Wykład 1

13.10

Po co są testy statystyczne?

Co to odchylenie?

Co to wariancja?

Jakie błędy możemy zrobić?

1. Odrzucamy hipotezę, która okazała się prawdziwa – błąd I rodzaju

2. Zaakceptowanie hipotezy błędnej – błąd II rodzaju

Testy parametryczne – bada parametry: średnia, odchylenie standardowe, wariancja, procent

Testy nieparametryczne – np. rozkład normalny

TEST DLA WARTOŚCI ŚREDNIEJ

1. MODEL

Założenia:

• populacja ma rozkład normalny

• odchylenie standardowe w całej populacji jest znane

parametry N (m, σ)

mediana – środek

im mniejsza wartość σ tym bardziej wysmukły

N(m, 5) – rozkład normalny o odchyleniu standardowym = 5 w całej populacji

1. Określenie hipotezy

H0: m = m0 H1: m < m0	H0: m = m0 H1: m ≠ m0	H0: m = m0 H1: m > m0

1. Wartość pewnej statystyki

$$u = \frac{x_{sr} - m_{0}}{\sigma}*\sqrt{n}$$

σ- odchylenie standardowe z całej populacji

1. prawdopodobieństwo popełnienia błędu I rzędu – poziom istotności α

α	1-0,5α	1-α

1. Szukamy danych w tablicach rozkładu normalnego w środku i u_α będzie to, co na bokach tablicy podane

u ≤ uα	|u| ≥ uα	u > uα

ZADANIE

W pewnym doświadczeniu medycznym bada się czas snu pacjentów. Zmierzono u 166 wylosowanych niezależnie pacjentów czas snu i otrzymano następujące wyniki w minutach: 435, 533, 393, 458, 525, 481, 324, 437, 348, 503, 383, 395, 416, 553, 500, 488. Przyjmując, że czas snu ma rozkład N(m, 70) sprawdzić na poziomie istotności 0,05 hipotezę, że średni czas snu pacjentów wynosi 7h.

H₀: m = 420

H₁: m ≠ 420

X_śr=488,25

$$u = \frac{448,25 - 420}{70}*\sqrt{16} = 1,61$$

1-0,5α =>1-0,05*0,05 = 0,975 <- tej wartości szukamy w środku tablic i odczytujemy na bokach wartość u_α

u_α=1,96

|u| ≥ u_α

|1,61|≥ 1,96 FAŁSZ

Odp. Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H₀

2. MODEL (oparty na tablicach t-Studenta)

Założenia:

• rozkład jest normalny

• odchylenie standardowe w całej populacji jest nieznane

• próba jest mała (do 30)

1. Określenie hipotezy

H0: m = m0 H1: m < m0	H0: m = m0 H1: m ≠ m0	H0: m = m0 H1: m > m0

1. Wartość pewnej statystyki

$$t = \frac{x_{sr} - m_{0}}{S}*\sqrt{n - 1}$$

S- odchylenie standardowe z próby

$$s = \sqrt{\frac{\sum_{}^{}{(x - x_{sr})}^{2}}{n}}$$

n-1, 2α	n-1, α	n-1, 2α

1. Z tablic t-Studenta odczytujemy z zewnątrz do środka

t ≤ -tα	|t| ≥ tα	t > tα

ZADANIE

Wylosowano niezależnie 10 gospodarstw rolnych i otrzymano dla nich następujące wielkości uzyskanych plonów owsa w kwintalach z ha: 18,1, 17, 17,5 ,17,8 18,3, 16,7, 18, 15,9, 17,6 18,1. Na poziomie istotności 0,1 zweryfikować hipotezę, że średni plon owsa w tej wsi wynosi 18q z ha.

