Sprawozdanie z laboratorium z fizyki i biofizyki
Ćwiczenie nr 5
Temat ćwiczenia: Badanie przepływu cieczy – prawo ciągłości strugi, prawo Bernoulliego.
Data wykonania ćwiczenia: 4.05.2009r.
Sekcja nr 7 w składzie:
Anna Michałowska
Joanna Talik
Data oddania sprawozdania: ………………
Ocena: ……
Wstęp teoretyczny:
Płyn – każda substancja, która może płynąć, tj. dowolnie zmieniać swój kształt w zależności od naczynia, w którym się znajduje, oraz może swobodnie się przemieszczać (przepływać), np. przepompowywana przez rury.
Przepływ płynu może być:
Laminarny (stacjonarny) - gdy prędkość poruszającego się płynu w każdym wybranym punkcie nie zmienia się z upływem czasu, zarówno, co do wartości i kierunku oraz niestacjonarny.
Wirowy -gdy wektor prędkości płynu zmienia się w kierunku poprzecznym lub bezwirowy -gdy w dowolnym punkcie strumienia element płynu nie ma prędkości kątowej względem tego punktu.
Nieściśliwy – gęstość płynu jest stała
Nielepki – brak tarcia
Przepływ cieczy określają dwa podstawowe prawa:
Prawo ciągłości strugi
A1v1 = A2v2
A – pole powierzchni przekroju;
v - prędkość
Jeżeli przyjmiemy, że badana substancja, której przepływ badamy jest nieściśliwa wówczas równanie ciągłości strugi przybiera postać: A1v1= A2v2
Prawo Bernoulliego
Równanie Bernoulliego opisuje parametry płynu doskonałego płynącego w rurze (niekoniecznie materialnie istniejącej) o zmiennym przekroju. Wynika ono wprost z faktu zachowania objętości cieczy doskonałej (która jest nieściśliwa) i zasady zachowanie energii mechanicznej:
$$p + \frac{1}{2}\rho v^{2} + \text{gρy} = \text{const}$$
2. Przebieg ćwiczenia.
A. Opis wykonywanych czynności:
Układ pomiarowy składał się z pompy która tłoczy wodę do zbiornika. W dwóch miejscach rury – szerokim i wąskim znajduję się manometr ciśnieniowy.
Na początku wykonałyśmy pomiar średnicy przekroju szerokiego i węższego za pomocą suwmiarki.
Następnie przystąpiłyśmy do pomiaru prędkości przepływu, dla pojemności 5l, 10l i 15l przy różnych stopniach otwarcia zaworu (1/3, ½, 1).
Przed każdym pomiarem mierzyłyśmy różnicę wysokości cieczy w rurce manometrycznej.
Wyniki prezentujemy w poniższej tabeli.
B. Tabele wyników
Otwarcie zaworu | Nr | d1 [m] | A1[m2] | d2 [m] | A2[m2] | h [m] | V [m3] | t [s] | v2a[m/s] | v2b[m/s] |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1/3 | 1 | 0,06 | 0,003 | 0,034 | 0,001 | 0,001 | 0,005 | 264,28 | ||
2 | 0,06 | 0,003 | 0,034 | 0,001 | 0,0005 | 0,010 | 386,41 | |||
3 | 0,06 | 0,003 | 0,034 | 0,001 | 0,0005 | 0,015 | 516,37 | |||
1/2 | 4 | 0,06 | 0,003 | 0,034 | 0,001 | 0,003 | 0,005 | 31,32 | ||
5 | 0,06 | 0,003 | 0,034 | 0,001 | 0,004 | 0,010 | 59,67 | |||
6 | 0,06 | 0,003 | 0,034 | 0,001 | 0,002 | 0,015 | 88,47 | |||
1 | 7 | 0,06 | 0,003 | 0,034 | 0,001 | 0,0017 | 0,005 | 10,8 | ||
8 | 0,06 | 0,003 | 0,034 | 0,001 | 0,0018 | 0,010 | 21,01 | |||
9 | 0,06 | 0,003 | 0,034 | 0,001 | 0,002 | 0,015 | 30,51 | |||
średnia | 0,06 | 0,003 | 0,034 | 0,001 | 0,0018 | 0,010 | 156,54 |
Opis tabeli:
d1 – średnica dużego przekroju
d2 – średnica małego przekroju
A1 – pole powierzchni dużego przekroju
A2 – pole powierzchni małego przekroju
h – wysokość słupa cieczy w manometrze
V – objętość wody w zbiorniku
t – czas napełnienia zbiornika
v2a – prędkość wypływu wody z rury
