Politechnika Świętokrzyska	Geodezja i Kartografia
Rok akade. 2012/2013	Geomatyka
Grzegorz Barański	05.06.2013
„OBLICZENIA NA KULI”

Kołem wielkim nazywamy każde największe koło (okrąg!), jakie można wpisać w kulę. Średnica koła wielkiego jest równa średnicy kuli, a samo koło dzieli kulę na półkule. Każde koło wielkie ma dwa bieguny. Biegunami koła wielkiego nazywamy punkty wspólne sfery oraz prostej przechodzącej przez środek kuli i prostopadłej do płaszczyzny danego koła wielkiego. Wszystkie pozostałe koła (okręgi!) wpisane w kulę noszą miano kół małych.

Odległością sferyczną punktów A i B leżących na sferze nazywamy kąt środkowy α wyrażany najczęściej w mierze łukowej (w radianach), oparty na łuku koła wielkiego AB przechodzącego przez te punkty. Odległość sferyczna jest równa stosunkowi długości łuku na sferze łączącego punkty A i B do długości promienia kuli.
Przez każde dwa punkty na sferze, których odległość sferyczna równa się π, można poprowadzić nieskończenie wiele kół wielkich. Przez dwa dowolne punkty na sferze, których odległość sferyczna nie równa się π, można poprowadzić dokładnie jedno koło wielkie.
W uproszczeniu często przyjmuje się, że Ziemia jest kulą, stąd potoczne określenie „kula ziemska”. W takich przypadkach przyjmowany jest promień kuli R = 6370 kilometrów.
Odległość sferyczna każdego punktu należącego do łuku koła wielkiego od bieguna tego koła wynosi$\ \frac{\pi}{2}$.
Linia geodezyjna to potocznie mówiąc droga od punktu A do punktu B po przyjętej powierzchni odniesienia charakteryzująca się brakiem krzywizny geodezyjnej. Na płaszczyźnie linią geodezyjną będzie wprost odcinek prostej łączącej dwa punkty. Na kuli jest to łuk koła wielkiego. Na elipsoidzie sprawa się już komplikuje.
Najkrótsza droga pomiędzy dwoma punktami na kuli jest linią geodezyjną, jednak nie każda linia geodezyjna jest najkrótszą drogą pomiędzy tymi punktami.
Kąt sferyczny to kąt zawarty między stycznymi do łuków kół wielkich w punkcie ich przecięcia. Kąt sferyczny jest równy kątowi dwuściennemu, utworzonemu przez płaszczyzny kół wielkich.
Jeżeli trzy dowolne punkty leżące na sferze połączymy łukami trzech różnych kół wielkich, to część sfery ograniczoną tymi łukami nazywamy trójkątem sferycznym.

Współrzędne na kuli (ziemskiej):

1. Współrzędne geograficzne

Osią podstawową układu współrzędnych geograficznych jest oś obrotu Ziemi. Oś ta przecina powierzchnię kuli w dwóch punktach, zwanych biegunami ziemskimi (N – biegun północny, S – biegun południowy).
Każde połączenie biegunów ziemskich połową łuku koła wielkiego nazywamy południkiem. Przyjęto, że południk przechodzący przez określony punkt Obserwatorium Astronomicznego w Greenwich nosi nazwę południka zerowego.
Każde koło małe leżące w płaszczyźnie prostopadłej do osi obrotu Ziemi jest nazywane równoleżnikiem.

Jedyne koło wielkie leżące w płaszczyźnie prostopadłej do osi obrotu Ziemi jest nazywane równikiem.

Pozycję punktu leżącego na powierzchni kuli określamy jednoznacznie za pomocą dwóch kątów: φ – szerokość geograficzna, λ – długość geograficzna.

Szerokością geograficzną φ punktu P leżącego na kuli nazywamy kąt, jaki tworzy normalna do sfery w punkcie P z płaszczyzną równika.

Szerokości geograficzne wzrastają na północ od równika od 0 do 90 stopni, a na południe od równika maleją od 0 do -90 stopni.
Długością geograficzną λ punktu P leżącego na kuli nazywamy kąt dwuścienny między płaszczyzną południka zerowego a płaszczyzną południka przechodzącego przez punkt P.
Długości geograficzne wzrastają na wschód od południka zerowego od 0 do 180 stopni, a na zachód od południka zerowego maleją od 0 do -180 stopni.

1. Współrzędne kartezjańskie

Początek układu współrzędnych pokrywa się ze środkiem kuli.

Oś Z pokrywa się z osią obrotu i jest skierowana do bieguna północnego.

Oś X pokrywa się z krawędzią przecięcia płaszczyzny równika i płaszczyzny południka zerowego.

Oś Y tworzy z pozostałymi osiami prawoskrętny układ współrzędnych prostokątnych i prostoliniowych.

Obliczenia na kuli.