Przykład:
Obliczymy następujący układ równań:
$$\left\{ \begin{matrix}
4x_{1} - x_{2} - 0,2x_{3} + 2x_{4} = 30 \\
- 1x_{1} + 5x_{2} - 2x_{4} = 0 \\
0,2x_{1} + x_{2} + 10x_{3} - x_{4} = - 10 \\
- 2x_{2} - x_{3} + 4x_{4} = 5 \\
\end{matrix} \right.\ $$
Zapiszmy go teraz w postaci Ax = b:
$$\begin{bmatrix}
4 & - 1 & - 0,2 & 2 \\
- 1 & 5 & 0 & - 2 \\
0,2 & 1 & 10 & - 1 \\
0 & - 2 & - 1 & 4 \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3} \\
x_{4} \\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
30 \\
0 \\
- 10 \\
5 \\
\end{bmatrix}$$
$$\begin{bmatrix}
4 & - 1 & - 0,2 & 2 \\
- 1 & 5 & 0 & - 2 \\
0,2 & 1 & 10 & - 1 \\
0 & - 2 & - 1 & 4 \\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 \\
- 1 & 0 & 0 & 0 \\
0,2 & 1 & 0 & 0 \\
0 & - 2 & - 1 & 0 \\
\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
4 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 5 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 10 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 4 \\
\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
0 & - 1 & - 0,2 & 2 \\
0 & 0 & 0 & - 2 \\
0 & 0 & 0 & - 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}$$
Obliczmy teraz macierz N = D−1:
$$\begin{bmatrix}
4 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 5 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 10 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 4 \\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
0,25 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0,2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0,1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0,25 \\
\end{bmatrix}^{- 1}$$
Metoda Gaussa-Seidela:
Wyznaczamy kolejno D−1b, D−1L, D−1U:
$$\begin{bmatrix}
7,5 \\
0 \\
- 1 \\
1,25 \\
\end{bmatrix}\text{\ \ }\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 \\
- 0,2 & 0 & 0 & 0 \\
0,02 & 0,1 & 0 & 0 \\
0 & - 0,5 & - 0,25 & 0 \\
\end{bmatrix}\text{\ \ }\begin{bmatrix}
0 & - 0,25 & - 0,05 & 0,5 \\
0 & 0 & 0 & - 0,4 \\
0 & 0 & 0 & - 0,1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}$$
Rozpoczynamy od zerowego przybliżenia czyli:
x10 = 0, x20 = 0, x30 = 0, x40 = 0
Obliczmy pierwszą iterację metody, według przytoczonego na początku wzoru:
$$\begin{matrix}
x_{1}^{1} = 7,5 + 0,25x_{2}^{0} + 0,05x_{3}^{0} - 0,5x_{4}^{0} \\
x_{1}^{1} = 7,5 \\
x_{2}^{1} = 0 + 0,2x_{1}^{1} + 0,4x_{4}^{0} \\
x_{2}^{1} = 1,5 \\
x_{3}^{1} = - 1 - 0,2x_{1}^{1} - 0,1x_{2}^{1} + 0,1x_{4}^{0} \\
x_{3}^{1} = - 1,3 \\
x_{4}^{1} = 1,25 + 0,5x_{2}^{1} + 0,05x_{3}^{1} \\
x_{4}^{1} = 1,675 \\
\end{matrix}$$
Kolejna iteracja:
$$\begin{matrix}
x_{1}^{2} = 7,5 + 0,25x_{2}^{1} + 0,05x_{3}^{1} - 0,5x_{4}^{1} \\
x_{1}^{2} = 6,9725 \\
x_{2}^{2} = 0 + 0,2x_{1}^{2} + 0,4x_{4}^{1} \\
x_{2}^{2} = 2,0645 \\
x_{3}^{2} = - 1 - 0,2x_{1}^{2} - 0,1x_{2}^{2} + 0,1x_{4}^{1} \\
x_{3}^{2} = - 1,1784 \\
x_{4}^{2} = 1,25 + 0,5x_{2}^{2} + 0,05x_{3}^{2} \\
x_{4}^{2} = 1,98765 \\
\end{matrix}$$
Metoda Jacobiego
Wyznaczamy kolejno M = −D−1(L+U) = −N(L + U):
$$\begin{bmatrix}
0 & 0,25 & 0,05 & - 0,5 \\
0,2 & 0 & 0 & 0,4 \\
- 0,02 & - 0,1 & 0 & 0,1 \\
0 & 0,5 & 0,25 & 0 \\
\end{bmatrix}$$
x10 = 0, x20 = 0, x30 = 0, x40 = 0
$$\begin{matrix}
x_{1}^{1} = 7,5 + 0,25x_{2}^{0} + 0,05x_{3}^{0} - 0,5x_{4}^{0} \\
x_{1}^{1} = 7,5 \\
x_{2}^{1} = 0 + 0,2x_{1}^{0} + 0,4x_{4}^{0} \\
x_{2}^{1} = 0 \\
x_{3}^{1} = - 1 - 0,02x_{1}^{0} - 0,1x_{2}^{0} + 0,1x_{4}^{0} \\
x_{3}^{1} = - 1 \\
x_{4}^{1} = 1,25 + 0,5x_{2}^{0} + 0,25x_{3}^{0} \\
x_{4}^{1} = 1,25 \\
\end{matrix}$$
Kolejna iteracja:
$$\begin{matrix}
x_{1}^{2} = 7,5 + 0,25x_{2}^{1} + 0,05x_{3}^{1} - 0,5x_{4}^{1} \\
x_{1}^{2} = 6,825 \\
x_{2}^{2} = 0 + 0,2x_{1}^{1} + 0,4x_{4}^{1} \\
x_{2}^{2} = 2 \\
x_{3}^{2} = - 1 - 0,2x_{1}^{1} - 0,1x_{2}^{1} + 0,1x_{4}^{1} \\
x_{3}^{2} = - 1,025 \\
x_{4}^{2} = 1,25 + 0,5x_{2}^{1} + 0,25x_{3}^{1} \\
x_{4}^{2} = 1 \\
\end{matrix}$$
Można teraz obliczyć kolejną iterację. Każda z nich przybliża nas do dokładnego wyniku.