v2b – prędkość wypływu wody z rury
C. Obliczenia
Obliczamy prędkość wypływu wody z rury na podstawie dwóch metod:
za pomocą wzoru wyprowadzonego z równania ciągłości strugi i Bernoulliego
$$\mathbf{v}_{\mathbf{2}\mathbf{a}}\mathbf{=}\sqrt{\frac{\mathbf{2}\mathbf{\rho}_{\mathbf{m}}\mathbf{hg}\mathbf{A}_{\mathbf{1}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{\rho}_{\mathbf{w}}\mathbf{(}\mathbf{A}_{\mathbf{1}}^{\mathbf{2}}\mathbf{- A}_{\mathbf{2}}^{\mathbf{2}}\mathbf{)}}}$$
Gdzie:
ρm – gęstość cieczy w manometrze (przyjmujemy taką samą jak dla wody)
ρw – gęstość wody
Δh – początkowa różnica cieczy w manometrze
A1,A2 – pola przekrojów
g – przyspieszenie ziemskie
Dla 1/3 otwarcia:
$$v_{2a} = \sqrt{\frac{2 \bullet 1000 \bullet 0,001 \bullet 9,81 \bullet 0,000009}{1000(0,000009 - 0,000001)}}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\left\lbrack \sqrt{\frac{\frac{\text{kg}}{m^{3}} \bullet m \bullet \frac{m}{s^{2}} \bullet m^{4}}{\frac{\text{kg}}{m^{3}} \bullet m^{4}}} \right\rbrack = \left\lbrack \frac{m}{s} \right\rbrack$$
$$\mathbf{v}_{\mathbf{2}\mathbf{a}}\mathbf{=}\mathbf{0,15}\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}}$$
Dla ½ otwarcia:
$$v_{2a} = \sqrt{\frac{2 \bullet 1000 \bullet 0,003 \bullet 9,81 \bullet 0,000009}{1000(0,000009 - 0,000001)}}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\left\lbrack \sqrt{\frac{\frac{\text{kg}}{m^{3}} \bullet m \bullet \frac{m}{s^{2}} \bullet m^{4}}{\frac{\text{kg}}{m^{3}} \bullet m^{4}}} \right\rbrack = \left\lbrack \frac{m}{s} \right\rbrack$$
$$\mathbf{v}_{\mathbf{2}\mathbf{a}}\mathbf{=}\mathbf{0,26}\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}}$$
Dla całego otwarcia:
$$v_{2a} = \sqrt{\frac{2 \bullet 1000 \bullet 0,002 \bullet 9,81 \bullet 0,000009}{1000(0,000009 - 0,000001)}}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\left\lbrack \sqrt{\frac{\frac{\text{kg}}{m^{3}} \bullet m \bullet \frac{m}{s^{2}} \bullet m^{4}}{\frac{\text{kg}}{m^{3}} \bullet m^{4}}} \right\rbrack = \left\lbrack \frac{m}{s} \right\rbrack$$
$$\mathbf{v}_{\mathbf{2}\mathbf{a}}\mathbf{=}\mathbf{0,21}\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}}$$
Za pomocą objętości wypływającej wody w określonym czasie:
$$\mathbf{v}_{\mathbf{2}\mathbf{b}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{4}\mathbf{V}}{\mathbf{\pi}\mathbf{d}_{\mathbf{2}}^{\mathbf{2}}\mathbf{t}}$$
Gdzie:
V – objętość wody
d2 – średnica przekroju
t – czas napełnia zbiornika
Dla 1/3 otwarcia:
Przy objętości 5l:
$$v_{2b} = \frac{4 \bullet 0,005}{\pi{\bullet 0,034}^{2} \bullet 264,28}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\left\lbrack \frac{m^{3}}{m^{2} \bullet s} \right\rbrack = \left\lbrack \frac{m}{s} \right\rbrack$$
$$\mathbf{v}_{\mathbf{2}\mathbf{b}}\mathbf{= 0,021}\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}}$$
Przy objętości 10l:
$$v_{2b} = \frac{4 \bullet 0,01}{\pi{\bullet 0,034}^{2} \bullet 386,41}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\left\lbrack \frac{m^{3}}{m^{2} \bullet s} \right\rbrack = \left\lbrack \frac{m}{s} \right\rbrack$$
$$\mathbf{v}_{\mathbf{2}\mathbf{b}}\mathbf{= 0,}\mathbf{028}\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}}$$
Przy objętości 15l:
$$v_{2b} = \frac{4 \bullet 0,015}{\pi{\bullet 0,034}^{2} \bullet 516,38}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\left\lbrack \frac{m^{3}}{m^{2} \bullet s} \right\rbrack = \left\lbrack \frac{m}{s} \right\rbrack$$
$$\mathbf{v}_{\mathbf{2}\mathbf{b}}\mathbf{= 0,}\mathbf{032}\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}}$$
Dla ½ otwarcia:
Przy objętości 5l:
$$v_{2b} = \frac{4 \bullet 0,005}{\pi{\bullet 0,034}^{2} \bullet 31,32}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\left\lbrack \frac{m^{3}}{m^{2} \bullet s} \right\rbrack = \left\lbrack \frac{m}{s} \right\rbrack$$
$$\mathbf{v}_{\mathbf{2}\mathbf{b}}\mathbf{= 0,}\mathbf{17}\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}}$$
Przy objętości 10l:
$$v_{2b} = \frac{4 \bullet 0,01}{\pi{\bullet 0,034}^{2} \bullet 59,67}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\left\lbrack \frac{m^{3}}{m^{2} \bullet s} \right\rbrack = \left\lbrack \frac{m}{s} \right\rbrack$$
$$\mathbf{v}_{\mathbf{2}\mathbf{b}}\mathbf{= 0,}\mathbf{18}\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}}$$
Przy objętości 15l:
$$v_{2b} = \frac{4 \bullet 0,015}{\pi{\bullet 0,034}^{2} \bullet 88,47}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\left\lbrack \frac{m^{3}}{m^{2} \bullet s} \right\rbrack = \left\lbrack \frac{m}{s} \right\rbrack$$
$$\mathbf{v}_{\mathbf{2}\mathbf{b}}\mathbf{= 0,}\mathbf{19}\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}}$$
Dla całego otwarcia:
Przy objętości 5l:
$$v_{2b} = \frac{4 \bullet 0,005}{\pi{\bullet 0,034}^{2} \bullet 10,8}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\left\lbrack \frac{m^{3}}{m^{2} \bullet s} \right\rbrack = \left\lbrack \frac{m}{s} \right\rbrack$$
$$\mathbf{v}_{\mathbf{2}\mathbf{b}}\mathbf{= 0,}\mathbf{51}\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}}$$
Przy objętości 10l:
$$v_{2b} = \frac{4 \bullet 0,01}{\pi{\bullet 0,034}^{2} \bullet 21,01}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\left\lbrack \frac{m^{3}}{m^{2} \bullet s} \right\rbrack = \left\lbrack \frac{m}{s} \right\rbrack$$
$$\mathbf{v}_{\mathbf{2}\mathbf{b}}\mathbf{= 0,}\mathbf{52}\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}}$$
Przy objętości 15l:
$$v_{2b} = \frac{4 \bullet 0,015}{\pi{\bullet 0,034}^{2} \bullet 31,51}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\left\lbrack \frac{m^{3}}{m^{2} \bullet s} \right\rbrack = \left\lbrack \frac{m}{s} \right\rbrack$$
$$\mathbf{v}_{\mathbf{2}\mathbf{b}}\mathbf{= 0,}\mathbf{52}\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}}$$
Obliczamy średnią z obu prędkości:
$$\overset{\overline{}}{v_{2a}} = \frac{0,15 + 0,26 + 0,21}{3} = \mathbf{0,2}\mathbf{1}\ \left\lbrack \frac{m}{s} \right\rbrack$$
$$\overset{\overline{}}{v_{2b}} = \frac{0,021 + 0,028 + 0,032 + 0,17 + 0,18 + 0,19 + 0,51 + 0,52 + 0,52}{9} = \mathbf{0,2}\mathbf{4}\mathbf{\ }\left\lbrack \frac{m}{s} \right\rbrack$$
D. Analiza błędów
Obliczamy błąd wyliczonej prędkości za pomocą różniczki zupełnej:
