Mając funkcję siły F(t) daną wzorem: $F(t) = (\operatorname{\ sin}\left( t \right),\ e^{2t},t^{3})$ obliczyć zależność v(t) oraz s(t), znając wartości chwilowe: v(1)=(0, 0, 1) i s(2)=(1, 1, 3) oraz masę m = 5
Dane:
$$F(t) = (\operatorname{\ sin}\left( t \right),\ e^{2t},t^{3})$$
v(1)=(0, 0, 1)
s(2)=(1, 1, 3)
m = 5
Szukane:
v(t) = ?
s(t) = ?
Ważne wzory:
$$F = \frac{\text{dp}}{\text{dt}}$$
p = m • v
$$v = \frac{\text{ds}}{\text{dt}}$$
Obliczenia:
(liczymy całkę dla każdej współrzędnej po kolei)
px = ∫Fxdt = ∫sin(t)dt = −cos(t) + C1
$$p_{y} = \int_{}^{}F_{y}dt = \int_{}^{}{e^{2t}dt = \frac{1}{2}\int_{}^{}{2e^{2t}}dt = \frac{e^{2t}}{2} + C_{2}}$$
$$p_{z} = \int_{}^{}F_{z}dt = \int_{}^{}{t^{3}dt = \frac{t^{4}}{4} + C_{3}}$$
Tutaj mamy zależność pędu od czasu, ale ze wzoru: p = m • v łatwo dochodzimy do postaci: $v = \frac{p}{m}$
I podstawiamy dane dla każdej współrzędnej z osobna
$$v_{x}(t) = \frac{- \cos\left( t \right) + C_{1}}{5}$$
$$v_{y}(t) = \frac{e^{2t}}{10} + \frac{C_{2}}{5}$$
$$v_{z}(t) = \frac{t^{4}}{20} + \frac{C_{3}}{5}$$
Następnie obliczamy stałe C całkowania poprzez podstawienie wartości chwilowej t i przyrównanie funkcji do wartości w punkcie:
$$v_{x}\left( 1 \right) = \frac{- \cos\left( 1 \right) + C_{1}}{5} = 0$$
C1 = cos(1)
$$v_{y}\left( 1 \right) = \frac{e^{2}}{10} + \frac{C_{2}}{5} = 0$$
$$C_{2} = - \frac{e^{2}}{2}$$
$$v_{z}\left( 1 \right) = \frac{1}{20} + \frac{C_{3}}{5} = 1$$
$$C_{3} = \frac{19}{4}$$
I otrzymujemy takie oto równanie v(t) czyli pierwszego badziewka, które mieliśmy znaleźć
$$v\left( t \right) = \left( \frac{- \cos{\left( t \right) + \cos\left( 1 \right)}}{5},\ \ \ \frac{e^{2t}}{10} - \frac{e^{2}}{2},\ \ \ \frac{t^{4}}{4} + \frac{19}{4} \right)$$
Następnie całkujemy jeszcze raz po dt by odszukać wzór na s(t) (postępujemy dokładnie tak samo przy wyliczaniu stałych całkowania i podstawiamy wszystko do wzoru, dla tego darowałem sobie kolejne komentarze)
$$s_{x} = \int_{}^{}v_{x}dt = \int_{}^{}{- \frac{\cos\left( t \right) + \cos\left( 1 \right)\text{dt}}{5} = - \frac{1}{5}\int_{}^{}{\cos\left( t \right) - \cos\left( 1 \right)dt = - \frac{sin(t) + t \bullet \cos\left( 1 \right)}{5}} + C_{4}}$$
$$s_{y} = \int_{}^{}v_{y}dt = \int_{}^{}{\frac{e^{2t}}{10} - \frac{e^{2}}{2}dt = \frac{1}{4}\int_{}^{}{2\frac{e^{2t}}{5} - 2e^{2}}dt = \frac{e^{2t}}{20} - \frac{e^{2}}{2}t + C_{5}}$$
$$s_{z} = \int_{}^{}v_{z}dt = \int_{}^{}{\frac{t^{4}}{4} + \frac{19}{4}dt = \frac{1}{4}\int_{}^{}{t^{4} + 19\ dt} = \frac{t^{5}}{20} + 1\frac{3}{16}t + C_{6}}$$
Stałe całkowania:
$$s_{x}\left( 2 \right) = - \frac{\sin{\left( 2 \right) + 2\cos\left( 1 \right)}}{5} + C_{4} = 1$$
$$C_{4} = \frac{sin(2) + 2\cos\left( 1 \right)}{5} + 1$$
$$s_{y}\left( 2 \right) = \frac{e^{4}}{20} - e^{2} + C_{5} = 1$$
$$C_{5} = 1 - \frac{e^{4}}{20} + e^{2}$$
$$s_{z}\left( 2 \right) = \frac{32}{20} + \frac{19}{8} + C_{6} = 3$$
$$C_{6} = 3 - \frac{159}{40} = \frac{120}{40} - \frac{159}{40} = - \frac{39}{40}$$
I wynik końcowy:
$$s\left( t \right) = \left( - \frac{\sin{\left( t \right) + t \bullet \cos\left( 1 \right)}}{5} + \frac{sin(2) + 2\cos\left( 1 \right)}{5} + 1,\ \ \ \frac{e^{2t}}{20} - \frac{e^{2}}{2}t + 1 - \frac{e^{4}}{20} + e^{2},\ \ \ \frac{t^{5}}{20} + 1\frac{3}{16}t + - \frac{39}{40} \right)$$