Podstawy konstrukcji maszyn II

Zad:

Zaprojektuj jednostopniowy reduktor dla następujących danych:

Moc przekładni P = 15 kW

Prędkość wału napędzanego n₁ = 300 obr/min

Przełożenie u = 3, 5

$$n_{2} = \frac{n_{1}}{u} = \frac{300}{3,5} \cong 86\ obr/min$$

1. Wstępne określenie naprężeń dopuszczalnych

Przyjmuję materiał stal 42CrMo4 ulepszaną poprzez azotowanie kąpielowe:

Twardość boku zęba 500 HV

σ_{H lim} = 1220 MPa

σ_{F lim} = 430 MPa

σ_HP = 0, 8 • σ_{H lim} = 0, 8 • 1220 = 976 MPa

Przyjmujemy, że przekładnia będzie przenosiła moc od trójfazowego silnika elektrycznego, pracując 20 lat po 12 h/dobę.

Trwałość przekładni:

τ = 20 • 365 • 12 = 87 600 h

Liczba cykli:

n_t = 60 • n₁ • τ = 60 • 300 • 87 600 ≅ 1, 577 • 10⁹ cykli

Odczytane z wykresów wartości Y_NT oraz Z_NT są w przybliżeniu równe 1.

HB > 430 więc Z_W = 1

Przyjmuję, że maszyna robocza pracuje przy niewielkich przeciążeniach:

K_A = K_H = 1, 35

1. Wstępne określenie średnicy podziałowej

Przyjmuje wsp. Szerokości wieńca: κ = 1

$$d_{1\ wst} = 16,2 \bullet 10^{3} \bullet \sqrt[3]{\frac{P \bullet K_{H}}{\kappa \bullet {\sigma_{\text{HP}}}^{2} \bullet n_{1}} \bullet \frac{u + 1}{u}} = 16,2 \bullet 10^{3} \bullet \sqrt[3]{\frac{15 \bullet 1,35}{1 \bullet 976^{2} \bullet 300} \bullet \frac{3,5 + 1}{3,5}} \cong 72,9\ mm$$

1. Odległość osi kół

$$a_{\text{wst}} = \frac{d_{1\ wst}}{2} \bullet \left( 1 + u \right) = \frac{72,9}{2} \bullet \left( 1 + 3,5 \right) \cong 164,025\ mm$$

Na podstawie PN-93/M-88525 przyjmuję a_w = 160 mm

1. Podstawowe parametry przekładni

Średnica podziałowa zębnika:

$$d_{1\ wst2} = \frac{2a_{w}}{1 + u} = \frac{2 \bullet 160}{1 + 3,5} \cong 71,1\ mm$$

Tab.4.1

Na podstawie tabelki Tab.4.1 przyjmuje liczbę zębów zębnika:

z₁ = 18

Moduł nominalny:

$$m = \frac{d_{1\ wst2}}{z_{1}} = \frac{71,1}{18} = 3,95$$

Na podstawie PN-ISO 54:2001 przyjmuję:

m = 4

Liczba zębów koła 2:

z₂ = z₁ • u = 18 • 3, 5 = 63

Nominalna odległość osi:

$$a = \frac{z_{1} + z_{2}}{2} \bullet m = \frac{18 + 63}{2} \bullet 4 = 162\ mm$$

Średnice podziałowe kół zębatych:

d₁ = m • z₁ = 4 • 18 = 72 mm

d₂ = m • z₂ = 4 • 63 = 252 mm

Przyjmuję szerokość wieńca b = 80 mm

1. Ustalenie współczynników przesunięcia zarysu

$$B_{r} = \frac{a_{w} - a}{a} = \frac{160 - 162}{162} = - 0,0123$$

Pozorny wsp. zmiany odległ. osi:

$$B_{p} = B_{r}\sqrt{1 + 7 \bullet B_{r}} = \left( - 0,0123 \right) \bullet \sqrt{1 + 7 \bullet \left( - 0,0123 \right)} \cong - 0,0118$$

$$\sum_{}^{}x = x_{1} + x_{2} = 0,5 \bullet B_{p} \bullet \left( z_{1} + z_{2} \right) = 0,5 \bullet \left( - 0,0118 \right) \bullet \left( 18 + 63 \right) = - 0,4779$$

k = 0, 5 • (B_p−B_r) • (z₁+z₂) = 0, 5 • (−0,0118+0,0123) • (18+63) = 0, 02025

Na podstawie DIN 3992:

x₁ = 0, 05

$$x_{2} = {\sum_{}^{}x - x}_{1} = - 0,4779 - 0,05 = - 0,5279$$

Toczny kąt przyporu:

$$\cos\alpha_{w} = \frac{a}{a_{w}} \bullet cos\alpha = \frac{162}{160} \bullet cos20 \cong 0,9541$$

