TEMAT : SPRAWDZANIE PRAWA HOOKE ' A : WYZNACZANIE MODUŁU YOUNGA .
Celem ćwiczenia jest sprawdzenie prawa Hooke ' a i wyznaczenie modułu Younga przez pomiar wydłużenia .
Ciało nazywamy sprężystym , jeżeli odkształcenia , wywołane działającymi na nie siłami, znikają zupełnie po usunięciu tych sił . Każde ciało zbudowane jest z atomów lub cząsteczek , między którymi działają siły nazywane siłami międzycząsteczkowymi . W ciałach stałych siły te są na tyle duże , że cząsteczki są uporządkowane i tworzą regularną strukturę przestrzenną ,nazywaną siecią krystaliczną . Każda cząsteczka nazwana węzłem sieciowym ma swoje położenie równowagi , wokół , którego wykonuje niewielkie ,chaotyczne drgania . Powstanie stanu równowagi trwałej , wynika z faktu , że między kolejnymi dwiema cząsteczkami występują dwojakiego rodzaju siły :przyciągania oraz odpychania . Siły odpychania rosną zawsze znacznie bardziej wraz ze zbliżaniem się cząsteczek niż siły przyciągania .
Siła przyciągania opisana jest wzorem :
Siła odpychania opisana jest wzorem : ,
stałe a i b zależą od budowy znajdującej się w wężle sieci cząsteczki oraz rodzaju sił wiązania .
Każda cząsteczka w krysztale ma określoną energię potencjalną oraz kinetyczną .
Rozróżniamy cztery rodzaje wiązań atomów lub cząsteczek w ciałach stałych :
1.Jonowe (heteropolarne lub walencyjne) - które powstaje na skutek przyciągania się na przemian rozmieszczonych różnoimiennych jonów np . w kryształach NaCl , KCl .
2.Atomowe (homepolarne lub kowalencyjne) - które jest wynikiem tego , że pewne sąsiadujące ze sobą atomy zawierają wspólne dwa elektrony np . diament , grafit , krzem, german .
3.Metaliczne , które wynika z tego ,że istnieje grupa elektronów wspólna wszystkim atomom kryształu . Nazywamy je grupą lub "chmurą" elektronów swobodnych .
4.Van der Waalsa (cząsteczkowe) - w kryształach o tym typie wiązania w węzłach sieci znajdują się obojętne cząsteczki .Siły oddziaływania między nimi powstają na skutek oddziaływania ich wewnętrznych pól elektrycznych oraz oddziaływania drgających ładunków elektrycznych .
Siły działające na ciało wywołują ich odkształcenia . Wszelkie odkształcenia można sprowadzić do trzech głównych rodzajów odkształceń :
1.Odkształcenie jednostronne występuje wtedy , gdy siły działają na dwie przeciwległe ścianki ciała prostopadle do nich .
2.Odkształcenie wszechstronne występuje wtedy ,gdy na każdy element powierzchni ciała działa siła do niego prostopadła .
3.Ścinanie następuje wtedy , gdy działające siły są styczne do powierzchni ciała .
Naprężeniem nazywamy wektor o wartości równej stosunkowi wartości siły do powierzchni , na którą ona działa , o kierunku i zwrocie zgodnym z kierunkiem siły :
Jednostką naprężenia jest takie naprężenie , jakie wywołuje jednostkowa siła działając na jednostkową powierzchnię .W układzie SI jednostką naprężenia jest paskal (P) :jest to naprężenie jakie wywołuje siła jednego niutona działając na powierzchnię jednego metra kwadratowego .
Prawo Hooke'a formułuje zależność między naprężeniem a odkształceniem :
Jeżęli naprężenia w ciele są dostatecznie małe , to wywołane przez nie odkształcenie względne są do nich wprost proporcjonalne .
.
Współczynniki proporcjonalności 1/E , 1/K , 1/G nazywamy współczynnikami sprężystości , a ich odwrotności modułami :
E - moduł Younga ; K - moduł ściśliwości ; G - moduł sztywności . Są to stałe materiałowe.