H₀: m = 18

H₁: m ≠ 18

$\overset{\overline{}}{x}$=17,5

xi	xi - xśr	(xi - xśr)^2
18,1	0,6	0,36
17	-0,5	0,25
17,5	0	0
17,8	0,3	0,09
18,3	0,8	0,64
16,7	-0,8	0,64
18	0,5	0,25
15,9	1,6	2,56
17,6	0,1	0,01
18,1	0,6	0,36
	Suma:	5,16

$$s = \sqrt{\frac{5,16}{10}} = 0,72$$

$$t = \frac{17,5 - 18}{0,72}*\sqrt{10 - 1} = - 2,08$$

Odczytanie z tablic:

n-1 = 9

α = 0,1

t_α =1,833

|t| ≥ t_α

|-2,08| ≥ 1,833 PRAWDA

Odp. Hipotezę H₀ odrzucamy na korzyść hipotezy alternatywnej.

2. MODEL

Założenia:

• odchylenie standardowe w całej populacji jest nieznane

• próba jest duża

1. Określenie hipotezy

H0: m = m0 H1: m < m0	H0: m = m0 H1: m ≠ m0	H0: m = m0 H1: m > m0

1. Wartość pewnej statystyki

$$u = \frac{x_{sr} - m_{0}}{s}*\sqrt{n}$$

s- odchylenie standardowe z próby

$$x_{sr} = \frac{\sum_{}^{}{x_{i}n_{i}}}{n}$$

$$s = \sqrt{\frac{\sum_{}^{}{{(x_{i} - x_{sr})}^{2}n_{}}}{n}}$$

1. Tablice rozkładu normalnego

α	1-0,5α	1-α

1. Szukamy danych w tablicach rozkładu normalnego w środku i u_α będzie to, co na bokach tablicy podane

u ≤ uα	|u| ≥ uα	u > uα

TEST DLA PROCENTU

1. Określenie hipotezy

H0: p = p0 H1: p < p0	H0: p = p0 H1: p ≠ p0	H0: p = p0 H1: p > p0

1. Wartość pewnej statystyki

$$u = \frac{\frac{m}{n} - p_{0}}{\sqrt{\frac{p_{0}*(1 - p_{0})}{n}}}$$

m- liczba wyróżnionych

n – liczebność próby

1. Tablice rozkładu normalnego

α	1-0,5α	1-α

1. Szukamy danych w tablicach rozkładu normalnego w środku i u_α będzie to, co na bokach tablicy podane

u ≤ uα	|u| ≥ uα	u > uα

ZADANIE

W zakładzie produkcyjnym chrakteryzującym się wyjątkowo dużym nasileniem hałasu, wylosowano niezależnie 160 pracowników i okazało się, 68 pracowników ma zakłócenia słyszalności dźwięków o częstotliwości ponad 4000 drgań na sekundę. Zweryfikować, na poziomie istotności 0,05 hipotezę, że więcej niż 30% pracowników tego zakładu ma zakłócenia słuchu.

H₀: p = 0,3

H₁: p > 0,3

$$u = \frac{\frac{68}{160} - 0,3}{\sqrt{\frac{0,3*(1 - 0,3)}{160}}} = 3,45$$

1-α => 1 – 0,05 = 0,95 (odczyt ze środka)

u_α = 1,64

u > u_α

3,45 > 1,64 PRAWDA

Odp. Odrzucamy hipotezę H₀ na korzyść hipotezy alternatywnej. Więcej niż 30% pracowników ma problemy ze słuchem

Wykład 2

27.10

Wariancja – miara rozrzutu, chodzi o to, by wariancja była jak najmniejsza

TEST NA ODCHYLENIE STANDARDOWE (TABLICE HI KWADRAT):

H₀ : σ² = σ₀²

H₁ : σ² > σ₀²

$$X^{2} = \frac{\text{ns}^{2}}{\sigma_{0}^{2}} = \frac{1}{\sigma_{0}^{2}}\sum_{}^{}{(x_{i}} - \overset{\overline{}}{x})^{2}$$

Tablice X² dla α, n-1 stopnie swobody.