1. Obliczenie wskaźnika zazębienia przekładni

Wysokości głów zębów:

h_a1 = m • (y+x₁) = 4 • (1+0,05) = 4, 05 mm

h_a2 = m • (y+x₂) = 4 • (1−0,5279) ≅ 1, 89 mm

$$\varepsilon_{\alpha} = \frac{z_{1}}{2 \bullet \pi}\sqrt{\left( 1 + \frac{2 \bullet h_{a1}}{d_{1}} \right)^{2} \bullet \frac{1}{\cos^{2}\alpha} - 1} + \frac{z_{2}}{2 \bullet \pi}\sqrt{\left( 1 + \frac{2 \bullet h_{a2}}{d_{2}} \right)^{2} \bullet \frac{1}{\cos^{2}\alpha} - 1} - \frac{a_{w} \bullet sin\alpha_{w}}{\pi \bullet m \bullet cos\alpha} = \frac{18}{2 \bullet \pi}\sqrt{\left( 1 + \frac{2 \bullet 4,05}{72} \right)^{2} \bullet \frac{1}{\cos^{2}20} - 1} + \frac{63}{2 \bullet \pi}\sqrt{\left( 1 + \frac{2 \bullet 1,89}{252} \right)^{2} \bullet \frac{1}{\cos^{2}20} - 1} - \frac{160 \bullet \sqrt{1 - {0,9541}^{2}}}{\pi \bullet 4 \bullet cos20} \cong 1,85$$

Współczynniki uwzględniające stopień pokrycia:

$$Z_{\varepsilon} = \sqrt{\frac{4 - \varepsilon_{\alpha}}{3}} = \sqrt{\frac{4 - 1,85}{3}} \cong 0,847$$

$$Y_{\varepsilon} = 0,25 + \frac{0,75}{\varepsilon_{\alpha}} = 0,25 + \frac{0,75}{1,85} \cong 0,655$$

1. Obliczenie obciążenia zębów

Momenty obrotowe:

$$M_{1} = \frac{P}{n_{1}} = \frac{60 \bullet 1000}{2\pi} \bullet \frac{15}{300} = 477,5\ \ N \bullet m$$

M₂ = M₁ • u = 477, 5 • 3, 5 = 1671, 25  N • m

Nominalna siła obwodowa:

$$F = \frac{M_{1}}{\frac{d_{1}}{2}} = 2 \bullet 1000 \bullet \frac{477,5}{72} \cong 13\ 265\ N$$

Przybliżona wartość prędkości rezonansowej:

$$n_{E1} = 2,1 \bullet 10^{7} \bullet \frac{\text{cosβ}}{{z_{1}}^{2} \bullet m} \bullet \frac{u + 1}{u} = 2,1 \bullet 10^{7} \bullet \frac{\frac{\left( z_{1} + z_{2} \right) \bullet m}{2 \bullet a_{w}}}{{z_{1}}^{2} \bullet m} \bullet \frac{u + 1}{u} = 2,1 \bullet 10^{7} \bullet \frac{\frac{\left( 18 + 63 \right) \bullet 4}{2 \bullet 160}}{18^{2} \bullet 4} \bullet \frac{3,5 + 1}{3,5} \cong$$

$$\cong 21,1 \bullet 10^{3}\ \frac{\text{obr}}{\min}{\ \ \ \gg \ \ n}_{1} = 300\ \frac{\text{obr}}{\min}$$

Przekładnia pracuje w zakresie podrezonansowym.

Wskaźnik obciążenia jednostkowego:

$$q = \frac{K_{A} \bullet F}{b} = \frac{1,35 \bullet 13\ 265}{80} \cong 223,8\ \frac{N}{\text{mm}}$$

Wskaźnik prędkości przekładni:

$$v = \frac{\pi \bullet d_{1} \bullet n_{1}}{60 \bullet 1000} = \frac{\pi \bullet 72 \bullet 300}{60 \bullet 1000} \cong 1,13\ \frac{m}{s}$$

$$W = \frac{v \bullet z_{1}}{100} \bullet \sqrt{\frac{u^{2}}{u^{2} + 1}} = \frac{1,13 \bullet 18}{100} \bullet \sqrt{\frac{{3,5}^{2}}{{3,5}^{2} + 1}} \cong 0,196\frac{m}{s}$$

