Rok studiów:	Temat: Zjawisko Halla.	Data wykonania:
Wykonał:		Ocena :

1. Wprowadzenie

W roku 1879 E.H. Hall zaplanował doświadczenie, które pozwala określić znak ładunków

poruszających się w półprzewodniku, a także ich koncentrację i ruchliwość.

Prześledźmy to rozumowanie.

Niech przez półprzewodnik, mający kształt prostokątnej płytki, płynie prąd elektryczny o

Gęstości j (rys. 34.1.). W tym przypadku wektor gęstości prądu pokrywa się z

kierunkiem wektora natężenia pola elektrycznego E przyłożonego do próbki. Jeśli półprzewodnik jest jednorodny, to płaszczyzna ekwipotencjalna, przechodząca przez ac na

rys. 34.1, ustawiona prostopadle do kierunku pola elektrycznego E, jest prostopadła

również do wektora gęstości prądu j). Wobec tego różnica potencjałów między punktami

a i c jest równa zeru. Umieścimy teraz półprzewodnik w jednorodnym polu magnetycznym,

którego linie indukcji są prostopadłe do kierunku przepływu prądu (patrz rys.

34.1).

Jak wiadomo, na ładunek elektryczny Q, poruszający się z prędkością v w polu magnetycznym

o indukcji B, działa siła Lorentza

(34.1)

gdzie B - indukcja magnetyczna.

Kierunek tej siły zależy od znaku nośników ładunku Q oraz iloczynu wektorowego

prędkości v i indukcji B. Jeśli prędkość nośników ładunku ma składową prostopadłą do

indukcji B, to pod działaniem siły Lorentza następuje odchylenie nośników ładunku w

kierunku prostopadłym do v i B. W wyniku tego następuje przestrzenne rozdzielenie

ładunków i pojawia się pole elektryczne E_H (rys. 34.2)

Rys. 34.2. Odchylenie nośników ładunku pod wpływem pola magnetycznego w próbkach

z przewodnictwem dziurawym (a)"i elektronowym (b)

Konsekwencją rozdzielenia ładunku, jest pojawienie się różnicy potencjałów UH

między punktami ac. Efekt ten nazywamy zjawiskiem Halla, a pojawiająca się różnicy

potencjałów UH napięciem Halla.

Pod działaniem siły Lorentza, przy ustalonym przez nas kierunku B i E; dziury w

półprzewodniku akceptorowym (rys. 34.2a) i elektrony w półprzewodniku donorowym

(rys. 34.2b) odchylają się ku górnej ściance próbki, a na dolnej ściance występuje niedostatek

odpowiednich nośników ładunku, co powoduje powstanie przeciwnego co do

znaku ładunku w stosunku do ładunku na gómej ścianie. Ten proces trwa dopóty, dopóki

powstające w wyniku rozdzielenia nośników ładunku poprzeczne pole elektryczne EJ'l

nie wytworzy siły działającej na swobodne nośniki ładunku równoważącej siłę Lorentza.

W stanie równowagi siły te są równe co do wartości liczbowej, dla elektronowego półprzewodnika

spełniają równość:

eE_H = evB (34.2)

Jeżeli szerokość próbki wynosi h, grubość d, to hollowska różnica potencjałów U_H

U_H = E_Hb = -vBb (34.3)

Natężenie prądu sterującego I, gęstość prądu j oraz prędkość nośników v spełniają

zależności

I = jS, S = bd, j = env (34.4)

Wyznaczając v z powyższych równań wyrażenie (34.3) można zapisać:

$$U_{H} = - \frac{1}{\text{en}}*\frac{1}{d}*IB = R*\frac{B}{d}*I$$

Wielkość R w równości (34.5) nazywa się współczynnikiem (stałą Halla) i w przypadku

elektronów równa się

$$R = - \frac{1}{n}$$

Jeśli nośnikami ładunku są dziury o koncentracji p, to jak widać z rys. 34.2a, równanie

(34.5) przyjmie postać

$$U_{H} = - \frac{1}{\text{ep}}*\frac{1}{d}*IB = R*\frac{B}{d}*I$$

a stała materiałowa R

$$R = \frac{1}{\text{ep}}$$

Jak widać z zależności (34.5), pomiar napięcia Halla UH umożliwia, przy znanych

wartościach indukcji B pola magnetycznego, natężenia prądu sterującego I oraz grubości

próbki d, obliczenie stałej Halla R, co z kolei daje możliwość obliczenia koncentracji

nośników ładunku n z zależności (34.6).

