I EF-DI
16 listopad 2011
LABORATORIUM Z FIZYKI
ĆWICZENIE NR 20
„Wyznaczanie energii aktywacji przewodnictwa materiałów półprzewodnikowych”
Przemysław Gawłowski
L5
1. Wstęp teoretyczny
* Pojęcie koncentracji i ruchliwości nośników ładunku
**Koncentracja:
jest to liczba obiektów przypadających na jednostkę objętości:
$$n_{0} = \frac{N}{V}$$
,gdzie N jest ilością obiektów znajdujących się w objętości V.
Używa się również pojęcia koncentracji powierzchniowej:
$$n_{S0} = \frac{N}{S}$$
, gdzie S jest powierzchnią, na której jest zgromadzonych N obiektów.
Pojęcie koncentracji liniowej:
$$n_{L0} = \frac{N}{L}$$
, gdy na długości L można znaleźć N obiektów.
**Ruchliwość nośników ładunku:
W fizyce oraz chemii, wielkość wyrażająca związek między prędkością dryfu elektronów, jonów lub innych nośników ładunku, i zewnętrznym polem elektrycznym. Ruchliwością nazywa się czasem również sam proces ruchu skierowanego (dryfowania) nośników ładunku pod wpływem pola elektrycznego.
Ruchliwość definiowana jest jako prędkość dryfu nadawana przez jednostkowe pole elektryczne:
$$\mu = \frac{v_{d}}{E}$$
,gdzie µ jest ruchliwością. Najczęściej wyraża się ją w $\frac{m^{2}}{V*s}$ .
**Ruchliwość nośników w półprzewodniku:
Ruchliwość nośników zależy od koncentracji domieszek. W półprzewodnikach do wartości koncentracji domieszek rzędu 1015 cm−3 ruchliwość nośników jest praktycznie stała, a powyżej tej wartości zaczyna maleć.
Ruchliwość zależy także od temperatury. W zakresie temperatur dominuje rozpraszanie nośników na atomach sieci (ruchliwość sieciowa). W takim przypadku ruchliwość maleje przy wzroście temperatury zgodnie z zależnością:
μ = BT−K
,gdzie B - jest stałą niezależną od temperatury.
* Prawo Ohma
Natężenie prądu płynącego w odcinku przewodnika jest wprost proporcjonalne do napięcia przyłożonego do końców tego odcinka:
I ∼ U
Wynika z tego, że:
Iloraz napięcia między końcami odcinka przewodnika i natężenia prądu płynącego przez ten ośrodek jest dla danego ośrodka stały:
$$R = \frac{U}{I}$$
Iloraz ten jest miarą OPORU ELEKTRYCZNEGO odcinka obwodu. Jednostką oporu w układzie SI jest Ω
$$\left\lbrack R \right\rbrack = 1\Omega = \frac{1V}{1A}$$
Jest to oporność takiego przewodnika, w którym płynie prąd o natężeniu 1A po przyłożeniu napięcia 1V.
Z prawa Ohma wynika, że natężenie prądu płynącego w przewodniku jest wprost proporcjonalne do napięcia, współczynnik proporcjonalności jest równy odwrotności oporu.
Przewodnictwo właściwe σ to odwrotność oporu właściwego ρ :
$$\sigma = \frac{1}{\rho}$$
Im większą wartość ma przewodnictwo właściwe danego materiału, tym lepszym jest on przewodnikiem. Wartość oporu właściwego i przewodnictwa właściwego silnie zależą od własności mikroskopowych substancji.
* Model pasmowy półprzewodników – półprzewodniki samoistne i domieszkowe
* Energia aktywacji
2. Wykonane pomiary
U | t | T | $$\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{T}}$$ |
$$\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{T}}$$ |
I | I | ln I | ε −+u(ε) |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
[V] | [stopnie C] | [K] | [K−1] | [K−1] | [mA] | [μA] | [eV] | |
2 | 15 | 288 | 3.47 * 10−3 | 0.00347 | 2.7 | 0.0027 | -5.92 | −0.65−+0.0056 |
2 | 20 | 293 | 3.41 * 10−3 | 0.00341 | 3.6 | 0.0036 | -5.63 | |
2 | 25 | 298 | 3.35 * 10−3 | 0.00335 | 4.5 | 0.0045 | -5.40 | |
2 | 30 | 303 | 3.30 * 10−3 | 0.00330 | 5.5 | 0.0055 | -5.20 | |
2 | 35 | 308 | 3.24 * 10−3 | 0.00324 | 6.6 | 0.0066 | -5.02 | |
2 | 40 | 313 | 3.19 * 10−3 | 0.00319 | 8.2 | 0.0082 | -4.80 | |
2 | 45 | 318 | 3.14 * 10−3 | 0.00314 | 9.8 | 0.0098 | -4.63 | |
2 | 50 | 323 | 3.095 * 10−3 | 0.003095 | 11.6 | 0.0116 | -4.46 | |
2 | 55 | 328 | 3.048 * 10−3 | 0.003048 | 14.2 | 0.0142 | -4.26 | |
2 | 60 | 333 | 3.00 * 10−3 | 0.003 | 16.7 | 0.0167 | -4.10 | |
2 | 65 | 338 | 2.95 * 10−3 | 0.00295 | 19.7 | 0.0197 | -3.93 | |
2 | 70 | 343 | 2.91 * 10−3 | 0.00291 | 23.2 | 0.0232 | -3.76 | |
2 | 75 | 348 | 2.87 * 10−3 | 0.00287 | 27.3 | 0.0273 | -3.60 | |
2 | 80 | 353 | 2.83 * 10−3 | 0.00283 | 30 | 0.030 | -3.50 |
*Przeliczenie na stopnie Kalwina.
