Weryfikacja modelu ekonometrycznego Cd.

Przedziały ufności parametrów strukturalnych.

Badanie istotności parametrów strukturalnych: Test T studenta.

Badanie istotności autokorelacji składnika losowego.

Y_t   = α₀ +  α₁x_1t + α₂x_2t + u_t

model po oszacowaniu przyjął

Y_t   = 2, 4 +  0, 4x_1t + 1, 2x_2t + u_t

0,22 0,3 0,18

n-k = 8-3 =5 ( 5 stopni swobody , im więcej stopni swobody tym dokładniejsze pomiary)

$\sum_{t = 1}^{8}U_{t}^{2} = 0,8\ $ Su² = $\frac{1}{5}$ • 0,8 = 0,16 Su = 0,4

$D^{2\ }(a) = \ \text{Su}^{2}{(x^{'}x)}^{- 1} = \begin{bmatrix} 0,048 & - 0,032 & - 0,016 \\ - 0,032 & 0,088 & - 0,016 \\ - 0,016 & - 0,016 & 0,032 \\ \end{bmatrix}$

$$D(a_{0})\ = \ \sqrt{0,048} \approx \ 0,22$$

$$D(a_{1})\ = \ \sqrt{0,088} \approx \ 0,3$$

$$D(a_{2})\ = \ \sqrt{0,032} \approx \ 0,18$$

Przedział ufności

{a_i − t_α × D( a_i) <  a_i ;  a_i + t_α × D( a_i)} = γ

My decydujemy się na α = 0,05 ( 5% szans, że wypadnie poza przedziałem)

γ  =  1 − α  =  0, 95 

Więc z tablic odczytujemy

m = n-k = 8-3 = 5 , a t_α = 2,571

{a₀ − t_α × D( a₀) <  a₀ ;  a₀ + t_α × D( a₀)} = γ

{2,4  −2,571 ×0,22<a₀<2,4 + 2,571×0,22} =  0, 95

dla następujących przedziałów

{0, 4   − 2, 571  × 0, 3 < a₁ < 0, 4  +  2, 571 × 0, 3}  =  0, 95

{1,2  −2,571×0,18<a₂<1,2 + 2,571×0,18} =  0, 95

po przeliczeniu

{1, 83438  < a₀ < 2, 96562}=0, 95

{0,3713<a₁<1,1713} = 0, 95

{0, 73722 < a₂ < 1, 66278}=0, 95

Test T - Studenta

n = 8 k = 3 n-k = 8-3 = 5 α = 0,05 t_α = 2,571

x_1t H₀ : a₁= 0 H₀ : a₁≠ 0

liczymy statystykę testu T- studenta

$$t = \frac{a_{1}}{D(a_{1})\ }\ \ = \ \frac{0,4}{0,3}\ = \ 1,33$$

|t| < t_α

Brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej głoszącej, że parametr a₁  =  0 (ocena statystyczna)

Parametr strukturalny a₁ jest nieistotny statystycznie . Zmienna x_1t nieistotnie wpływa na zmienną endogeniczną Y_t co powoduje, ze należy usunąć ją z modelu.

x_2t H₀ : a₂= 0 H₀ : a₂≠ 0

$$t = \frac{a_{2}}{D(a_{2})\ }\ \ = \ \frac{1,2}{0,8}\ = \ 6,67$$

|t| > t_α

Interpretacja statystyczna

Hipotezę zerową głoszącą , że a₂  =  0 odrzucamy na korzyść hipotezy alternatywnej głoszącej , że parametr a₂≠ 0.

Interpretacja ekonometryczna

Parametr strukturalny a₂  jest istotny statystycznie . Zmienna objaśniająca  x_2t istotnie wpływa na zmienną endogeniczną Y_t i należy pozostawić ja w modelu.

Z tego nie wynika Y_t   = 2, 4 +  0, 4x_1t + 1, 2x_2t + u_t, ale dalej trzeba szacować model z dwoma zmiennymi - dla innych danych.

