Politechnika Łódzka Łódź, dn. 8.06.09r.
Wydział Budownictwa, Architektury
i Inżynierii Środowiska
Katedra Konstrukcji Stalowych
KONSTRUKCJE STALOWE
PROJEKT NR 1
NOŚNOŚĆ DWUGAŁĘZIOWEGO SŁUPA Z PRZEWIĄZKAMI ŚCISKANEGO OSIOWO
Wykonała:
Beata Dymczyk
Nr indeksu 142804
Dane:
długość słupa L = 6,6 m
obliczeniowa siła podłużna NEd = 720 kN
schemat statyczny
długości wyboczeniowe Lcr,y = 1,0 ∙ 6,60 m = 6,60 m
Lcr,z = 1,0 ∙ 6,60 m = 6,60 m
gatunek stali S235
granica plastyczności fy = 235 N/mm2
moduł sprężystości E = 210000 N/mm2
współczynniki częściowe γM0 = 1,0
γM1 = 1,0
przekrój 2xUPE220
wysokość przekroju gałęzi h =
szerokość stopki b =
grubość stopki tf =
grubość środnika tw =
promień zaokrąglenia r =
pole powierzchni Ach = 36,7 cm2
momenty bezwładności Iy,ch = 2770 cm4
Iz,ch = 256 cm4
promienie bezwładności iy,ch =
iz,ch =
wskaźnik sprężysty przekroju Wz,el,ch = 43,0 cm3
rozstaw osiowy gałęzi h0 =
Gałęzie słupa połączono przewiązkami z blachy płaskiej o przekroju 120x8 mm. Przyjęto 4 przewiązki pośrednie rozstawione w równych odstępach, co
a = L / 5 = 6,6m/5=1,32 m
Klasa przekroju
współczynnik $\varepsilon = \sqrt{235/f_{y}} = \ \sqrt{235/235} = 1,00$
stosunek szerokości do grubości
środnika $\frac{h - \ {2t}_{f} - 2r}{t_{w}} = \ \frac{140\ \ 2\ \bullet \ 9,5 - 2\ \bullet 10}{6} = 30,10 < 33\varepsilon = 33 \bullet 1,0 = 33$
stopki $\frac{h - \ t_{w} - 2r}{2t_{f}} = \ \frac{140\ \ 6 - 2\ \bullet 10}{2 \bullet 9,5} = 4,35 < 9\varepsilon = 9 \bullet 1,0 = 9$
wszystkie części przekroju przy równomiernym ściskaniu są klasy 1. Przekrój jest klasy 1.
Nośność obliczeniowa słupa ze względu na wyboczenie względem osi y – y
pole powierzchni przekroju złożonego
A = 2 • Ach = 2 • 33, 4 = 66, 8 [cm2]
moment bezwładności przekroju złożonego, względem osi y –y
Iy = 2 • Iy, ch = 2 • 2770 = 5540 [cm4]
promień bezwładności przekroju złożonego, względem osi y –y
iy = iy, ch = 9, 11 [cm]
siła krytyczna przy sprężystym wyboczeniu giętnym słupa dwugałęziowego względem osi y – y
smukłość względna przy sprężystym wyboczeniu giętym
Słup w przekroju to ceownik walcowany. W tym przypadku współczynnik wyboczenia giętnego względem osi y-y przyjmuje się według krzywej c.
parametr imperfekcji
α = 0, 21
współczynnik wyboczenia giętego
nośność na wyboczenie
warunek nośności słupa przy wyboczeniu względem osi y – y
warunek jest spełniony
Nośność obliczeniowa słupa ze względu na wyboczenie względem osi z – z
moment bezwładności przekroju złożonego, względem osi z –z
promień bezwładności przekroju złożonego, względem osi z –z
smukłość giętna słupa przy wyboczeniu względem osi z –z
wskaźnik efektywności μ = 1,0
zastępczy moment bezwładności słupa złożonego z przewiązkami
moment bezwładności jednej przewiązki w płaszczyźnie układu (blacha 120x8)
liczba płaszczyzn przewiązek n=2
sztywność postaciowa słupa
przyjęto SV = 5362[kN]
wstępna imperfekcja słupa
maksymalny moment przęsłowy słupa bez uwzględnienia efektów drugiego rzędu
siła krytyczna wyboczenia giętnego słupa dwugałęziowego względem osi z –z
maksymalny moment przęsłowy słupa z uwzględnienia efektów drugiego rzędu
obliczeniowa siła w pasie
siła poprzeczna w słupie
siła poprzeczna w pasie
moment zginający pas
pole przekroju czynne przy ścinaniu
nośność przekroju przy ścinaniu
Wpływ siły tnącej na nośność przekroju przy zginaniu może być pominięty, ponieważ siła tnąca nie przekracza 50% nośności plastycznej przekroju przy ścinaniu:
Sprawdzenie warunków nośności pojedynczej gałęzi słupa ściskanej i zginanej względem osi z –z
siła krytyczna przy wyboczeniu giętnym pojedynczej gałęzi słupa względem osi z –z
smukłość względna pojedynczej gałęzi przy wyboczeniu giętnym w przedziale między przewiązkami
Słup w przekroju to ceownik walcowany. W tym przypadku współczynnik wyboczenia giętnego względem osi z-z przyjmuje się według krzywej c.