* Obliczenie odwrotności temperatury w Kelwinach:
$$\frac{1}{T_{1}} = \frac{1}{288} = 3.47\ *\ 10^{- 3}\frac{1}{K}$$
$$\frac{1}{T_{2}} = \frac{1}{293} = 3.41*\ 10^{- 3}\frac{1}{K}$$
Pozostałe obliczenia wykonuje analogicznie.
*Obliczanie logarytmu naturalnego z wartości wszystkich I przy pomocy MathCad:
*Przy użyciu metody najmniejszych kwadratów obliczam wartości współczynników a i b. Otrzymane wyniki dodatkowo weryfikuje przy użyciu funkcji reglin w Excelu.
$$a = \frac{\sum_{i = 1}^{n}{x_{i}*\sum_{i = 1}^{n}{y_{i} - n\sum_{i = 1}^{n}{x_{i}y_{i}}}}}{{(\sum_{i = 1}^{n}x_{i})}^{2} - n\sum_{i = 1}^{n}{x_{i}}^{2}}$$
$$b = \frac{\sum_{i = 1}^{n}x_{i}*y_{i} - \sum_{i = 1}^{n}{y_{i}\sum_{i = 1}^{n}{x_{i}}^{2}}}{{(\sum_{i = 1}^{n}x_{i})}^{2} - n\sum_{i = 1}^{n}{x_{i}}^{2}}$$
$$a = \frac{0.043803*\left( - 64.21 \right) - 14*( - 64.1662)}{0.001919 - 14*0.01717} = - 3755.3$$
$$b = \frac{- 64.1662 - \left( 0,043803 \right)*(0.01717)}{0.001919 - 14*(0.01717)} = 7.16$$
Wykres jest opisany zależnością:
$$lnI = - 3755.3*\frac{1}{T} + 7.16$$
Dla T = 288 K to$\ lnI = - 3755.3*\frac{1}{288} + 7.16 = - 5.87924$
Dla T = 353 K to $lnI = - 2265*\frac{1}{353} + 13.068 = - 3.47824$
*Niepewność u(a), u(b) odczytana z programu Excel:
u(a)=32.15672
u(b)=0.100813
*Energia aktywacji:
ε = 2ak
gdzie, $k = 1.38*10^{- 23}\frac{J}{K}$ , 1J = 6.242 * 1018 eV
Zatem:
ε = 2ak = 2 * (−3755.3) * 1.38 * 10−23 * 6.242 * 1018 = −0.65 eV
Wykresy:
*Obliczam niepewność złożoną u(ε) na podstawie odchylenia standardowego u(a)
ε = −065 | a = −3755.3 | u(a) = 32.15672
$$u\left( \varepsilon \right) = \varepsilon*\sqrt{\left( \frac{u\left( a \right)}{a} \right)^{2}} = - 065*\sqrt{\left( \frac{32.15672}{- 3755.3} \right)^{2}} = - 0.00556 = - 0.0056$$
3. Wnioski
Celem tego ćwiczenia było wyznaczenie energii aktywacji przewodnictwa materiałów półprzewodnikowych. Energia aktywacji wynosi −0.65 eV przy czym do wyznaczenia tej energii potrzebna była wartość współczynnika a, który został wyliczony i wynosi: a=(-3755.3) oraz b = 7.16. Ważnym aspektem, który dało się zaobserwować jest fakt, że przewodnictwo w półprzewodnikach zależy w dużej mierze od temperatury. Gdy temperatura wzrasała rosła również wartość prądu, który przepływał:
*dla 288K, wartość prądu wyniosła 2.7 mA
*dla 353K, wartość prądu wyniosła 30 mA