13

Akademia Techniczno-Humanistyczna

W Bielsku-Białej

Wydział Nauk o Materiałach i Środowisku

Inżynieria Środowiska

Rok I/ semestr II

Ćwiczenie 13

Wyznaczanie przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego

Grupa 108

  1. Część teoretyczna

1.1 Wahadło fizyczne to ciało sztywne wykonujące wahania wokół poziomej osi zawieszenia przechodzącej przez nie. Okres swobodnych drgań dowolnego wahadła fizycznego wynosi:


$$T = 2\pi\sqrt{\frac{I}{\text{mgd}}}$$

gdzie: I – moment bezwładności wahadła względem osi zawieszenia równoległej do osi O lecz

przechodzącej przez środek ciężkości wahadła,

m – masa wahadła

d – odległość środka ciężkości S wahadła od osi obrotów.

Powyższe równanie jest słuszne dla małych wychyleń wahadła z położenia równowagi ( sinα=α)

Zgodnie z twierdzeniem Steinera moment bezwładności:


I = I0 + md2

gdzie: l – moment bezwładności wahadła względem osi równoległej do osi O lecz przechodzącej

przez środek ciężkości wahadła.

Na podstawie tych równań okres swobodnych drgań można zapisać zgodnie ze wzorem:


$$T = 2\pi\sqrt{\frac{I_{0} + md^{2}}{\text{mgd}}}$$

Moment siły powstaje pod wpływem siły ciężkości. Dla wychylenia α jest równy

M = mga sinα

gdzie

a- odległość środka ciężkości S od osi obrotu O.

Ruchem harmonicznym nazywamy taki ruch okresowy, w którym wartość siły F, powodującej ten ruch, jest wprost proporcjonalna do wychylenia z położenia równowagi, zgodnie z zależnością:

F = - k⋅ x

gdzie x jest wychyleniem w przypadku ruchu wzdłuż osi X układu współrzędnych o środku w punkcie

równowagi, tzn. w punkcie, w którym siła F = 0, k jest współczynnikiem proporcjonalności zależnym od rodzaju siły powodującej drgania. Znak minus uwzględnia fakt, że siła jest zwrócona przeciwnie do

kierunku wychylenia.

Wahadło rewersyjne (odwracalne) - bryła sztywna, która zawieszona kolejno na dwóch osiach równoległych leżących po przeciwnych stronach jej środka ciężkości w nierównych od niego odległościach, ma taki sam okres drgań.

1.2 Pole grawitacyjne to pole wytwarzane przez obiekty posiadające masę. Określa wielkość i kierunek siły grawitacyjnej działającej na znajdujące się w nim inne obiekty posiadające masę.

Natężenie pola grawitacyjnego – wektorowa wielkość fizyczna. Równa jest sile, z jaką dane pole grawitacyjne działa na jednostkową masę. Inaczej mówiąc natężenie pola grawitacyjnego można obliczyć dzieląc siłę grawitacyjną działającą na pewne ciało przez masę tego ciała


$$\gamma = \frac{F}{m}$$

gdzie:

m – masa ciała;

F – siła działająca na ciało.

Potencjał pola grawitacyjnegowielkość skalarna równa stosunkowi energii potencjalnej punktu materialnego umieszczonego w rozpatrywanym punkcie pola do masy tego punktu materialnego.

Jeżeli źródłem pola grawitacyjnego jest ciało o symetrii sferycznej, np. jednorodna kula, jednorodna sfera, wówczas potencjał jest wyrażony wzorem


$$\rho = - G\frac{M}{r}$$

gdzie:

ρ – potencjał pola grawitacyjnego,

stała grawitacji,

– masa ciała będącego źródłem potencjału,

– odległość ciała próbnego od źródła pola.

Natężenie pola grawitacyjnego wytwarzane przez punkt materialny opisuje wzór:

gdzie

r – odległość od punktu materialnego,

M – punktowa masa,

Gstała grawitacyjna.