Obszar krytyczny: X² ≥ X²α

Jeżeli chcemy przejść na rozkład normalny: $\mathbf{u} = \sqrt{2X^{2}} - \sqrt{2k - 1}$ <= gdy n>30

Zadanie1

Dokonano 11 niezależnych pomiarów średnicy i otrzymano następujące wyniki w mm: 50,2; 50,4; 50,6; 50,5; 49,9; 50; 50,3; 50,1; 50; 49,6; 50,6. Na poziomie istotności 0,05 zweryfikować hipotezę, że wariancja uzyskanych średnic jest 0,04.

xi	$$\mathbf{x -}\overset{\overline{}}{\mathbf{x}}$$	$$\mathbf{(x -}\overset{\overline{}}{\mathbf{x}}\mathbf{)}^{\mathbf{2}}$$
50,6	0,4	0,16
49,6	-0,6	0,36
50,2	0	0
50,4	0,2	0,04
50,6	0,4	0,16
50,5	0,3	0,09
49,9	-0,3	0,09
50	-0,2	0,04
50,3	0,1	0,01
50,1	-0,1	0,01
50	-0,2	0,04
		$$\sum_{}^{}1$$

H₀ : σ² = 0, 04

H₁ : σ² > 0, 04

$$\overset{\overline{}}{x} = \frac{552,2}{11} = 50,2$$

$$X^{2} = \frac{1}{0,04} \times 1 = 25$$

α=0,05

n-1=10

X_α² = 18, 307

X² ≥ X²α

25 ≥ 18, 307

PRAWDA, Hipotezę H₀ należy odrzucić, wariancja jest większa niż 0,04.

TEST NA 2 ŚREDNIE

I model: rozkład jest normalny dla 2 populacji, odchylenie standardowe obu populacji jest znane (znane N).

H₀ : m₁ = m₂ H₀ : m₁ = m₂ H₀ : m₁ = m₂

H₀ : m₁ > m₂ H₀ : m₁ ≠ m₂ H₀ : m₁ < m₂

$$u = \frac{{\overset{\overline{}}{x}}_{1} - {\overset{\overline{}}{x}}_{2}}{\sqrt{\frac{\sigma_{1}^{2}}{n_{1}} + \frac{\sigma_{2}^{2}}{n_{2}}}}$$

II model: próbki małe, nieznane odchylenie standardowe, rozkład normalny

H₀ : m₁ = m₂ H₀ : m₁ = m₂ H₀ : m₁ = m₂

H₀ : m₁ > m₂ H₀ : m₁ ≠ m₂ H₀ : m₁ < m₂

$$t = \frac{{\overset{\overline{}}{x}}_{1} - {\overset{\overline{}}{x}}_{2}}{\sqrt{\frac{n_{1}s_{1}^{2} + n_{2}s_{2}^{2}}{n_{1} + n_{2} - 2}(\frac{1}{n_{1}} + \frac{1}{n_{2}})}}$$

III model: duże próby, odchylenie standardowe nieznane

H₀ : m₁ = m₂ H₀ : m₁ = m₂ H₀ : m₁ = m₂

H₀ : m₁ > m₂ H₀ : m₁ ≠ m₂ H₀ : m₁ < m₂

$$u = \frac{{\overset{\overline{}}{x}}_{1} - {\overset{\overline{}}{x}}_{2}}{\sqrt{\frac{s_{1}^{2}}{n_{1}} + \frac{s_{2}^{2}}{n_{2}}}}$$

Zadanie:

W celu sprawdzenia hipotezy, że średnie płace księgowych zatrudnionych w 2 resortach są różne wylosowano dwie próby o liczebnościach odpowiednio 500 i 400 księgowych. Otrzymano następujące wyniki w złotówkach. Na poziomie istotności α=0,01 zweryfikować hipotezę o jednakowych średnich płacach księgowych zatrudnionych w 2 resortach.

Płace	I resort	II resort	xi	xini1	xini2	$${\mathbf{(x}_{\mathbf{i}}\mathbf{-}{\overset{\overline{}}{x}}_{1})}^{2}n_{i1}$$	$${\mathbf{(x}_{\mathbf{i}}\mathbf{-}{\overset{\overline{}}{x}}_{12})}^{2}n_{i2}$$
1600-2000	10	20	1800	18 000	36 000	21 785 760	16 562 000
2000-2400	20	60	2200	44 000	132 000	23 155 520	15 606 000
2400-2800	50	170	2600	130 000	442 000	22 848 800	2 057 000
2800-3200	100	100	3000	300 000	300 000	7 617 600	8 410 000
3200-3600	200	40	3400	680 000	136 000	3 075 200	19 044 000
3600-4000	100	10	3800	380 000	38 000	27 457 600	11 881 000
4000-4600	20	-	4300	86 000	-	20 971 520
	$$\sum_{}^{}500$$	$$\sum_{}^{}400$$		$$\sum_{}^{}{1\ 638\ 000}$$	$$\sum_{}^{}{1\ 084\ 000}$$	$$\sum_{}^{}{126\ 912\ 000}$$	$$\sum_{}^{}{73\ 560\ 000}$$