α = 0, 05

|t| = 1, 33 < t_α = 2, 571

α = 0, 3

|t| = 1, 33 > t_α = 2, 571

Y_t   = α₀ + α₂x_2t + u_t ← jeszcze raz weryfikujemy model łącznie z testem T-Studenta

$\overset{\overline{}}{Y} = \ 3,5$

$\sum_{t = 1}^{8}(Y_{\text{t\ \ }} - Y_{t}^{*}$)² = 0,8 $\varphi^{2} = \frac{0,8}{10}$ • 100%  =  8%

$\sum_{t = 1}^{8}(Y_{\text{t\ \ }} - \overset{\overline{}}{Y}$)² = 10 R² = 100%  −  8%  =  92%

Gdybyśmy chcieli dalej prognozować to trzeba policzyć

$\tilde{R}$

liczymy V_s = 11,43%

Przykład

Na podstawie 30 obserwacji oszacowano model ekonometryczny i uzyskano następujące wyniki

Y_t   = −6x_1t + 2 + u_t n= 30 k=2 n – k = 30 – 2 = 28 α = 0,05  t_α = 2,048

(3) (0,5)

H₀ : a₁= 0 H₀ : a₁≠ 0

t = $\frac{- 6}{3}$ = -2

|t| = 2

|t|< t_α

t_α = 2,048

Badanie autokorelacji rzędu I - test Darwina – Watsona

Y_t  = α₀ +  α₁x_1t + α₂x_2t + u_t ( model oszacowany)

na podstawie tego modelu uzyskujemy następujący ciąg reszt

t	Ut	Ut − 1	Ut − Ut − 1	(Ut − Ut − 1)	Ut
1	-2	-	-	-	4
2	3	-2	5	25	9
3	-1	3	-4	16	1
4	2	-1	3	9	4
5	-4	2	-6	36	16
6	2	-4	6	36	4
7	0	2	-2	4	0
8	1	0	1	1	1
9	-1	1	-2	4	1
10	0	-1	1	1	0
11	-4	0	-4	16	16
12	3	-4	7	49	9
13	-2	3	-5	25	4
14	3	-2	5	25	9
15	0	3	-3	9	9
		256	78

n = 15 k = 2 α = 0,05

H₀ : ρ₁= 0

d = $\frac{\sum_{t = 2}^{n}{{(u}_{t}\ u_{t - 1})}}{\sum_{t = 1}^{n}u_{t}^{2}}$

d = $\frac{256}{78}$ = 3,28

r₁ ∈ [ -1 , 1 ] d ∈ [0 , 4 ]

1 0

(+) autokorelacja dodatnia

0 2

(-) autokorelacja ujemna

-1 4

Czyli H₁: ρ₁< 0

Liczymy

d^′ = 4 – d = 4 – 3,28 = 0,72

I odczytujemy wartości krytyczne z tablic

d_L^′ = 0,95 d_u^′ = 1,54

Porównujemy d^′ z d_L^′ i d_u^′

Okazuje się , że d^′ <d_L^′

Interpretacja statystyczna

Hipotezę zerową głoszącą , że ρ₁  =  0 odrzucamy na korzyść hipotezy alternatywnej głoszącej że , ρ₁  <  0

Interpretacja ekonometryczna

Składnik losowy wykazuje istotną ujemną autokorelację. Model ekonometryczny należy poprawić.

Zadanie

Na podstawie 30 obserwacji oszacowano model ekonometryczny i uzyskano następujące wyniki

n = 30 k = 2 α = 0,05

dodatkowo wiadomo , że współczynnik autokorelacji rzędu I wynosi

r₁  =  0, 73

H₀ : r₁= 0 H₁ : r₁> 0

d = 2(1-r₁) = 2(1-0,73) = 0,54

d_L = 1,28 d_u = 1,57

Porównujemy i d < d_L

Co oznacza, ze hipotezę zerową odrzucamy na korzyść hipotezy alternatywnej , co oznacza , że składnik losowy wykazuje istotną dodatnią autokorelację i model należy poprawić.

Zadanie

Model

Y_t   =  a₁x_1t + a₂x_2t +a₃x_3t + a₄x_4t  +  a₀ + u_t

n = 15 k = 2 α = 0,05

t	Ut	Ut − 1	Ut − Ut − 1	(Ut − Ut − 1)	Ut
1	3	-	-	-	9
2	5	3	2	4	25
3	-1	5	-6	36	1
4	-4	-1	-3	9	16
5	-3	-4	1	1	9
6	0	-3	3	9	0
7	1	0	1	1	1
8	2	1	1	1	4
9	-3	2	-5	25	9
10	-4	-3	-1	1	16
11	2	-4	6	36	4
12	2	2	0	0	4
13	3	2	1	1	9
14	-1	3	-4	16	1
15	-2	-1	-1	1	4
	141	112

d = $\frac{141}{112}$ = 1,26 czyli autokorelacja dodatnia (przy autokorelacji dodatniej nie trzeba liczyć d’)

Czyli H₁: ρ₁> 0 d_L = 0,69 d_u = 1,97

Więc d_L < d < d_u

Czyli nie można podjąć decyzji odnośnie autokorelacji składnika losowego ,a w praktyce trzeba skorzystać z innych testów dla wyższych rzędów.