Temat zadania: Belkę wieloprzęsłową przegubową rozwiązać analitycznie. Wyznaczyć reakcje i sporządzić wykresy sił przekrojowych M, N, T. Metodą kinematyczną wyznaczyć wielkości R, M_α, T­_α.

Sprawdzenie statycznej wyznaczalności i geometrycznej niezmienności układu

1. Warunek ilościowy statycznej wyznaczalności układu.

3t=e

Gdzie:

e – Ilość więzi elementarnych

t – Ilość tarcz

3*3=9

Warunek ilościowy jest spełniony.

1. Warunek jakościowy geometrycznej niezmienności układu.

Dla sprawdzenia geometrycznej niezmienności wszystkich tarcz skorzystano z twierdzenia o dwóch tarczach, tj. gdy dwie tarcze są połączone trzema nierównoległymi, niezbieżnymi więziami elementarnymi, to tworzą jedną sztywną tarczę.

Na podstawie powyższego twierdzenia najpierw rozpatrzono połączenie tarcz 1-0. Spełniają one warunek twierdzenia, więc traktujemy je jako całość. Następnie rozpatrzono połączenie tarczy 2 z układem (1-0). Układ również spełnia warunek twierdzenia. Ostatnie rozpatrzono połączenie tarczy 3 z układem (2-1-0). Połączenie to również spełnia warunek twierdzenia o dwóch tarczach. Zapisując kolejność sprawdzeń:

1. – z tw. o 2 tarczach;

2-(1-0) – z tw. o 2 tarczach;

3-(2-1-0) – z tw. o 2 tarczach.

Wniosek:

Układ jest statycznie wyznaczalny i geometrycznie niezmienny.

Rozwiązanie belki metodą bezpośrednią

Dane:

P₁=8kN

P₂=22kN

M=37kN

q=11kN/m

Siłę P2 oraz reakcję podpory C rozłożono na siły składowe o kierunkach zgodnych z kierunkami głównych osi kierunkowych. Wartości składowych obliczono z wykorzystaniem własności trygonometrycznych kąta.

Tg(45^o) = 1;

Cos(45^o) = Sin(45^o) = $\frac{\sqrt{2}}{2}$;

Stąd otrzymano:

R_Cy=R_Cx=$\frac{R_{C}}{\sqrt{2}}$; P_2y=P_2x=$\frac{P_{2}}{\sqrt{2}}$=15,556kN

Siłę P₁ położoną na wsporniku zredukowano do punktu A. Zgodnie z prawami redukcji otrzymano siłę skupioną równa co do wartości, kierunku i zwrotu sile P₁ oraz moment prawoskrętny o wartości M_P1=64kNm.

Obliczenie reakcji

Do obliczenia reakcji w podporach wykorzystano następujące równania:

∑M₃(prawy) = 0 => R_d=?

∑M₂(prawy) = 0 => R_Cy = R_Cx = $\frac{R_{C}}{\sqrt{2}}$ =?

∑M_A = 0 => R_B=?

∑Y = 0 => V_A=?

∑X = 0 => H_A=?

∑M_3P= 0

4R_D-2P_2y= 0

4R_d= 31,112

R_d= 7,778 kN

∑M_2P= 0

M-2R_cy-6P_2y-8R_d= 0

2R_C= 5,888

R_C= 2,944 kN

∑M_A= 0

M_P1+50q-5R_B+M-12R_C-16P_2y-18R_D= 0

5R_B= 506,780

R_B= 101,356 kN

∑Y= 0

P₁-V_A-R_B+10q-R_C-P_2y-R_D= 0

V_A= 5,922 kN

∑X= 0

-H_A-R_Cx+P_2x= 0

H_A= 12,612 kN

Sprawdzenie:

∑M₄= ?

M_P1-16P₁+16V_A+11R_B-110q+M+4R_Cy+2R_D=

64-128+94,752+1114,916-1210+37+11,776+15,556= 0

Wniosek:

Sprawdzenie wykazało poprawność obliczeń.

Zestawienie wartości reakcji:

H_A= 12,612 kN

V_A= 5,922 kN

R_B= 101,356 kN

R_C= $\sqrt{2}*R_{\text{Cy}} = \ \sqrt{2}*2,944 =$ 4,163 kN

R_D= 7,778 kN

Obliczenie sił przekrojowych

Siły osiowe (N):

1. (A – C)

x ϵ(0;12)

N(A-C)=H_A=12,612 kN

1. (C – 4)

x ϵ(12;16)

N(C-4)=P_2x=15,556 kN

1. (4 – D)

x ϵ(16;18)

N(4-D)=0

Siły tnące (T):

1. (A – B)

x ϵ(0;5)

T(A-B)=V_A-P₁-q*x= -2,078-11x [kN]

T (A) = -2,078 kN T(B_L) = -2,078-55= -57,078 kN

1. (B – 2)

x ϵ(5;10)

T (B-2)=T(B_L)+R_B-q*(x-5)= -57,078+101,356-11(x-5)= 44,278-11(x-5) [kN]

T(B_P)=44,278-11(5-5)= 44,278 kN T(2)=44,278-11(10-5)=44,278-55= -10,722 kN

1. (2 – C)

x ϵ(10;12)

T(2-C)=T(2)=-10,722 kN

1. (C – 4)

x ϵ(12;16)

