1. Treść zadania

„Aproksymacja średniokwadratowa” – Dla danego zbioru punktów:

x	0	1	2	3
y	0.98	0.35	0.19	0.15

wyznacz ręcznie współczynniki funkcji f(x)=1/(ax+b) stosując metodę aproksymacji średniokwadratowej i porównaj wyniki z wyliczeniami numerycznymi stosując odpowiednie skrypty Octava. Następnie wyznacz wartości norm E_∞, E1, E2 dla tak wyznaczonej funkcji f(x). Wykreśl podane punkty {x_i,y(x_i)  }  oraz funkcję f(x) używając komendy plot. Wydruki wykresów (wraz z kodem) dołącz do sprawozdania.

1. Wstęp teoretyczny

Aproksymacja dyskretna – funkcję dyskretną y=f(x) oraz jej zadane wartości można przedstawić w formie tabelarycznej.

Tabela 1. Zadane wartości funkcji dyskretnej

xi	x0	x1	…	xn
yi = f(xi)	y0	y1	…	yn

Kolejnym krokiem jest wybranie funkcji aproksymującej. Zwykle jest nią wielomian uogólniony, o postaci F(x) = a₀φ₀(x) + a₁φ₁(x) + … + a_mφ_m(x), w którym:

• φ₀, φ₁, φ_m – wielomiany bazowe wymiarowej przestrzeni liniowej

• a₀, a₁,  a_m – współczynniki aproksymacyjne (szukane).

Jako funkcje bazowe stosuje się zwykle jednomiany (1, x¹,x²…x^m) lub funkcje trygonometryczne (1, cosx, sinx …)

Zagadnienie oznacza się jako iloczyn skalarny o postaci :

Znalezienie optymalnych współczynników a_k, k = 0,1…,m sprowadza się finalnie do rozwiązania układu równań liniowych (układ normalnu). Rezultaty obliczeń układu o postaci poniżej, pozwala na wyznaczenie współczynników a₀, a₁, …, a_m.

1. Kod z programu MatLAB

clc; clear all; close all; format compact;

xi=[0 1 2 3 ];

yi=[0.98 0.35 0.19 0.15];

%zadana funkcja f(x)=1/(ax+b) -> f(x)=1/(a0+a1*x)

%zastąpIĘ f(x) przez g(x)-> aproksymacja wielomianami

% g(x)= 1/f(x)= (a0+a1*x)

gi=1./yi;

%funkcja ask - ze strony zakładu.Użyję do aproksymacji średniokwadratowej

%dla funkcji liniowej f(x)= (a1*x + a0) dla zbioru N punktów

[a1,a0]=ask(xi,gi);

%wartości f(x) dla obliczonych współczyników a0,a1

yii=1./(a0+a1*xi);

disp(sprintf('---- Współczynniki funkcji f(x)1/(a0 + a1*x) ----'))

disp(sprintf('a0= %.4f a1= %.4f - wyliczone programem ',a0,a1))

disp(sprintf('a0= %.4f a1= %.4f - wyliczone "ręcznie" ',1.06,1.93))

disp(sprintf('---- ----- ---- ---- ---- ---- ---- ----'))

disp(sprintf(' i %.0f %.0f %.0f %.0f',0:1:3))

disp(sprintf(' x %.0f %.0f %.0f %.0f',0:1:3))

disp(sprintf(' y %.4f %.4f %.4f %.4f',yi))

disp(sprintf(' g(xi) %.4f %.4f %.4f %.4f',gi))

disp(sprintf(' f(xi) %.4f %.4f %.4f %.4f',yii))

%rysowanie na wykresie punktów {xi, y(xi)} oraz funkcji f(x)

a=min(xi);

b=max(xi);

x=linspace(a,b);

fx=1./(a0+a1*x);

%fxx=1./(1.06+1.93*x);

%plot(xi,yi,'rx',x,fx,'g',x,fxx,'b','markersize',15);

plot(xi,yi,'rx',x,fx,'b','markersize',15);

xlim([-0.1 3.1])

grid on

%wyznaczanie wartości norm

%Norma maksimum

A=abs(yii-yi)

Emax=max(A);

%Norma średnia

Suma=0;

for i=1:4

Suma=Suma+A(i);

end

E1=(1/4)*(Suma);

%Norma średniokwadratowa

Suma=0;

for i=1:4

Suma=Suma+A(i)^2;

end

E2=sqrt((1/4)*(Suma));

disp(sprintf(' Wartości norm:'))

disp(sprintf(' Emax - norma maksimum Emax=%.4f ',Emax))

disp(sprintf(' E1 - norma średnia E1=%.4f ',E1))

disp(sprintf(' E2 - norma średniokwadratowa E2=%.4f ',E2))

Powyższy program wygenerował wykres:

Wykres 1. Wynik obliczeń

Do obliczeń użyta została funkcja ask.m, zaczerpnięta z zakładowej strony wraz z listą zadań z działu aproksymacja średniokwadratowa. Ma ona poniższą postać:

function [A,B]=ask(X,Y)

%Input X - wspolrzedne x-owe punktow

% Y - wspolrzedne y-owe punktow

%Output A - wspolczynnik A w dopasowaniu A*x+B

% B - wspolczynnik B w dopasowaniu A*x+B

xmean=mean(X);

ymean=mean(Y);

sumx2=(X-xmean)*(X-xmean)';

sumxy=(Y-ymean)*(X-xmean)';

A=sumxy/sumx2;

B=ymean-A*xmean;

end

1. Rezultaty obliczeń

---- Współczynniki funkcji f(x)1/(a0 + a1*x) ----

a0= 1.0501 a1= 1.9345 - wyliczone programem

a0= 1.0600 a1= 1.9300 - wyliczone "ręcznie"

---- ----- ---- ---- ---- ---- ---- ----

i 0 1 2 3

x 0 1 2 3

y 0.9800 0.3500 0.1900 0.1500

g(xi) 1.0204 2.8571 5.2632 6.6667

f(xi) 0.9523 0.3351 0.2033 0.1459

A =

0.0277 0.0149 0.0133 0.0041

Wartości norm:

Emax - norma maksimum Emax=0.0277

E1 - norma średnia E1=0.0150

E2 - norma średniokwadratowa E2=0.0172

W poniższej tabelach zestawione zostały wyniki obliczeń ręcznych oraz wykonanych przez program.

Tabela 2. Obliczone wartości współczynników

Wartości współczynników a0, a1
Ręcznie
MatLAB

Tabela 3. Obliczone wartości f(x) dla aproksymacji średniokwadratowej

Wartości f(x) dla aproksymacji średniokwadratowej
Z treści zadania
Ręcznie
MatLAB

Tabela 4. Obliczone wartości norm

Obliczone wartości norm
Ręcznie
MatLAB

1. Wnioski

• Rezultaty obliczeń ręcznych i wykonanych pod MatLABem są zbliżone,

• rozbieżności wynikają prawdopodobnie z dokładności obliczeń,

• dokładność obliczeń ręcznych jest ograniczona w stosunku do obliczeń wykonanych przez program,

• najmniejszą wartość normy posiada norma średnia, co oznacza że błąd dla niej jest najmniejszy, a tym samym metoda ta jest najdokładniejsza.