Pośród metali największe wartości modułu sztywności ma stal G = 79500 MPa , a najmniejsze aluminium G = 26500 MPa .
2. METODA POMIARU I URZĄDZENIE POMIAROWE :
Zestaw pomiarowy : urządzenie do pomiaru wydłużenia , przymiar liniowy , śruba mikrometryczna , obciążniki 1 kg .
Sprawdzanie prawa Hook ' a w doświadczeniu polega na wykonaniu kilku pomiarów wydłużenia stalowego drutu pod wpływem znanego ociążenia Q = mg i sporządzeniu wykresu . Wzór na obliczenie modułu Younga przedstawia się następująco :
CECHOWANIE PRZYRZĄDÓW :
a / pomiar średnicy druta
1. d = 1,37 mm 6. d = 1,36 mm
2. d = 1,44 mm 7. d = 1,37 mm
3. d = 1,38 mm 8. d = 1,37 mm
4. d = 1,37 mm 9. d = 1,36 mm
5. d = 1,37 mm 10. d = 1,38 mm
Wartość średnia śr d = 1,377
Błąd średni arytmetyczny = 0,023 mm
b / pomiar średnicy wskażników za pomocą śruby mikrometrycznej
1. d = 0,3 mm
2. d = 0,6 mm
3. d = 0,4 mm
4. d = 0,6 mm
5. d = 0,4 mm
Wartość średnia śr d = 0,46 mm
Błąd średni arytmetyczny = 0,13 mm
D d = 0,005 mm
c / pomiar średnicy wskażników za pomocą pomiarów mikroskopowych
1. d = 2,15 mm
2. d = 1,30 mm
3. d = 1,29 mm
4. d = 2,14 mm
5. d = 2,24 mm
Wartość średnia śr d = 1,82 mm
Błąd średni arytmetyczny = 0,48 mm
d / pomiar długości pręta l = 50 cm D l = 1 mm
e / pomiar masy m = 1 kg D m = 0,01 kg
3. POMIARY :
Pierwsza seria
dokładanie ciężarków :
| 0 kg | 1 kg | 2 kg | 3 kg | 4 kg | 5 kg | 6 kg | |
| 164 | 214 | 241 | 263 | 286 | 308 | 333 | dół |
| 590 | 589 | 582 | 570 | 557 | 537 | 527 | góra |
| 50 | 27 | 22 | 23 | 22 | 25 | D d | |
| 1 | 7 | 12 | 27 | 20 | 10 | D g | |
| 1,85 | 0,96 | 0,93 | 0,41 | 0,19 | 0,19 | 0,37 | D l |
wartość średnia D l = 0,7 mm
usuwanie ciężarków :
| 0 kg | 1 kg | 2 kg | 3 kg | 4 kg | 5 kg | 6 kg | |
| 190 | 225 | 251 | 272 | 310 | 328 | 333 | dół |
| 593 | 588 | 580 | 572 | 557 | 535 | 527 | góra |
| 35 | 26 | 21 | 38 | 18 | 5 | D d | |
| 5 | 8 | 8 | 15 | 22 | 8 | D g | |
| 1,29 | 0,78 | 0,48 | 1,11 | 0,11 | 0,63 | 0,29 | D l |
wartość średnia D l = 0,67 mm
Druga seria
dokładanie ciężarków :
| 0 kg | 1 kg | 2 kg | 3 kg | 4 kg | 5 kg | 6 kg | |
| 312 | 341 | 375 | 390 | 412 | 426 | 450 | dół |
| 414 | 410 | 403 | 392 | 379 | 365 | 348 | góra |
| 29 | 34 | 25 | 22 | 14 | 24 | D d | |
| 4 | 7 | 11 | 13 | 14 | 17 | D g | |
| 1,07 | 1,11 | 0,55 | 0,41 | 0,037 | 0,37 | 0,63 | D l |
wartość średnia D l = 0,60 mm
usuwanie ciężarków
| 0 kg | 1 kg | 2 kg | 3 kg | 4 kg | 5 kg | 6 kg | |
| 273 | 314 | 344 | 372 | 400 | 429 | 450 | dół |
| 405 | 398 | 383 | 374 | 363 | 354 | 348 | góra |
| 41 | 30 | 28 | 28 | 29 | 21 | D d | |
| 7 | 15 | 9 | 11 | 9 | 6 | D g | |
| 1,52 | 0,85 | 0,48 | 0,70 | 0,67 | 0,44 | 0,22 | D l |
wartość średnia D l = 0,69 mm
Obliczanie przyrostu drutu :
D l = w ( a - b )
w - wartość działki
a - przesunięcie wskażnika z góry
b - przesunięcie wskażnika z dołu
w = q / q '
q - grubość wskażnika mierzona za pomocą śruby mikrometrycznej
q ' - liczba działek skali
w = 1,83 / 50 = 0,037
Wartość średnia po czterech pomiarach wynosi D l = 0, 66 mm
Standardowe odchylenie wynosi 0,045 mm .