Zakładając, że przekładnia będzie wykonana w 6 klasie dokładności współczynnik dynamiczny wynosi:

$$K_{v} = 1 + \left( \frac{14,9}{q} + 0,0193 \right) \bullet W = 1 + \left( \frac{14,9}{223,8\ } + 0,0193 \right) \bullet 0,196 \cong 1,02$$

Na podstawie PN-ISO 6336:2000 przyjmuję:

K_Hα = K_Fα = 1, 0

$$K_{\text{Hβ}} = 1,15 + 0,18 \bullet \left( \frac{b}{d_{1}} \right)^{2} + 0,3 \bullet 10^{- 3} \bullet b = 1,15 + 0,18 \bullet \left( \frac{80}{72} \right)^{2} + 0,3 \bullet 10^{- 3} \bullet 80 \cong 1,40$$

$$N_{F} = \frac{\left( \frac{b}{h} \right)^{2}}{1 + \frac{b}{h} + \left( \frac{b}{h} \right)^{2}} = \frac{\left( \frac{80}{2,25 \bullet 3,5} \right)^{2}}{1 + \frac{80}{2,25 \bullet 3,5} + \left( \frac{80}{2,25 \bullet 3,5} \right)^{2}} \cong 0,95$$

K_Fβ = K_Hβ^N_F = 1, 4^0, 95 ≅ 1, 38

1. Sprawdzenie współczynnika bezpieczeństwa na nacisk stykowy

Z_E = 189, 8

Z_β = 1

$$Z_{H} = = \sqrt{\frac{2}{\sin\alpha_{w} \bullet \cos\alpha_{w}}}\sqrt{\frac{2}{\sqrt{1 - {0,9541}^{2}} \bullet 0,9541}} \cong 2,65$$

Przyjmuję koła frezowane:

Z_L • Z_R • Z_v = 0, 85

HB > 430 więc Z_W = 1

Dla modułu m = 4 Z_X = 1

$$S_{H} = \frac{\sigma_{\text{H\ lim}}}{Z_{H} \bullet Z_{E}{\bullet Z}_{\varepsilon} \bullet Z_{\beta} \bullet \sqrt{\frac{F}{b \bullet d_{1}} \bullet \frac{u + 1}{u}}} \bullet \frac{Z_{\text{NT}}{\bullet Z}_{L} \bullet Z_{R}{\bullet Z}_{v}{\bullet Z}_{W}{\bullet Z}_{X}}{\sqrt{K_{A} \bullet K_{v} \bullet K_{\text{Hβ}}{\bullet K}_{\text{Hα}}}} = \frac{1220}{2,65 \bullet 189,8 \bullet 0,847 \bullet 1 \bullet \sqrt{\frac{13\ 265}{80 \bullet 72} \bullet \frac{3,5 + 1}{3,5}}} \bullet \frac{1 \bullet 0,85 \bullet 1 \bullet 1}{\sqrt{1,35 \bullet 1,02 \bullet 1,40 \bullet 1}} \cong 1,02$$

Dla tej wartości współczynnika S_H prawdopodobieństwo zniszczenia wynosi mniej niż 1%.

1. Sprawdzenie współczynnika bezpieczeństwa na zginanie

Na podstawie wykresu:

Y_FS = 4, 35

Punkt leży w polu q_s > 1, 5 , więc Y_δrelT = 1

Dla zębów prostych:

Y_β = 1

Przyjmuję chropowatość:

R_z = 3, 5 μm

Dla stali azotowanej o przyjętej chropowatości:

Y_RrelT = 1, 022

Współczynnik wielkości dla m = 4 wynosi:

Y_X = 1

Współczynnik uwzględniający spiętrzenie naprężeń: Y_ST = 2

Współczynnik Y_NT  odczytany z wykresu wynosi:

Y_NT = 1

$$S_{F} = \frac{\sigma_{\text{F\ lim}}}{\frac{F}{b \bullet m} \bullet K_{A} \bullet K_{v} \bullet K_{\text{Fβ}}{\bullet K}_{\text{Fα}}} \bullet \frac{Y_{\text{ST}} \bullet Y_{\text{NT}}{\bullet Y}_{\text{δrelT}}{\bullet Y}_{\text{RrelT}}{\bullet Y}_{X}}{Y_{\text{FS}}{\bullet Y}_{\varepsilon}{\bullet Y}_{\beta}} = \frac{430}{\frac{13\ 265}{80 \bullet 4} \bullet 1,35 \bullet 1,02 \bullet 1,38 \bullet 1} \bullet \frac{2 \bullet 1 \bullet 1 \bullet 1,022 \bullet 1}{4,35 \bullet 0,655 \bullet 1} \cong 11,15$$

Wartość współczynnika S_F = 11, 15 gwarantuje wysoką niezawodność.