Wzór ten obowiązuje również, gdy ciało wytwarzające pole grawitacyjne jest jednorodną kulą lub sferą albo ma radialnie symetryczny rozkład gęstości – Ziemia i wszystkie większe ciała niebieskie w przybliżeniu spełniają ten warunek. Wówczas r we wzorze jest odległością od środka kuli. Wzór ten pozostaje prawdziwy na zewnątrz kuli, tzn. dla r > R, gdzie R jest promieniem kuli.

1.3 Przyśpieszeniem ziemskim nazywamy przyśpieszenie swobodnego spadku ciał pod wpływem ich ciężaru. Zgodnie z drugą zasadą dynamiki:


$$g = \frac{Q}{m}$$

Przyśpieszenie ziemskie zmienia się w niewielkim zakresie w różnych punktach powierzchni Ziemi ze względu na zmienność ciężaru. Ciężar jest wypadkową skierowanej do środka Ziemi siły grawitacji oraz odśrodkowej siły bezwładności spowodowanej ruchem obrotowym Ziemi wokół jej osi.

Wartość siły bezwładności oraz jej kierunku względem kierunku siły grawitacji są zależne od szerokości geograficznej

Q = Fg + Fb

Z tego powodu ciężar ciała jest wielkością zmienną zależną od miejsca na Ziemi w którym ciało się znajduje:


$$F_{b} = m\omega^{2}r = m\left( \frac{2\pi}{T} \right)^{\frac{1}{2}}r$$

Gdzie: ω-prętkość kątowa ruchu obrotowego Ziemi,

T- okres obiegu Ziemi wokół jej osi,

r- promień okręgu po którym porusza się ciało.

Na biegunach siła odśrodkowa nie występuje, dlatego ciężar przyjmuje tam największą wartość równą sile grawitacji działającej na ciało. Na równiku siła odśrodkowa ma ten sam kierunek, co siła grawitacji, a jej zwrot jest przeciwny. Ciężar jest najmniejszy. Drugim czynnikiem wpływającym na zmienność ciężaru jest spłaszczenie Ziemi na biegunach. Kształt Ziemi jest zbliżony do kształtu spłaszczonej elipsoidy obrotowej. Jej krótsza półoś przechodząca przez biegun ma długość RB = 6356, 91 km, natomiast półoś równikowa RR = 6378, 79km. Fakt ten zwiększa jeszcze bardziej różnicę pomiędzy ciężarem biegunowym i równikowym.

Pomiary przyśpieszenia ziemskiego na różnych szerokościach geograficznych pozwoliły na sformułowanie następującej zależności:


$$g = (9,832 - 0,052\cos^{2} \propto )\frac{m}{s^{2}}$$

Gdzie α- szerokość geograficzna

Innym czynnikiem wpływającym na miejscowe zróżnicowanie ciężaru jest zmienna gęstość Ziemi. W częściach Ziemi zawierających złoża mineralne, których gęstość różni się od jej średniej gęstości, obserwuje się wyraźne lokalne zmiany wartości przyśpieszenia ziemskiego.

W danym miejscu powierzchni Ziemi przyśpieszenia spadku swobodnego wszystkich ciał jest oczywiście takie samo. Gdyby zaniedbać ruch obrotowy Ziemi i zmienność jej promienia wówczas można przyjąć żę:


$$g = \frac{F_{g}}{m}$$

czyli


$$g = G\frac{M}{\left( r + h \right)^{2}}$$

Gdzie G- stała grawitacji,

R- średni promień Ziemi,

h- wysokość ponad powierzchnią Ziemi,

M- masa Ziemi

Przyśpieszenie ziemskie zależy więc od wysokości ponad powierzchnią Ziemi. Na wysokości 300 km zmniejsza się o ok 1 m/s. Przy małych wysokościach dochodzących do kilku kilometrów nad powierzchnią Ziemi, przyśpieszenie ziemskie można uważać z bardzo dobrą dokładnością za stałe.