H₀ : m₁ = m₂

H₀ : m₁ ≠ m₂

${\overset{\overline{}}{x}}_{1} = \ \frac{\sum_{}^{}{xn_{i1}}}{n_{i}} = \ $3276

${\overset{\overline{}}{x}}_{2} = \ \frac{\sum_{}^{}{xn_{i2}}}{n_{i}}$ = 2710

$$s_{1} = \frac{\sum_{}^{}{{\mathbf{(x}_{\mathbf{i}}\mathbf{-}{\overset{\overline{}}{x}}_{1})}^{2}n_{i1}}}{n_{1}} = 253\ 824$$

$$s_{2} = \frac{\sum_{}^{}{{\mathbf{(x}_{\mathbf{i}}\mathbf{-}{\overset{\overline{}}{x}}_{2})}^{2}n_{i2}}}{n_{2}} = 183\ 900$$

$$u = \frac{3276 - 2710}{\sqrt{\frac{253824}{500} + \frac{183904}{400}}} = 18,20$$

1-1/2 α = 1- ½ x 0,01=0,995

$$1 - \frac{1}{2}\alpha = 1 - \frac{1}{2} \times 0,01 = 0,995$$

u_α=2,57

|u|>u_α

18,2>2,57

Prawda, hipotezę H₀ należy odrzucić, nie można powiedzieć, że księgowi w obu resortach średnio zarabiają tyle samo.

TEST NA DWA WSKAŹNIKI STRUKTURY (PROCENT)

Oparty na rozkładzie normalnym

H₀ : p₁ = p₂ H₀ : p₁ = p₂ H₀ : p₁ = p₂

H₀ : p₁ > p₂ H₀ : p₁ ≠ p₂ H₀ : p₁ < p₂

$$\overset{\overline{}}{p} = \frac{m_{1} + m_{2}}{n_{1} + n_{2}}$$

$$n = \frac{n_{1}n_{2}}{n_{1} + n_{2}}$$

$$u = \frac{\frac{m_{1}}{n_{1}} - \frac{m_{2}}{n_{2}}}{\sqrt{\frac{\overset{\overline{}}{p}(1 - \overset{\overline{}}{p})}{n}}}$$

n – całość próby

m – liczba elementów sprzyjających

Zadanie

Z dwóch wydziałów pewnego dużego zakładu produkcyjnego wylosowano dwie próby w celu zbadania jak hałas wpływa na ubytki słuchu pracowników. Z wydziału o małym natężeniu hałasu wylosowano 100 pracownic i po zbadaniu okazało się że 8 pracowników ma poważne ubytki słuchu. Natomiast na 120 wylosowanych pracowników wydziału o dużym natężeniu hałasu 20 pracowników ma poważne ubytki słuchu. Na poziomie istotności 0,05 zweryfikować hipotezę że hałas na wydziale zwiększa ubytki słuchu.

1 – z większym hałasem

2 – z mniejszym hałasem

n₁ = 120

m₁ = 20

n₂ = 100

m₂ = 8

$$\overset{\overline{}}{p} = \frac{20 + 8}{120 + 100} = 0,127$$

$$n = \frac{120 \times 100}{120 + 100} = 54,55$$

$$u = \frac{\frac{20}{120} - \frac{8}{100}}{\sqrt{\frac{0,127\left( 1 - 0,127 \right)}{54,55}}} = 1,92$$

1- α = 0,95

U_α = 1,64

u>u_α

1,92> 1,64

Prawda, hipotezę H₀ należy odrzucić, przy większym hałasie

Wykład 3

24.11