekształcamy:

$\eta = \frac{1 - exp\left\lbrack - \frac{\text{kA}}{W_{\min}}\left( 1 - \frac{W_{\min}}{W_{\max}} \right) \right\rbrack}{1 - \frac{W_{\min}}{W_{\max}}\exp\left\lbrack - \frac{\text{kA}}{W_{\min}}\left( 1 - \frac{W_{\min}}{W_{\max}} \right) \right\rbrack}$ (4.17)

Wyrażenie $\frac{\text{kA}}{W_{\min}}$ jest to liczba jednostek wymiany NTU. Stosunek $\frac{W_{\min}}{W_{\max}}$ oznaczamy jako R i dla wymiennika przeciwprądowego dostaniemy równanie:

$\eta_{p} = \frac{1 - e^{- NTU\left( 1 - R \right)}}{1 - \text{Re}^{- NTU\left( 1 - R \right)}}$ (4.18)

Natomiast dla wymiennika współprądowego otrzymamy równanie:

$\eta_{w} = \frac{1 - e^{- NTU\left( 1 + R \right)}}{1 - R}$ (4.19)

Literatura

[1] Zarzycki R.: Wymiana ciepła i ruch masy w inżynierii środowiska. WNT. Warszawa 2005. Wyd. I. ISBN 83-204-3083-6

[2] Pudlik W.: Wymiana i wymienniki ciepła, Gdańsk 1998,

[3] Wiśniewski S., Wiśniewski S. T.: Wymiana ciepła, WNT. Warszawa 1997. Wyd. IV. ISBN 83-204-2110-1

[4] Kmieć A.: Procesy cieplne i aparaty, Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej. Wrocław 2005. ISBN 83-7085-864-3

[5] http://www.rekuperacja-rekuperatory.pl/