Rok akademicki 2015/16

POLITECHNIKA POZNAŃSKA WYDZIAŁ BUDOWNICTWA I INŻYNIERI ŚRODOWISKA

Budownictwo niestacjonarne II stopnia semestr I

PROJEKT NR 1 Z MECHNIKI KONSTRUKCJI

OBLICZENIE RAMY STATYCZNIE NIEWYZNACZALNEJ METODĄ SIŁ Z UWZGLĘDNIENIEM OSIADANIA PODPÓR ORAZ WPŁYWU TEMPERATURY

Opracował :

Damian Jany

DANE

t_m = +4^oC

I₁ = HEB 200 = 5700 * 10⁻⁸m⁴

I₂ = IPE 300 = 8360 * 10⁻⁸m⁴

E = 205 * 10⁶

Określenie stopnia statycznej niewyznaczalności

SSN = 2

Układ podstawowy

Warunki kinematycznej zgodności przyjętego układu podstawowego z przyjętym układem :

V_a = 0

V_e = 0

Osiadanie

V_a = δ₁ + δ₁₁ * x₁ + δ₁₂ * x₂

V_e = δ₂ + δ₂₁ * x₁ + δ₂₂ * x₂

Wzór na pojedyncze przemieszczenie δ_ji

$\delta_{\text{ji}} = \sum_{}^{}{\int_{}^{}{\frac{M_{i}\ M_{j}}{\text{EI}}dx + \sum_{m}^{}\frac{R_{m}^{(i)}\ R_{m}^{(j)}}{k}}}$

Z twierdzenia Maxuella

δ_ij = δ_ji czyli δ₁₂ = δ₂₁

Stan od obciążenia x₁ = 1, 0

$\sum_{}^{}{M_{E} = 1,0 - R_{A}*6 = 0}$

R_A = 0, 167

$\sum_{}^{}{M_{C}^{L} = 1,0 - 0,167*3 - V_{A}*8 = 0}$

V_A = 0, 062

V_E = 0, 062

R_E = 0, 167

Wykres momentów zginających od x₁

Stan od obciążenia x₂ = 1, 0

$\sum_{}^{}{M_{A} = - 1,0 + R_{E}*6 = 0}$

R_E = 0, 167

R_A = 0, 167

$\sum_{}^{}{M_{C}^{P} = - 1,0 + 0,167*3 + V_{E}*8 = 0}$

V_E = 0, 063

V_A = 0, 063

Wykres momentów zginających od x₂

Wyznaczenie przemieszczeń

$\delta_{11} = \frac{1}{\text{EI}_{1}}*\left( \frac{1}{2}*0,688*4,24*\frac{2}{3}*0,688 + \frac{1}{2}*0,312*4,24*\frac{2}{3}*0,312 \right) + \frac{1}{\text{EI}_{2}}*\left( \frac{5}{6}*\left( 1,0*1,0 + 0,688*0,688 + \left( 1,0*0,688 \right)^{2} \right) + \frac{1}{2}*5*0,312*\frac{2}{3}*0,312 \right) = 0,000289$

$\delta_{22} = \frac{1}{\text{EI}_{1}}*\left( \frac{1}{2}*0,688*4,24*\frac{2}{3}*0,688 + \frac{1}{2}*0,312*4,24*\frac{2}{3}*0,312 \right) + \frac{1}{\text{EI}_{2}}*\left( \frac{5}{6}*\left( 1,0*1,0 + 0,688*0,688 + \left( 1,0*0,688 \right)^{2} \right) + \frac{1}{2}*5*0,312*\frac{2}{3}*0,312 \right) = 0,000289$

$\delta_{12} = \delta_{21} = \frac{1}{\text{EI}_{1}}*\left( - \frac{0,688*4,24}{2}*\frac{2}{3}*0,312 - \frac{0,312*4,24}{2}*\frac{2}{3}*0,688 \right) + \frac{1}{\text{EI}_{2}}*\left( \left( - 0,688*5*\frac{1}{2}*0,312 \right) + \left( \frac{0,312*5}{2}*\frac{1}{3}*0,312 \right) \right) - \left( \frac{0,312*5}{2}*\left( 0,688 + \left( \frac{1}{3}*0,312 \right) \right) \right) = - 0,000124$

Obliczenie przemieszczeń od osiadań

$\sum_{i = 1}^{n}{{\overset{\overline{}}{P}}_{i}\ \delta_{i} + \sum_{j = 1}^{n}{{\overset{\overline{}}{R}}_{j}\ _{j} = 0}}$