T (C-4)=R_D-P_2y=7,778-15,556= -7,778 kN

1. (4 – D)

x ϵ(16;18)

T(4-D)=R_D=7,778 kN

Momenty zginające (M):

1. (A – B)

x ϵ(0;5)

M(A-B)=M_P1+V_Ax-P₁x-qx²/2=64+5,922x-8x-11x²/2=64-2,078x-11x²/2 [kNm]

M(A)=64 kNm M(B)=64-10,39-137,5= -83,89 kNm

1. (B – 2)

x ϵ(5;10)

M(B-2)=M(A-B)+R_B(x-5)=64-2,078x-11x²/2+101,356(x-5) [kNm]

M(B)= -83,39kNm M(2)=64-20,78-550+506,78= 0 kNm

1. (D - 4)

x ϵ(0;2)

M(D-4)= -R_Dx= -7,778x [kNm]

M(D)= 0 M(4)= -15,556 kNm

1. (4 – C)

x ϵ(2;6)

M(4-C)= M(D-4)+P_2y(x-2)= -7,778x+15,556(x-2) [kNm]

M(4)= -15,556 kNm M(C_P)= -46,668+62,224= 15,556 kNm

1. (C – 2)

x ϵ(6;8)

M(C-2)= M(4-C)-M+R_C(x-6)= -7,778x+15,556(x-2)-37+2,944(x-6) [kNm]

M(C_L)= -46,668+62,224-37= -21,444 kNm M(2) = -62,224+93,336-37+5,888=0 kNm

Obliczenie momentu maksymalnego

W przęśle (B – 2) siła tnąca zmienia znak pomiędzy punktami charakterystycznymi. Punkt przecięcia wykresu sił tnących z osią zerową wyznacza miejsce powstania maksymalnego momentu zginającego. Położenie punktu przecięcia na osi x można obliczyć przyrównując równanie T(x) do zera.

T(B-2)= 44,278-11(x-5) [kN]

T(B-2)=0 => 44,278-11(x-5)=0

11x=99,278

x=9,02527m

Wykorzystując obliczoną odległość x można obliczyć wartość maksymalną momentu zginającego.

M(B-2)= 64-2,078x-11x²/2+101,356(x-5) [kNm]

M(9,02527)= 64-18,75-448,01+407,99=5,23 kNm

Wykresy sił wewnętrznych

Wyznaczenie R, M_α, T_α za pomocą metody kinematycznej

1. Wyznaczenie R:

L = 0

110*5ϕ₁-R*5ϕ₁+8*8ϕ₁-37*ϕ₂+15,556*2ϕ₃=0

Zgodność przesunięć:

10 ϕ₁=2 ϕ₂ 2 ϕ₂=4 ϕ₃

ϕ₂=5 ϕ₁ ϕ₃=0,5 ϕ₂

ϕ₃=2,5 ϕ₁

5Rϕ₁=550 ϕ₁+64 ϕ₁-185 ϕ1+77,78 ϕ₁

5R ϕ₁=506,78 ϕ₁

R = 101,356 kN

1. Wyznaczenie T_α:

L = 0

55*2,5ϕ₁-T_α*5ϕ₁+55*2,5 ϕ₂+8*8 ϕ₁-37* ϕ₃+15,556* ϕ₄

Zgodność przesunięć:

ϕ₂= ϕ₁ 2ϕ₃=5 ϕ₂ 4 ϕ₄=2 ϕ₃

ϕ₃=2,5 ϕ₂ ϕ₄=0,5 ϕ₃

ϕ₃=2,5 ϕ₁ ϕ₄=1,25 ϕ₁

5T_α ϕ₁=137,5 ϕ₁+137,5 ϕ₁+64 ϕ₁-92,5 ϕ₁+38,89 ϕ₁

5T_α ϕ₁=285,39 ϕ₁

T_α=57,078 kN

1. Wyznaczenie M_α:

L = 0

M_α* ϕ₁+55*2,5 ϕ₁-37* ϕ₂+15,556* 2ϕ₃

Zgodność przesunięć:

2ϕ₂=5 ϕ₁ 4 ϕ₃=2 ϕ₂

ϕ₂=2,5 ϕ₁ ϕ₃=0,5 ϕ₂

ϕ₃=1,25 ϕ₁

M_α ϕ₁=137,5 ϕ₁-92,5 ϕ-₁+38,89 ϕ₁

M_α ϕ₁=83,89 ϕ₁

M_α=83,89 kNm

Politechnika Wrocławska

Wydział Budownictwa Lądowego i Wodnego

Instytut Inżynierii Lądowej

Zakład Dynamiki Budowli

Rok Studiów: 2

Projekt nr 1

Z Podstaw Statyki Budowli

Belka wieloprzęsłowa przegubowa

Opracował: Michał Wolański

Nr Albumu 183328

Grupa PN 13:15

Prowadzący: Doc. Dr Inż. Marek Kopiński

Rok akademicki:

2011/2012

Zestawienie wartości:

P₁=8 kN

P₂=22 kN

P_2x=P_2y=15,556 kN

M=37 kNm

q=11 kN/m

H_A= 12,612 kN

V_A= 5,922 kN

R_B= 101,356 kN

R_C= $\sqrt{2}*R_{\text{Cy}} = \ \sqrt{2}*2,944 =$ 4,163 kN

R_D= 7,778 kN