4.Obliczenia

Wartość indukcji magnetyczne B wyznaczona z zależności B[T]=0,4 Im

Dla natężenia magnesującego Im=1,2[A]

B[T]=0,48 T

Dla natężenia magnesującego Im=2[A]

B[T]=0,8 T

Wyznaczanie stałej Halla R, oraz koncentracji n nośników prądu:

Stałą Halla wyznaczyć można ze wzoru

$U_{H} = R*\frac{B}{d}*I = > R = \frac{U_{H*d}}{I*B}$ gdzie U_H-napięcie halla

I-natężenie prądu sterującego

d-grubość próbki półprzewodnikowej

B-wartość indukcji magnetycznej przy danej wartości natężenia prądu magnesującego

Koncentracje n nośników można wyznaczyć ze wzoru

n=$\ \frac{1}{e*R}$ gdzie R-stała halla

e-ładunek elementarny elektronu

e=1, 6 * 10⁻¹⁹C

Dla natężenie prądu magnesującego 1,2 A

B=0,48 T

d=8 * 10⁻⁶m

e=1, 6 * 10⁻¹⁹C

1.I=0,58mA UH = 0, 007V R=$\frac{\ 0,007V*8*10^{- 6}m}{{0,58*10}^{- 3}A*0,48T}$=$2,81*10^{- 4}\frac{m^{3}}{C}$ n=$\ \frac{1}{1,6*10^{- 19}C*\ 2,81*10^{- 4}\frac{m^{3}}{C}}$=2,22*$10^{22}\frac{1}{m^{3}}$	3.I=1,50mA UH = 0, 021V R=$\frac{\ 0,021V*8*10^{- 6}m}{{1,50*10}^{- 3}A*0,48T}$=$2,83*10^{- 4}\frac{m^{3}}{C}$ n=$\ \frac{1}{1,6*10^{- 19}C*\ 2,81*10^{- 4}\frac{m^{3}}{C}}$=2,20*$10^{22}\frac{1}{m^{3}}$
2. I=1,00mA UH = 0, 013V R=$2,77*10^{- 4}\frac{m^{3}}{C}$ n= 2,26*$10^{22}\frac{1}{m^{3}}$	4. I=2,00mA UH = 0, 029V R=$2,82*10^{- 4}\frac{m^{3}}{C}$ n= 2,22*$10^{22}\frac{1}{m^{3}}$
5. I=2,50mA UH = 0, 036V R=$2,84*10^{- 4}\frac{m^{3}}{C}$ n= 2,20*$10^{22}\frac{1}{m^{3}}$	7. I=3,50mA UH = 0, 058V R=$2,81*10^{- 4}\frac{m^{3}}{C}$ n= 2,22*$10^{22}\frac{1}{m^{3}}$
6.I=3,00mA UH = 0, 044V R=$2,80*10^{- 4}\frac{m^{3}}{C}$ n= 2,23*$10^{22}\frac{1}{m^{3}}$	8. I=4,00mA UH = 0, 058V R=$2,81*10^{- 4}\frac{m^{3}}{C}$ n= 2,22*$10^{22}\frac{1}{m^{3}}$
9. I=4,50mA UH = 0, 065V R=$2,81*10^{- 4}\frac{m^{3}}{C}$ n= 2,22*$10^{22}\frac{1}{m^{3}}$	10.I=5,00mA UH = 0, 072V R=$2,81*10^{- 4}\frac{m^{3}}{C}$ n= 2,22*$10^{22}\frac{1}{m^{3}}$

$R_{sr} = 2,81*10^{- 4}\frac{m^{3}}{C}$ n_sr =  2,22*$10^{22}\frac{1}{m^{3}}$

Dla natężenie prądu magnesującego 2,0 A

B=0,80 T

d=8 * 10⁻⁶m e=1, 6 * 10⁻¹⁹C

1.I=0,58mA UH = 0, 013V R=$\frac{\ 0,013V*8*10^{- 6}m}{{0,58*10}^{- 3}A*0,48T}$=$2,78*10^{- 4}\frac{m^{3}}{C}$ n=$\ \frac{1}{1,6*10^{- 19}C*\ 2,81*10^{- 4}\frac{m^{3}}{C}}$=2,25*$10^{22}\frac{1}{m^{3}}$	3.I=1,50mA UH = 0, 034V R=$\frac{\ 0,034V*8*10^{- 6}m}{{1,50*10}^{- 3}A*0,48T}$=$2,77*10^{- 4}\frac{m^{3}}{C}$ n=$\ \frac{1}{1,6*10^{- 19}C*\ 2,81*10^{- 4}\frac{m^{3}}{C}}$=2,26*$10^{22}\frac{1}{m^{3}}$
2. I=1,00mA UH = 0, 023V R=$2,77*10^{- 4}\frac{m^{3}}{C}$ n= 2,26*$10^{22}\frac{1}{m^{3}}$	4. I=2,00mA UH = 0, 046V R=$2,76*10^{- 4}\frac{m^{3}}{C}$ n= 2,26*$10^{22}\frac{1}{m^{3}}$
5. I=2,50mA UH = 0, 058V R=$2,77*10^{- 4}\frac{m^{3}}{C}$ n= 2,26*$10^{22}\frac{1}{m^{3}}$	6.I=3,00mA UH = 0, 070V R=$2,77*10^{- 4}\frac{m^{3}}{C}$ n= 2,26*$10^{22}\frac{1}{m^{3}}$
7. I=3,50mA UH = 0, 082V R=$2,76*10^{- 4}\frac{m^{3}}{C}$ n= 2,26*$10^{22}\frac{1}{m^{3}}$	8. I=4,00mA UH = 0, 093V R=$2,76*10^{- 4}\frac{m^{3}}{C}$ n= 2,26*$10^{22}\frac{1}{m^{3}}$
9. I=4,50mA UH = 0, 104V R=$2,75*10^{- 4}\frac{m^{3}}{C}$ n= 2,27*$10^{22}\frac{1}{m^{3}}$	10.I=5,00mA UH = 0, 116V R=$2,75*10^{- 4}\frac{m^{3}}{C}$ n= 2,27*$10^{22}\frac{1}{m^{3}}$

