1. Cel ćwiczenia

Naszym zadaniem było wyznaczenie charakterystyki współczynnika strat liniowych od liczby Reynoldsa oraz porównanie jej do wartości teoretycznej określonej wzorem teoretycznym.

W celu nakreślenia powyższej charakterystyki dokonywaliśmy pomiaru strumienia przepływu metodą objętościową. Ponadto odczytywaliśmy różnice ciśnień na manometrach. Do obliczenia liczby Reynoldsa potrzebna była wartość kinematycznego współczynnika lepkości. Jej wyznaczenie umożliwiła formuła znajdująca się na stronie internetowej Zakładu Mechaniki Płynów oraz pomiar temperatury wody.

2. Tabela z wynikami pomiarów

L.p.	h1 − 4	h3 − 4	V	τ	T
-	mm	mm	cm^3	s
1.	1250	730	75	80,14	21,8
2.	1154	686	75	82,2	22,2
3.	1063	624	50	57,82	22,9
4.	956	564	50	61,4
5.	883	523	25	32,3	średnia:
6.	737	435	25	38,5	22,3
7.	654	388	25	41,75
8.	572	337	25	46,06
9.	470	283	25	53,53
10.	379	229	25	65,21
11.	322	197	25	77,15
12.	260	157	25	94,37
13.	204	124	25	117,12

Dodatkowo do obliczeń były wykorzystane następujące wielkości:

l1-dł. pierwszej kapilary	l2-dł. drugiej kapilary	d−średnica kapilar
mm	mm	mm
175,9	276,4	1,269

a) Korzystając ze zmierzonych wielkości mogliśmy wyznaczyć strumień objętości przepływający przez kapilary w poszczególnych przypadkach zgodnie z zależnością:

$$q_{v} = \frac{V}{\tau}$$

I tak na przykład dla pierwszego pomiaru:

$$q_{v} = \frac{75}{80,14} = 0,936\ \frac{\text{cm}^{3}}{s}$$

b) Korzystając z definicji strumienia objętości przy znanej średnicy kapilary mogliśmy przystąpić do wyznaczenia średniej prędkości przepływu czynnika w kapilarze zgodnie z zależnością:

$$\upsilon = \frac{4 \bullet q_{v}}{\pi \bullet d^{2}}$$

Ta zależność będzie wykorzystywana przy obliczaniu liczby Reynoldsa dla poszczególnych przepływów.

c) W dalszej kolejności do wyznaczenia liczby Reynoldsa potrzebujemy kinematycznego współczynnika lepkości. Do jego wyznaczenia korzystam z formuły umieszczonej na stronie Zakładu Mechaniki Płynów.

$$\nu = \frac{1}{556406,7 + 19689,27 \bullet T + 123,6096 \bullet T^{2} - 0,3783792 \bullet T^{3}}$$

I tak dla T = 22, 3  otrzymujemy ν = 9, 494 × 10⁻⁷ $\frac{m^{2}}{s}$

d) Posiadając te dane możemy przystąpić do wyznaczenia liczby Reynoldsa zgodnie ze wzorem:

$$Re = \frac{\upsilon \bullet d}{\nu} = \frac{\frac{4 \bullet q_{v}}{\pi \bullet d^{2}} \bullet d}{\nu}$$

Dla pomiaru nr 5 otrzymamy:

$$Re = \frac{\frac{4 \bullet 7,74 \times 10^{- 7}}{\pi \bullet \left( 1,269 \times 10^{- 3} \right)^{2}} \bullet 1,269 \times 10^{- 3}}{9,494 \times 10^{- 7}} = 818$$

e) Korzystając z powyższej formuły możemy obliczyć wartość liczby Reynoldsa dla poszczególnych przepływów. Ta zaś umożliwi nam obliczenie teoretycznej wartości współczynnika oporu liniowego λ, ze wzoru Hagena-Poiseuille’a:

$$\lambda = \frac{64}{\text{Re}}$$

Warto podkreślić, że wzór ten jest prawidłowy dla przepływu laminarnego, tj. gdy Re<2300 w przewodzie o przekroju kołowym.

f) Ponadto wykorzystując zebrane przez nas dane możemy wyznaczyć doświadczalną wartość λ z zależności:

$$\lambda = \frac{d^{5} \bullet \pi^{2}g \bullet \tau^{2} \bullet \left( h_{1 - 4} - 2 \bullet h_{3 - 4} \right)}{8 \bullet V^{2} \bullet \left( l_{1 - 4} - 2 \bullet l_{3 - 4} \right)}$$

Przykładowo dla pomiaru 5:

$$\lambda = \frac{{(1,269 \times 10^{- 3})}^{5} \bullet \pi^{2}9,81 \bullet {32,3}^{2} \bullet \left( 0,883 - 2 \bullet 0,523 \right)}{8 \bullet {(25 \times 10^{- 9})}^{2} \bullet \left( 0,1759 + 0,2764 - 2 \bullet 0,2764 \right)} = 0,108$$

Naniesienie otrzymanych wartości w jednym układzie współrzędnych umożliwia porównanie wartości teoretycznych ze zmierzoną doświadczalnie wartością λ.