Wartości potrzebne do obliczenia modułu Younga :
m = 1[ kg ]
g = 9,81 [ m / s ^ 2 ]
l = 0,5 [ m ]
p = 3,14
d = 1,377 [ mm ]= 0,00138 [ m ]
D l = 0,66 [ mm ] = 0,00066 [ m ]
Wzór na obliczanie modułu Younga :
E = 4*1*9,81*0,5 / 3,14*0,00066*(0,00138)^2 = 4,969*10^10 N / m^2
E = 4,969*10^10N/m^2
4 Analiza błędów :
Do obliczenia błędów , z jakim można wyznaczyć moduł Younga posłużyliśmy się metodą różniczki :
D (D l ) = w ( D a + D b ) = 2 w
D m / m = 0,01
D l / l = 0,00132
D d / d = 0,0036
D ( D l ) / D l = 0,21
D E / E = 0,22 = 22 %
D E = 0,22 * 4,969 * 10 ^ 10 = 1,093 * 10 ^ 10 N / m ^ 2
Otrzymany w doświadczeniu względny błąd wynosi 22 % .
Jest on dość znaczny , a wpłynęło na to wiele czynników : ostrość obrazu , nezbyt umiejętne wycechowanie przyrządów ...
Wartość D l i D d podaliśmy według wartości działki elementarnej użytych w doświadczeniu przyrządów pomiarowych w całej serii wykonanych pomiarów . W trakcie wykonywania pomiarów należało zwrócić uwagę na jakość ( ostrość ) obrazu w mikroskopie , ponieważ wpływa ona na dokładność otrzymanego wyniku . Na analizę dokładności wyznaczenia wielkości złożonej wpływają błędy poszczególnych wielkości mierzonych w doświadczeniu . Dużą rolę spełnia tutaj niezbyt dokładny odczyt podczas wykonywania pomiaru oraz możliwe niezbyt dokładne wycechowanie przyrządów .
5. WYKRESY :
D l = f ( D P )
1.
2.
3.
4.
5. WNIOSKI Z DOŚWIADCZENIA :
Doświadczenie polegające na wyznaczaniu modułu Younga przez pomiar wydłużenia podało nam wartość tegoż modułu , która nieznacznie różni się od wartości podanej w innych źródłach . Moduł ten zależy od materiału z jakiego wykonane jest dane ciało i w naszym doświadczeniu jest on dosyć dokładny . Moduł Younga zwany jest stałą materiałową , która charakteryzuje dany rodzaj ciała . Pośród metali największe wartości modułów ma stal , a najmniejsze aluminium . Jak widać z wykresu zależność wydłużenia od przyłożonego ciężaru maleje , a potem rośnie . Wyniki oraz pezprowadzony na ich podstawie wykres nie jest dokładny , co może być spowodowane
" zmęczeniem drutu " . Jak widać z pomiarów wydłużenia drutu nie były trwałe - były to odkształcenia sprężyste , ponieważ przy odkładaniu ciężaru drut wracał do punktu wyjścia .