2. Opracowanie wyników.

W tabela nr 1 znajdują się wyniki serii m=10 pomiarów czasu t dziesięciu drgań (n=10) bez zmiany położenia masy M, która znajdowała się na środku pręta. Również zawarte są: wartość średnia drgań t, średni błąd kwadratowy St pojedynczego pomiaru skorygowanego przez współczynnik Studenta-Fishera.

t1[s] t2[s] t3[s] t4[s] t5[s] t6[s] t7[s]
18.77 18.87 18.90 18.61 18.82 18.71 18.78
t8[s] t9[s] t10[s] t[s] St[s] tα,m[s] St[s]
18.85 18.85 18.94 18.81 0.095 1.1 0,10

;

Następnie przesunęłyśmy masę M do ostrza swobodnego O2 i wykonałyśmy serię pojedynczych pomiarów czasów t’ dziesięciu drgań przesuwając masę M w kierunku osi wahadła, co 5 cm.

Po wykonaniu wszystkich pomiarów wahadło obrócono, zawieszono na ostrzu O2 i wykonano podobne pomiary tym razem czasów t’’.

Tabela nr 2

Kn [cm] 5 10 15 20 25 30 35 40 45
t' [s] 20.12 19.81 19.27 19.21 19.06 18.89 18.81 18.76 18.88
t'' [s] 20.35 20.01 19.70 19.38 19.08 18.68 18.58 18.11 18.06
Kn [cm] 50 55 60 65 70 75 80 85 90
t' [s] 18.91 19.03 19.21 19.57 19.60 19.64 19.75 20.06 20.26
t'' [s] 17.91 17.51 17.42 17.32 17.61 17.82 18.20 18.70 19.23
Kn [cm] 95
t’ [s] 20.35
t” [s] 20.38

Na podstawie wykresów odczytujemy współrzędne t’0 i t”0 punktów przecięcia się krzywych t’(kn) i t”(kn). Następnie należy obliczyć średni czas dziesięciu drgań i oszacować błąd Δt0 wg wzoru:

gdzie: t0 = |t0t0|/2

Średni czas dziesięciu drgań:


$$t_{0} = \frac{({t'}_{0} + {t''}_{0})}{2}$$


$$t_{0} = \frac{(19,46 + 20,54)}{2} = 20\ \lbrack s\rbrack$$


$${t'}_{0} = \frac{|19,46 - 20,54|}{2} = 0,54\ \lbrack s\rbrack$$


$$t_{0} = \sqrt{{0,10}^{2} + {0,54}^{2}} = \sqrt{0,01 + 0,29} = 0,55\ \lbrack s\rbrack$$

Obliczamy okres drgań wahadła T0 :


$$T_{0} = \frac{t_{0}}{n} = \frac{20}{10} = 2\ \lbrack s\rbrack$$

Obliczamy przyspieszenie ziemskie g i błąd bezwzględny g:


$$g_{\text{obl}} = \frac{4\pi^{2}n^{2}}{t_{0}^{2}}l$$


$$g = g_{\text{obl}}\left( \left| \frac{l}{l} \right| + 2\left| \frac{t_{0}}{t_{0}} \right| \right)$$


$$g_{\text{obl}} = \frac{4{(3,14)}^{2}10^{2}}{20_{}^{2}}1 = \frac{3944}{400} = 9,86\ \left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack$$


$$g = 9,86\left( \left| \frac{0,005}{1} \right| + 2\left| \frac{0,55}{20} \right| \right) = 9,86\left( 0,005 + 0,056 \right) = 0,60\ \left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack$$

Tabela nr 3 :

t’0=19,46 [s] t’’0=20,54 [s] t0=20 [s] t’0=0,54 [s] t0=0,55 [s]
T0=2 [s] l=1 [m] l=0,005 [m] g=9,86 [m/s2] g=0,60 [m/s2]

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
13 ZMIANY WSTECZNE (2)id 14517 ppt
13 zakrzepowo zatorowa
Zatrucia 13
pz wyklad 13
13 ALUid 14602 ppt
pz wyklad 13
ZARZ SRODOWISKIEM wyklad 13
Biotechnologia zamkniete użycie (2012 13)
Prezentacja 13 Dojrzewanie 2
SEM odcinek szyjny kregoslupa gr 13 pdg 1
w 13 III rok VI sem
Wykład 13 UKS
fundusze 7 13
13 ZACHOWANIA ZDROWOTNE gr wtorek 17;00
auksologia 13 02 2010
wyklad 13 Modele ARIMA w prognozowaniu (1)

więcej podobnych podstron