Wielkości zostały porównane na wykresie 1. , natomiast zestawienie wyników obliczeń znajduje się w tabeli 1.

Wykonane przez nas pomiary pozwalają także na określenie wysokości strat liniowych, które miały miejsce na przewodzie podczas przepływu czynnika. Dodatkowo możemy określić straty miejscowe, które nastąpiły na wlotach i wylotach z kapilar. A zatem:

g) wysokość strat liniowych zgodnie ze wzorem Darcy’ego- Weisbacha

$$h_{\text{s.l}} = \ \lambda \bullet \frac{l}{d} \bullet \frac{\upsilon^{2}}{2g} = \lambda \bullet \frac{l}{d} \bullet \frac{\left( \frac{4 \bullet q_{v}}{\pi \bullet d^{2}} \right)^{2}}{2g}$$

Przykładowe obliczenie dla pomiaru 5:

$$h_{\text{s.l}} = 0,108 \bullet \frac{0,1759 + 0,2764}{1,269 \times 10^{- 3}} \bullet \frac{\left( \frac{4 \bullet 7,74 \times 10^{- 7}}{\pi \bullet \left( 1,269 \times 10^{- 3} \right)^{2}} \right)^{2}}{2 \bullet 9,81} = 0,734,\ m = 734\ mm$$

Podstawiając wszystkie wielkości w jednostkach układu SI otrzymamy wysokość strat liniowych podaną w metrach.

h) wysokość strat miejscowych

$$h_{\text{s.m}} = \zeta \bullet \frac{\left( \frac{4 \bullet q_{v}}{\pi \bullet d^{2}} \right)^{2}}{2g}$$

Przykładowe obliczenie dla pomiaru 5:

$$h_{\text{s.m}} = 3 \bullet \frac{\left( \frac{4 \bullet 7,74 \times 10^{- 7}}{\pi \bullet \left( 1,269 \times 10^{- 3} \right)^{2}} \right)^{2}}{2 \bullet 9,81} = 0,057,\ m = 57\ mm$$

W naszym przypadku ζ = 3 (mamy dwie straty na wlocie i dwie na wylocie z kapilar).

Tabela 1. Zestawienie obliczonych wielkości

L.p.	qv	Re	λdosw	hs.l	hs.m	Re	λteor
-	$$\frac{\text{cm}^{3}}{s}$$	−	−	mm	mm	−	−
1.	0,94	989	0,095	945	84	1000	0,064
2.	0,91	965	0,104	981	80	950	0,067
3.	0,86	914	0,098	833	72	900	0,071
4.	0,81	861	0,103	774	63	850	0,075
5.	0,77	818	0,108	734	57	800	0,080
6.	0,65	687	0,125	599	40	700	0,091
7.	0,60	633	0,135	549	34	600	0,107
8.	0,54	574	0,137	459	28	500	0,128
9.	0,47	494	0,174	432	21	400	0,160
10.	0,38	405	0,213	356	14	350	0,183
11.	0,32	343	0,271	324	10	300	0,213
12.	0,26	280	0,305	243	7	250	0,256
13.	0,21	226	0,382	198	4	200	0,320

3. Wnioski

Współczynnik strat liniowych wyznaczony doświadczalnie we wszystkich przypadkach jest większy od współczynnika teoretycznego.

Różnice mogą wynikać z nie do końca precyzyjnego wyznaczenia kinematycznego współczynnika lepkości, który jest w znacznym stopniu uzależniony od temperatury, a ta zmieniała się podczas wykonywania pomiarów. Te niedokładności wpłynęły na wartość liczby Reynoldsa a ta zaś na wartość teoretyczną współczynnika oporu liniowego.

Ponadto trudnym zadaniem było utrzymanie stałego strumienia objętości (obserwowane były wahania na rotametrze). Wszystkie te niedokładności nakładające się na siebie powodują wyraźną różnicę miedzy teoretyczną wartością współczynnika strat liniowych a tą mierzoną przez nas w doświadczeniu. Najłatwiej różnicę tą można dostrzec na wykresie 1. dołączonym do sprawozdania.

Drugi wykres prezentuje natomiast wysokość strat liniowych, miejscowych oraz całkowitych strat na poszczególnych odcinkach przewodu. Możemy na nim zaobserwować, że wysokość strat dynamicznie wzrasta wraz ze wzrostem strumienia substancji. Ponadto większe znaczenie mają straty liniowe niż miejscowe.

W doświadczeniu mieliśmy do czynienia z przepływem laminarnym, na co wskazują wartości liczby Reynoldsa z przedziału od 0 do 2300.

Na wykresie 2. możemy dostrzec, że wraz ze zmniejszającym się strumieniem przepływu linie określające wysokość strat całkowitych oraz ta określająca wysokość strat liniowych zbliżają się do siebie. Wynika to z faktu, że na znaczeniu tracą straty miejscowe (przy niewielkim strumieniu ich wielkość jest symboliczna).

Na wykresie 1. krzywa obrazująca teoretyczny współczynnik λ powstała w wyniku podstawienia do wzoru Hagena-Poiseuille’a kolejnych wartości liczby Reynoldsa.

∖n