Przyk

Przykład:

Obliczymy następujący układ równań:


$$\left\{ \begin{matrix} 4x_{1} - x_{2} - 0,2x_{3} + 2x_{4} = 30 \\ - 1x_{1} + 5x_{2} - 2x_{4} = 0 \\ 0,2x_{1} + x_{2} + 10x_{3} - x_{4} = - 10 \\ - 2x_{2} - x_{3} + 4x_{4} = 5 \\ \end{matrix} \right.\ $$

Zapiszmy go teraz w postaci Ax = b:


$$\begin{bmatrix} 4 & - 1 & - 0,2 & 2 \\ - 1 & 5 & 0 & - 2 \\ 0,2 & 1 & 10 & - 1 \\ 0 & - 2 & - 1 & 4 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 30 \\ 0 \\ - 10 \\ 5 \\ \end{bmatrix}$$


$$\begin{bmatrix} 4 & - 1 & - 0,2 & 2 \\ - 1 & 5 & 0 & - 2 \\ 0,2 & 1 & 10 & - 1 \\ 0 & - 2 & - 1 & 4 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0,2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & - 1 & 0 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 10 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & - 1 & - 0,2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$$

Obliczmy teraz macierz N = D−1:


$$\begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 10 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0,25 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0,2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0,1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0,25 \\ \end{bmatrix}^{- 1}$$

  1. Metoda Gaussa-Seidela:

Wyznaczamy kolejno D−1b,  D−1L,  D−1U:


$$\begin{bmatrix} 7,5 \\ 0 \\ - 1 \\ 1,25 \\ \end{bmatrix}\text{\ \ }\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ - 0,2 & 0 & 0 & 0 \\ 0,02 & 0,1 & 0 & 0 \\ 0 & - 0,5 & - 0,25 & 0 \\ \end{bmatrix}\text{\ \ }\begin{bmatrix} 0 & - 0,25 & - 0,05 & 0,5 \\ 0 & 0 & 0 & - 0,4 \\ 0 & 0 & 0 & - 0,1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$$

Rozpoczynamy od zerowego przybliżenia czyli:


x10 = 0,  x20 = 0,  x30 = 0,  x40 = 0

Obliczmy pierwszą iterację metody, według przytoczonego na początku wzoru:


$$\begin{matrix} x_{1}^{1} = 7,5 + 0,25x_{2}^{0} + 0,05x_{3}^{0} - 0,5x_{4}^{0} \\ x_{1}^{1} = 7,5 \\ x_{2}^{1} = 0 + 0,2x_{1}^{1} + 0,4x_{4}^{0} \\ x_{2}^{1} = 1,5 \\ x_{3}^{1} = - 1 - 0,2x_{1}^{1} - 0,1x_{2}^{1} + 0,1x_{4}^{0} \\ x_{3}^{1} = - 1,3 \\ x_{4}^{1} = 1,25 + 0,5x_{2}^{1} + 0,05x_{3}^{1} \\ x_{4}^{1} = 1,675 \\ \end{matrix}$$

Kolejna iteracja:


$$\begin{matrix} x_{1}^{2} = 7,5 + 0,25x_{2}^{1} + 0,05x_{3}^{1} - 0,5x_{4}^{1} \\ x_{1}^{2} = 6,9725 \\ x_{2}^{2} = 0 + 0,2x_{1}^{2} + 0,4x_{4}^{1} \\ x_{2}^{2} = 2,0645 \\ x_{3}^{2} = - 1 - 0,2x_{1}^{2} - 0,1x_{2}^{2} + 0,1x_{4}^{1} \\ x_{3}^{2} = - 1,1784 \\ x_{4}^{2} = 1,25 + 0,5x_{2}^{2} + 0,05x_{3}^{2} \\ x_{4}^{2} = 1,98765 \\ \end{matrix}$$

  1. Metoda Jacobiego

Wyznaczamy kolejno M = −D−1(L+U) = −N(L + U):


$$\begin{bmatrix} 0 & 0,25 & 0,05 & - 0,5 \\ 0,2 & 0 & 0 & 0,4 \\ - 0,02 & - 0,1 & 0 & 0,1 \\ 0 & 0,5 & 0,25 & 0 \\ \end{bmatrix}$$


x10 = 0,  x20 = 0,  x30 = 0,  x40 = 0


$$\begin{matrix} x_{1}^{1} = 7,5 + 0,25x_{2}^{0} + 0,05x_{3}^{0} - 0,5x_{4}^{0} \\ x_{1}^{1} = 7,5 \\ x_{2}^{1} = 0 + 0,2x_{1}^{0} + 0,4x_{4}^{0} \\ x_{2}^{1} = 0 \\ x_{3}^{1} = - 1 - 0,02x_{1}^{0} - 0,1x_{2}^{0} + 0,1x_{4}^{0} \\ x_{3}^{1} = - 1 \\ x_{4}^{1} = 1,25 + 0,5x_{2}^{0} + 0,25x_{3}^{0} \\ x_{4}^{1} = 1,25 \\ \end{matrix}$$

Kolejna iteracja:


$$\begin{matrix} x_{1}^{2} = 7,5 + 0,25x_{2}^{1} + 0,05x_{3}^{1} - 0,5x_{4}^{1} \\ x_{1}^{2} = 6,825 \\ x_{2}^{2} = 0 + 0,2x_{1}^{1} + 0,4x_{4}^{1} \\ x_{2}^{2} = 2 \\ x_{3}^{2} = - 1 - 0,2x_{1}^{1} - 0,1x_{2}^{1} + 0,1x_{4}^{1} \\ x_{3}^{2} = - 1,025 \\ x_{4}^{2} = 1,25 + 0,5x_{2}^{1} + 0,25x_{3}^{1} \\ x_{4}^{2} = 1 \\ \end{matrix}$$

Można teraz obliczyć kolejną iterację. Każda z nich przybliża nas do dokładnego wyniku.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
przyk adowa bibliografia II
KOZ (Cw) Cwiczenie 10 Przyk A3 id 249078
kol1 przyk zad
CBS podr przyk pl 2010
Przyk-adowe testy z logiki, Prawo, Logika, logika, PD
Kuratela s-dowa w Polsce w oparciu na przyk-adzie, nauki o rodzinie, Kurator sądowy i rodzinny
przyk³adowe zadania egzaminacyjne zip IIs 2011
notatek pl dr Brzezi ska Rawa, Publiczne prawo konkurencji,Przyk adowy test
Część pisemna - Przykładowy arkusz 01, TECHNIK FARMACEUTYCZNY, TECHNIK FARMACEUTYCZN
konspekt przyk ad
przyk b3ady+rozwi b9za f1+ matematyka JGC5NGH7SJSISQ644HJYMCRL7E4CC5FNS7T6OPI
przyk ins bezp poz
ISO 8859 2''Przyk�ady
Egzamin przyk? pyta
W MF92C1, Przyk˙ad

więcej podobnych podstron