$$\mathbf{d}\mathbf{v}_{\mathbf{2}\mathbf{a}}\mathbf{=}\sqrt{\left| \frac{\mathbf{\partial}\mathbf{v}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{\partial h}} \right|^{\mathbf{2}}\mathbf{d}\mathbf{h}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\left| \frac{\mathbf{\partial}\mathbf{v}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{d}\mathbf{A}_{\mathbf{1}}} \right|^{\mathbf{2}}\mathbf{d}\mathbf{A}_{\mathbf{1}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\left| \frac{\mathbf{\partial}\mathbf{v}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{d}\mathbf{A}_{\mathbf{2}}} \right|\mathbf{d}\mathbf{A}_{\mathbf{2}}^{\mathbf{2}}}$$
$$dv_{2a} = \left| \frac{1}{2\sqrt{h}}\sqrt{\frac{2\rho_{m}A_{1}^{2}}{\rho_{m}\left( A_{1}^{2}{- A}_{2}^{2} \right)}} \right|dh + \left| \sqrt{\frac{2\rho_{m}h}{\rho_{w}}} \bullet \frac{- A_{2}^{2}}{\left( A_{1}^{2}{- A}_{2}^{2} \right) \bullet \sqrt{A_{1}^{2}{- A}_{2}^{2}}} \right|dA_{1} + \left| \sqrt{\frac{2\rho_{m}hA_{1}^{2}}{\rho_{w}} \bullet \frac{A_{2}}{\sqrt{\left( A_{1}^{2}{- A}_{2}^{2} \right)^{3}}}} \right|dA_{2}$$
dv2a=0, 023
$$dv_{2b} = \left| \frac{\partial v_{2}}{\partial V} \right|V + \left| \frac{\partial v_{2}}{\partial t} \right|t$$
$$\mathbf{d}\mathbf{v}_{\mathbf{2}\mathbf{b}}\mathbf{=}\left| \frac{\mathbf{4}}{\mathbf{\pi}\mathbf{d}_{\mathbf{2}}^{\mathbf{2}}\mathbf{t}} \right|\mathbf{V +}\left| \frac{\mathbf{- 4 \bullet V}}{\mathbf{\pi}\mathbf{d}_{\mathbf{2}}^{\mathbf{2}}\mathbf{t}^{\mathbf{2}}} \right|\mathbf{t}$$
dv2b=0, 00023
E. Wynik końcowy
$$\mathbf{v}_{\mathbf{2}\mathbf{a}}\mathbf{= 0,21 \pm 0,023\ \ }\left\lbrack \frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}} \right\rbrack$$
$$\mathbf{v}_{\mathbf{2}\mathbf{b}}\mathbf{= 0,24 \pm 0,00023\ \ \ }\left\lbrack \frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}} \right\rbrack$$
F. Obliczenia v1
Z równania ciągłości strugi:
A1v1=A2v2
$$\mathbf{v}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{A}_{\mathbf{2}}\mathbf{v}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{A}_{\mathbf{1}}}$$
$$v_{1a} = \frac{0,001 \bullet 0,21}{0,003} = \mathbf{0,07}\left\lbrack \frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}} \right\rbrack$$
$$v_{1b} = \frac{0,001 \bullet 0,24}{0,003} = \mathbf{0,08}\left\lbrack \frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}} \right\rbrack$$
Z równania Bernoulliego:
ρ(v12−v22)=p
$$\mathbf{v}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\sqrt{\frac{\mathbf{p}}{\mathbf{\rho}}\mathbf{+}\mathbf{v}_{\mathbf{2}}^{\mathbf{2}}}$$
$$v_{1a} = \sqrt{\frac{0,0018}{1000} + {0,21}^{2}} = \mathbf{0,21\ }\left\lbrack \frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}} \right\rbrack$$
$$v_{1b} = \sqrt{\frac{0,0018}{1000} + {0,24}^{2}} = \mathbf{0,24\ }\left\lbrack \frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}} \right\rbrack$$
Wykres zależności v2=f(v1)
Stosunek przekrojów:
$$\frac{\mathbf{A}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{A}_{\mathbf{2}}}\mathbf{= 3}$$
Wnioski
Duże różnice dotyczące wartości średniej prędkości v2 obliczone z dwóch różnych równań wynikały z niedokładnego pomiaru wykonanego z pracowni laboratoryjnej. Niedokładności te były spowodowane m.in. występowaniem powietrza w rurze, którego nie można było usunąć, niedokładnych pomiarów stoperem, błędami w pomiarze różnicy ciśnień (zbyt małe różnice i niedokładna linijka),błędami w odczycie objętości wody w zbiorniku, ciśnienie wody wodociągowe mogło ulegać zmianie. Analiza błędów pokazuje, że druga metoda obliczenia prędkości była dokładniejsza(mały błąd).