parametr im perfekcji α = 0,49
współczynnik wyboczenia giętego
Nośność przekroju przy zginaniu
Jeśli przy równomiernym ściskaniu przekrój jest klasy 1 to przy zginaniu względem osi z – z przekrój również jest klasy 1. Wskaźnik plastyczny obliczono przyjmując mnożnik do wskaźnika sprężystego równy 1,5.
wskaźnik plastyczny
nośność przekroju przy zginaniu, względem osi z –z
Wykres momentu zginającego pas na odcinku między przewiązkami zmienia się liniowo
od wartości + Mch,Ed do - Mch,Ed .Stosunek momentów na końcach elementu Ψ = -1. Współczynniki interakcyjne obliczone zostały Metodą 2 (Załącznik B PN-EN 1993-1-1).
Przyjęto Cmz = 0, 4
Przyjmuję jak dla przekrojów dwuteowych:
współczynnik interakcji
przyjęto kzz = 0, 624
warunek nośności elementu ściskanego i zginanego
warunek jest spełniony
Sprawdzenie nośności przewiązki
przewiązka obciążona jest siła tnącą i momentem zginającym o wartościach
$$V_{b,Ed} = \frac{V_{\text{Ed}} \bullet a}{{2 \bullet h}_{0}} = \frac{6,204 \bullet 1,32}{2 \bullet 0,24} = 17,061\ kN$$
$$M_{b,Ed} = \frac{V_{\text{Ed}} \bullet a}{4} = \frac{6,204 \bullet 1,32}{4} = 2,047\ kNm$$
nośność przy ścinaniu
$$V_{pl,Rd} = A_{b} \bullet \frac{f_{y}}{\sqrt{3}} \bullet \frac{1}{\gamma_{M0}} = 0,12 \bullet 0,008 \bullet \frac{235 \bullet 10^{3}}{\sqrt{3}} \bullet \frac{1}{1,0} = 130,25 > V_{b,Ed} = 17,061\ kN$$
Vb, Ed = 17, 061 < 0, 5 • Vpl, Rd, z = 0, 5 • 276, 8 = 138, 4 kN
nośność przy zginaniu
$$M_{c,Rd} = W_{\text{el}}\frac{f_{y}}{\gamma_{M0}} = \frac{{0,12}^{2} \bullet 0,008}{6} \bullet \frac{235 \bullet 10^{3}}{1,0} = 4,512\ kNm > M_{b,Ed} = 2,047\ kNm$$
$$\frac{V_{b,Ed}}{V_{pl,Rd}} = \frac{17,061}{130,25} = 0,131 \leq 1,0$$
$$\frac{M_{b,Ed}}{M_{c,Rd}} = \frac{2,047}{4,512} = 0,454 \leq 1,0$$
Sprawdzenie nośności spoiny łączącej przewiązkę z gałęzią słupa
Przewiązka połączona jest z gałęzią słupa spoiną pachwinową o kładzie przedstawionym poniżej. Przyjęto spoinę o grubości a = . Wymiarowanie spoiny wykonano przy założeniu sprężystego, a następnie plastycznego rozkładu naprężeń.
Przewiązka ma długość , wówczas wymiar d kładu spoin jest równy
d = 0, 5(250−h0+b) = 0, 5(250−240+85) = 47, 5 mm
cechy geometryczne kładu spoin
położenie środka ciężkości
$$z_{c} = \frac{d(a + d)}{2d + b} = \frac{47,5 \bullet (3 + 47,5)}{2 \bullet 47,5 + 120} = 11,16\ mm$$
pole powierzchni spoiny
części pionowej
AV = a • b = 0, 3 • 12 = 3, 6 cm2
części poziomych
AH = a • 2d = 0, 3 • 2 • 4, 75 = 2, 85 cm2
momenty bezwładności względem osi y i z
$$I_{y} \approx \frac{1}{2}\text{da}\left( b + a \right)^{2} + \frac{1}{12}b^{3}a = \frac{1}{2}4,75 \bullet 0,3 \bullet \left( 12 + 0,3 \right)^{2} + \frac{1}{12}12^{3} \bullet 0,3 = 150,99\ \text{cm}^{4}$$
$$I_{z} = b \bullet a{\bullet z}_{c}^{2} + \frac{1}{6} \bullet d^{3} \bullet a + d \bullet a \bullet \left( - z_{c} + \frac{a}{2} + \frac{d}{2} \right)^{2} =$$
