egzamin z fizyki

Mając funkcję siły F(t) daną wzorem: $F(t) = (\operatorname{\ sin}\left( t \right),\ e^{2t},t^{3})$ obliczyć zależność v(t) oraz s(t), znając wartości chwilowe: v(1)=(0,  0, 1) i s(2)=(1, 1, 3) oraz masę m = 5

Dane:


$$F(t) = (\operatorname{\ sin}\left( t \right),\ e^{2t},t^{3})$$


v(1)=(0,  0, 1)


s(2)=(1, 1, 3)


m = 5

Szukane:


v(t) = ?


s(t) = ?

Ważne wzory:


$$F = \frac{\text{dp}}{\text{dt}}$$


p = m • v


$$v = \frac{\text{ds}}{\text{dt}}$$

Obliczenia:

(liczymy całkę dla każdej współrzędnej po kolei)


px = ∫Fxdt = ∫sin(t)dt = −cos(t) + C1


$$p_{y} = \int_{}^{}F_{y}dt = \int_{}^{}{e^{2t}dt = \frac{1}{2}\int_{}^{}{2e^{2t}}dt = \frac{e^{2t}}{2} + C_{2}}$$


$$p_{z} = \int_{}^{}F_{z}dt = \int_{}^{}{t^{3}dt = \frac{t^{4}}{4} + C_{3}}$$

Tutaj mamy zależność pędu od czasu, ale ze wzoru: p = m • v łatwo dochodzimy do postaci: $v = \frac{p}{m}$

I podstawiamy dane dla każdej współrzędnej z osobna


$$v_{x}(t) = \frac{- \cos\left( t \right) + C_{1}}{5}$$


$$v_{y}(t) = \frac{e^{2t}}{10} + \frac{C_{2}}{5}$$


$$v_{z}(t) = \frac{t^{4}}{20} + \frac{C_{3}}{5}$$

Następnie obliczamy stałe C całkowania poprzez podstawienie wartości chwilowej t i przyrównanie funkcji do wartości w punkcie:


$$v_{x}\left( 1 \right) = \frac{- \cos\left( 1 \right) + C_{1}}{5} = 0$$


C1 = cos(1)


$$v_{y}\left( 1 \right) = \frac{e^{2}}{10} + \frac{C_{2}}{5} = 0$$


$$C_{2} = - \frac{e^{2}}{2}$$


$$v_{z}\left( 1 \right) = \frac{1}{20} + \frac{C_{3}}{5} = 1$$


$$C_{3} = \frac{19}{4}$$

I otrzymujemy takie oto równanie v(t) czyli pierwszego badziewka, które mieliśmy znaleźć


$$v\left( t \right) = \left( \frac{- \cos{\left( t \right) + \cos\left( 1 \right)}}{5},\ \ \ \frac{e^{2t}}{10} - \frac{e^{2}}{2},\ \ \ \frac{t^{4}}{4} + \frac{19}{4} \right)$$

Następnie całkujemy jeszcze raz po dt by odszukać wzór na s(t) (postępujemy dokładnie tak samo przy wyliczaniu stałych całkowania i podstawiamy wszystko do wzoru, dla tego darowałem sobie kolejne komentarze)


$$s_{x} = \int_{}^{}v_{x}dt = \int_{}^{}{- \frac{\cos\left( t \right) + \cos\left( 1 \right)\text{dt}}{5} = - \frac{1}{5}\int_{}^{}{\cos\left( t \right) - \cos\left( 1 \right)dt = - \frac{sin(t) + t \bullet \cos\left( 1 \right)}{5}} + C_{4}}$$


$$s_{y} = \int_{}^{}v_{y}dt = \int_{}^{}{\frac{e^{2t}}{10} - \frac{e^{2}}{2}dt = \frac{1}{4}\int_{}^{}{2\frac{e^{2t}}{5} - 2e^{2}}dt = \frac{e^{2t}}{20} - \frac{e^{2}}{2}t + C_{5}}$$


$$s_{z} = \int_{}^{}v_{z}dt = \int_{}^{}{\frac{t^{4}}{4} + \frac{19}{4}dt = \frac{1}{4}\int_{}^{}{t^{4} + 19\ dt} = \frac{t^{5}}{20} + 1\frac{3}{16}t + C_{6}}$$

Stałe całkowania:


$$s_{x}\left( 2 \right) = - \frac{\sin{\left( 2 \right) + 2\cos\left( 1 \right)}}{5} + C_{4} = 1$$


$$C_{4} = \frac{sin(2) + 2\cos\left( 1 \right)}{5} + 1$$


$$s_{y}\left( 2 \right) = \frac{e^{4}}{20} - e^{2} + C_{5} = 1$$


$$C_{5} = 1 - \frac{e^{4}}{20} + e^{2}$$


$$s_{z}\left( 2 \right) = \frac{32}{20} + \frac{19}{8} + C_{6} = 3$$


$$C_{6} = 3 - \frac{159}{40} = \frac{120}{40} - \frac{159}{40} = - \frac{39}{40}$$

I wynik końcowy:


$$s\left( t \right) = \left( - \frac{\sin{\left( t \right) + t \bullet \cos\left( 1 \right)}}{5} + \frac{sin(2) + 2\cos\left( 1 \right)}{5} + 1,\ \ \ \frac{e^{2t}}{20} - \frac{e^{2}}{2}t + 1 - \frac{e^{4}}{20} + e^{2},\ \ \ \frac{t^{5}}{20} + 1\frac{3}{16}t + - \frac{39}{40} \right)$$


Wyszukiwarka