δ₁ = −(0,04*0,062−0,167*0,05−0,005*1,0) = 0, 01087

δ₂ = −(0,063*0,04+0,167*0,05) = −0, 01083

Układ równań

0, 01087 + x₁ * 0, 000289 + x₂ * ( − 0, 000124)=0

−0, 01083 + x₁ * ( − 0, 000124)+0, 000289 * x₂ = 0

x₁ = −26, 39

x₂ = 26, 14

$\sum_{}^{}{M_{A} = R_{E}*6 - 26,14 - 26,39 = 0}$

R_E = 8, 755

R_A = 8, 755

$\sum_{}^{}{M_{C}^{P} = - 26,14 + 8,755*3 + V_{E}*8 = 0}$

V_E = 0, 016

V_A = 0, 016

Wykres momentów zginających

Obliczenie przemieszczenia V_Edla nowego układu podstawowego

$\sum_{}^{}{M_{C}^{P} = - R_{E}*3 + 1,0*8 = 0}$

R_E = 2, 67

$\sum_{}^{}{M_{A} = M_{A}*6 - 2,67*6 = 0}$

M_A = 16, 0

Wykres momentów normalnych

$V_{E} = \frac{1}{\text{EI}_{1}}*\left( - \frac{1}{2}*4,24*11*\frac{2}{3}*26,31 - \frac{1}{2}*4,24*5,0*\frac{2}{3}*26,22 \right) + \frac{1}{\text{EI}_{2}}*\left( - \left( 11*5*\left( 26,39 - \left( \frac{1}{2}*0,08 \right) \right) \right) + \left( 5*5*\frac{1}{2}*\left( 26,31 + \left( \frac{2}{3}*0,08 \right) \right) \right) - \frac{5,0*5,0}{2}*\left( 26,14 + \left( \frac{2}{3}*0,08 \right) \right) \right) - \left( - 2,667*0,05 - 0,005*16 \right) = 0,03959 \approx 0,04\text{\ m}$

Wykresy sił normalnych od osiadań

Wykresy sił tnących od osiadań

Wpływ temperatury

	Δt	t śr	to
AB	7,0	22,5	18,5
BC	32	3,0	-1,0
BD	32	6,5	2,5
CE	32	3,0	-1,0
EF	32	3,0	-1,0

I₁ = h = 0, 2 m

I₂ = h = 0, 3 m

$\alpha_{T} = 1,2*10^{- 5}*\frac{1}{C^{o}}$

Przyjęto układ podstawowy jak przy osiadaniu warunki kinematycznej niewyznaczalności układu podstawowego.

V_a = δ₁ + δ₁₁ * x₁ + δ₁₂ * x₂

V_e = δ₂ + δ₂₁ * x₁ + δ₂₂ * x₂

Przemieszczenia od wpływu temperatury

$\sum_{i = 1}^{n}{\int_{}^{}{\overset{\overline{}}{M}\left( \frac{M}{\text{EI}} + \frac{\alpha_{T}*_{T}}{h} \right)ds + \int_{}^{}{\overset{\overline{}}{N}\left( \frac{N}{\text{EA}}\alpha_{T}t_{} \right)ds + \int_{}^{}{\overset{\overline{}}{T}\frac{\mathcal{H}T}{\text{GA}}\text{ds}}}}}$

$\delta_{1T} = 1,2*10^{- 5}*\left( \left( - \frac{7}{0,3}*\frac{1}{2}*\left( 1,0 + 0,688 \right)*5 \right) + \left( \frac{32}{0,2}*\frac{1}{2}*4,24*0,688 - \frac{1}{2}*4,24*0,312*\frac{32}{0,2} \right) \right) + 1,2*10^{- 5}*\left( 5*0,167*18,5 + 0,042*4,24*\left( - 1 \right) - 0,162*4,24*\left( - 1 \right) - 0,167*5*\left( - 1 \right) \right) = - 0,00045$

$\delta_{2T} = 1,2*10^{- 5}*\left( \left( - \frac{7}{0,3}*\frac{1}{2}*5*0,312 - \frac{1}{2}*4,24*0,312*\frac{32}{0,2} \right) + \left( \frac{32}{0,2}*\frac{1}{2}*4,24*0,688 + \frac{1}{2}*5*\left( 1,0 + 0,688 \right)*\frac{32}{0,2} \right) \right) + 1,2*10^{- 5}*\left( 5*\left( - 0,167 \right)*18,5 + 0,074*4,24*\left( - 1 \right) + 0,167*5*\left( - 1 \right) \right) = - 0,00696$

0, 000289 * x₁ + ( − 0, 000124)*x₂ − 0, 00045 = 0

(−0,000124) * x₁ + 0, 000289 * x₂ + 0, 00696 = 0

x₁ = −10, 76

x₂  = −28, 70

$\sum_{}^{}{M_{A} = {- R}_{E}*6 + 28,70 - 10,76 = 0}\ $

R_E = 2, 99

$\sum_{}^{}{M_{C}^{P} = {- V}_{E}*8 - 2,99*3 + 28,7 = 0}$

V_E = 2, 47

Momenty zginające od temperatury

Sprawdzenie przemieszczenia V_e tak jak w przypadku osiadań

$V_{e} = \frac{1}{\text{EI}_{1}}*\left( \frac{1}{2}*4,24*11*\frac{2}{3}*1,59 + \frac{1}{2}*4,24*5*\frac{2}{3}*16,35 \right) + \frac{1}{\text{EI}_{2}}*( - \left( 11*5*\frac{1}{2}*10,76 + \frac{5*5}{2}*\frac{2}{3}*10,76 \right) + \left( 11*5*\frac{1}{2}*1,59 + \frac{5*5}{2}*\frac{1}{3}*1,59 \right) + \frac{5*5}{2}*\left( 16,35 + \left( \frac{1}{3}*12,35 \right) \right) + ( - \frac{1}{2}*\left( 16 + 11 \right)*5*\frac{7}{0,3} + \frac{1}{2}*11*4,24*\frac{32}{0,2} - \frac{1}{2}*5*4,24*\frac{32}{0,2} - \frac{1}{2}*5*5*\frac{32}{0,3} + 2,667*5*18,5 + 1,179*4,24*\left( - 1 \right) - 2,593*4,24*\left( - 1 \right) - 2,667*5*\left( - 1 \right)*1,2*10^{- 5} = - 0,00002608 \approx 0,00003\ m$

Wykres siły normalnej od temperatury

Wykres siły tnącej od temperatury

Zestawienie metodą superpozycji wykresów wpływu osiadań i temperatury

Momenty Normalne

Tnące