$$= 12 \bullet 0,3 \bullet {1,116}^{2} + \frac{1}{6} \bullet {4,75}^{3} \bullet 0,3 + 4,75 \bullet 0,3 \bullet \left( - 1,116 + \frac{0,3}{2} + \frac{4,75}{2} \right)^{2} = 12,67\ \text{cm}^{4}$$
biegunowy moment bezwładności
I0 = Iy + Iz = 150, 99 + 12, 67 = 163, 66 cm4
odległości punktów 1 i 2 od środka ciężkości
$$r_{1} = \sqrt{\left( - z_{c} + \frac{a}{2} + d \right)^{2} + \left( \frac{a}{2} + \frac{b}{2} \right)^{2} =}\sqrt{\left( - 11,16 + \frac{3}{2} + 47,5 \right)^{2} + \left( \frac{3}{2} + \frac{120}{2} \right)^{2} =}72,21\ mm$$
$$r_{2} = \sqrt{\left( - z_{c} \right)^{2} + \left( \frac{b}{2} \right)^{2}} = \sqrt{\left( - 11,16 \right)^{2} + \left( \frac{120}{2} \right)^{2}} = 61,03\ mm\ $$
obciążenie spoiny
V = Vb, Ed = 17, 061 kN
wytrzymałość spoiny (przyjęto jak stali gałęzi S275)
fu = 360 MPa
współczynnik częściowy
γM2 = 1, 25
współczynnik korelacji
βw = 0, 8
Wymiarowanie spoiny w punktach 1 i 2 przy założeniu sprężystego rozkładu naprężeń
naprężenia styczne w punktach 1 i 2 od momentu skręcającego
$$\tau_{M1} = \frac{M_{T} \bullet r_{1}}{I_{0}} = \frac{1,97 \bullet 10^{6} \bullet 72,21}{163,66 \bullet 10^{4}} = 86,83\ MPa$$
$$\tau_{M2} = \frac{M_{T} \bullet r_{2}}{I_{0}} = \frac{1,97 \bullet 10^{6} \bullet 61,03}{163,66 \bullet 10^{4}} = 73,38\ MPa$$
naprężenia styczne w punkcie 2 od siły tnącej
$$\tau_{V2} = \frac{V}{A_{V}} = \frac{17,061 \bullet 10^{3}}{360} = 47,39\ MPa$$
naprężenia normalne i styczne w płaszczyźnie obliczeniowej spoiny, w punkcie 1
$$\sigma_{\bot} = \tau_{\bot} = \frac{\tau_{M1}}{\sqrt{2}} \bullet \frac{- z_{c} + \frac{a}{2} + d}{r_{1}} = \frac{86,83}{\sqrt{2}} \bullet \frac{- 11,16 + \frac{3}{2} + 47,5}{72,21} = 32,18\ MPa$$
$$\tau_{\parallel} = \tau_{M1} \bullet \frac{\frac{a}{2} + \frac{b}{2}}{r_{1}} = 86,83 \bullet \frac{\frac{3}{2} + \frac{120}{2}}{72,21} = 73,95\ MPa$$
warunki nośności spoiny
$$\sqrt{\sigma_{\bot}^{2} + 3\left( \tau_{\bot}^{2} + \tau_{\parallel}^{2} \right)} = \sqrt{{32,18}^{2} + 3\left( {32,18}^{2} + {73,95}^{2} \right)} = 143,338\ MPa\ < \frac{f_{u}}{{\beta_{w} \bullet \gamma}_{M2}} = \frac{360}{0,8 \bullet 1,25} = 360\ MPa$$
$$\sigma_{\bot} = 32,18\ MPa < \frac{0,9f_{u}}{\gamma_{M2}} = \frac{0,9 \bullet 360}{1,25} = 259,2\ MPa$$
naprężenia normalne i styczne w płaszczyźnie obliczeniowej spoiny, w punkcie 2
$$\sigma_{\bot =}\tau_{\bot} = \frac{\tau_{M2}}{\sqrt{2}} \bullet \frac{0,5 \bullet b}{r_{2}} = \frac{73,38}{\sqrt{2}} \bullet \frac{0,5 \bullet 120}{61,03} = 51,014\text{\ MPa}$$
$$\tau_{\parallel} = \tau_{V2} - \tau_{M2} \bullet \frac{z_{c}}{r_{2}} = 47,39 - 73,38 \bullet \frac{11,16}{61,03} = 33,98\ MPa$$
warunek nośności spoiny
$$\sqrt{\sigma_{\bot}^{2} + 3\left( \tau_{\bot}^{2} + \tau_{\parallel}^{2} \right)} = \sqrt{{51,014}^{2} + 3\left( {51,014}^{2} + {33,98}^{2} \right)} = 117,784 < \frac{f_{u}}{{\beta_{w} \bullet \gamma}_{M2}} = \frac{360}{0,8 \bullet 1,25} = 360\ MPa$$
$$\sigma_{\bot} = 51,014\text{\ MPa} < \frac{0,9f_{u}}{\gamma_{M2}} = \frac{0,9 \bullet 360}{1,25} = 259,2\ MPa$$
Warunki są spełnione.