1. Sprawdzenie zębów na zagrzanie

$$P_{T} \approx \frac{P \bullet \left( 1 + \frac{1}{u} \right)}{7 \bullet z_{1}} = \frac{15 \bullet \left( 1 + \frac{1}{3,5} \right)}{7 \bullet 18} \cong 0,15\ kW$$

Współczynnik pewności na zagrzanie:

$$x_{T} = \frac{z_{1} \bullet m \bullet b}{1000 \bullet P_{T}} = \frac{18 \bullet 4 \bullet 80}{1000 \bullet 0,15} \cong 33,6\ \ > \ 1$$

1. Obliczenie nominalnych wartości sił działających na wały i łożyska

Wał czynny:

F_r = F • tgα_w = 13 265 • tg17, 42 ≅ 4 165 N

$$F_{n} = \frac{F}{\cos\alpha_{w}} = \frac{13\ 265}{0,9541} \cong 13\ 900\ N$$

1. Średnice wałów

Jako materiał na oba wały przyjmuję stal C 45: Z_SO = 183 MPa

Przyjmuję współczynnik bezpieczeństwa: x = 4

$$k_{\text{SO}} = \frac{Z_{\text{SO}}}{x} = \frac{183}{4} \cong 46\ MPa$$

$$\tau_{z} = \frac{1}{W_{O}} \bullet \sqrt{\left( \frac{2}{\sqrt{3}} \bullet M_{g} \right)^{2} + {M_{s}}^{2}} = \frac{M_{z}}{W_{O}} \leq k_{\text{SO}}$$

$$W_{O} = \frac{\pi \bullet d^{3}}{16}$$

$$D_{1} \geq \sqrt[3]{\frac{8 \bullet M_{1}}{\pi \bullet k_{\text{SO}}}} = \sqrt[3]{\frac{8 \bullet 477,5}{\pi \bullet 46 \bullet 10^{6}}} \cong 0,0298\ m = 29,8\ mm$$

$$D_{2} \geq \sqrt[3]{\frac{8 \bullet M_{2}}{\pi \bullet k_{\text{SO}}}} = \sqrt[3]{\frac{8 \bullet 1671,25}{\pi \bullet 46 \bullet 10^{6}}} \cong 0,0453\ m = 45,3\ mm$$

Przyjmuję średnice dla wałów:

D₁ = 30 mm

D₂ = 48 mm

1. Łożyskowanie

Średnice czopów:

D_cz 1 = 1, 2 • D₁ = 1, 2 • 30 = 36 mm

D_cz 2 = 1, 2 • D₂ = 1, 2 • 48 = 57, 6 mm

Przyjmuję:

D_cz 1 = 35 mm

D_cz 2 = 55 mm

W obu przypadkach zakładana trwałość godzinowa wynosi:

L_{h min} = τ = 87 600 h

Pierścień jest nieruchomy względem kierunku obciążenia:

V = 1, 2

Łożyska na wał napędzający:

Dobieram z katalogu SKF łożyska 6407

F_r = 4 165 N

F_n = 13 900 N

X = 0, 7    ;    Y = 0, 3

Zastępcze obciążenie dynamiczne łożyska:

P = X • V • F_n + Y • F_r = 0, 7 • 1, 2 • 13 900 + 0, 3 • 4 165 ≅ 12 925 N   

Trwałość:

$$L_{\text{h\ }} = \left( \frac{C_{n}}{P} \right)^{q} \bullet \frac{10^{6}}{60 \bullet n_{1}} = \left( \frac{155\ 300}{12\ 925} \right)^{3} \bullet \frac{10^{6}}{60 \bullet 300} \cong 94\ 300\ h\ > \ L_{\text{h\ min}} = 87\ 600\ h$$

Łożyska na wał napędzany:

Dobieram z katalogu SKF łożyska 6411

F_r = 4 165 N

F_n = 13 900 N

X = 0, 75    ;    Y = 0, 34

Zastępcze obciążenie dynamiczne łożyska:

P = X • V • F_n + Y • F_r = 0, 75 • 1, 2 • 13 900 + 0, 44 • 4 165 ≅ 16 242 N

Trwałość:

$$L_{\text{h\ }} = \left( \frac{C_{n}}{P} \right)^{q} \bullet \frac{10^{6}}{60 \bullet n_{2}} = \left( \frac{175\ 300}{16\ 242\ } \right)^{3} \bullet \frac{10^{6}}{60 \bullet 87} \cong 102\ 800\ h\ > \ L_{\text{h\ min}} = 87\ 600\ h$$