$R_{sr} = 2,75*10^{- 4}\frac{m^{3}}{C}$ n_sr =  2,26*$10^{22}\frac{1}{m^{3}}$

Niepewności

Niepewność Im Klasa:0,5 Zakres 3A Ilość podziałek 75	$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ dx = \frac{\text{klasa}}{100}*zakres$ $$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ex = \frac{\text{klasa}}{ilosc\ podzialek}*zakres$$
	$$\ \ \ \ \ \ \ dIm = \frac{0,5}{100}*3 = 0,015\lbrack A\rbrack$$ $$\ \ eIm = \frac{0,5}{75}*3 = 0,02\lbrack A\rbrack$$

u(I)=0,02 I

u(U_H)=0,05U_H

u(Im)=$\sqrt{\frac{\left( \text{dIm} \right)^{2} + {(\text{eIm})}^{2}}{3}}$=0,0144

Niepewność Is I U_H

u(Is)=0,02*Im(A)

u(U_H)=0, 05 * U_H(V)

I(mA)	u(I)	UH(V)	u(UH)		I(mA)	u(I)	UH(V)	u(UH)
0,60 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00	0,0120 0,0200 0,0300 0,0400 0,0500 0,0600 0,0700 0,0800 0,0900 0,1000	0,0101 0,0166 0,0255 0,0338 0,0426 0,0504 0,0591 0,0675 0,0759 0,0842	0,0005 0,0008 0,0013 0,0017 0,0021 0,0025 0,0030 0,0034 0,0038 0,0042		0,60 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00	0,0120 0,0200 0,0300 0,0400 0,0500 0,0600 0,0700 0,0800 0,0900 0,1000	0,0167 0,0277 0,0415 0,0555 0,0692 0,083 0,0966 0,1105 0,1239 0,1373	0,0008 0,0014 0,0021 0,0028 0,0035 0,0042 0,0048 0,0055 0,0062 0,0069

Obliczanie niepewności złożonych wielkości R

$\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }R = \frac{U_{H*d}}{I*B}$

u(R)=$\sqrt{\left\lbrack \frac{\partial R}{\partial U_{H}}\ \bullet u(U_{H}) \right\rbrack^{2} + \ \left\lbrack \frac{\partial R}{\partial I}\ \bullet u\left( I \right) \right\rbrack^{2} + \ \left\lbrack \frac{\partial R}{\partial B}\ \bullet u\left( B \right) \right\rbrack^{2}}$=$\sqrt{\left\lbrack \frac{d}{I*B}\ \bullet u(U_{H}) \right\rbrack^{2} + \ \left\lbrack \frac{- U_{H*d}*B}{{I*B}^{2}}\ \bullet u\left( I \right) \right\rbrack^{2} + \ \left\lbrack \frac{- U_{H*d}*I}{{I*B}^{2}}\ \bullet u\left( B \right) \right\rbrack^{2}}$=$\sqrt{\left( 9,116*10^{- 10} \right) + \left( 1,951*10^{- 17} \right) + (3,344*10^{- 16})}$=3,019*10⁻⁵

Obliczanie niepewności wielkości n

u(y)=$\frac{\text{dy}}{\text{dx}}*u(x)$

u(n)=$\ \frac{e}{{(e*R)}^{2}}*u(R)$=$\ \frac{1,6*10^{- 19}}{{(1,6*10^{- 19}*2,81*10^{- 4})}^{2}}*3,019*10^{- 5}$=2,39*10²¹

Wnioski:

Porównując charakterystyki prądowo-napięciowe badanych hallotronów możemy zauważyć, że w obu przypadkach są to charakterystyki liniowe. Wynika z tego ,że napięcie Halla U_h [V] jest proporcjonalne do natężenia prądu Halla I[mA] (w raz ze wzrostem prądu obserwujemy wzrost napięcia ).