METODA I

$$\left\{ \begin{matrix} \sqrt{x_{P}^{2} + \left( y_{P} - a \right)^{2} + z_{P}^{2}} = l_{1} \\ \sqrt{x_{P}^{2} + y_{P}^{2} + z_{P}^{2}} = l_{2} \\ \sqrt{\left( x_{P} - b \right)^{2} + {y_{P}^{2} + z}_{P}^{2}} = l_{3} \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\left\{ \begin{matrix} x_{P}^{2} + \left( y_{P} - a \right)^{2} + z_{P}^{2} = l_{1}^{2} \\ x_{P}^{2} + y_{P}^{2} + z_{P}^{2} = l_{2}^{2} \\ \left( x_{P} - b \right)^{2} + {y_{P}^{2} + z}_{P}^{2} = l_{3}^{2} \\ \end{matrix} \right.\ $$

Odejmując od pierwszego równania drugie, mamy:

(y_P−a)² − y_P² = l₁² − l₂²

y_P² − 2 • a•y_P + a² − y_P² = l₁² − l₂²

−2 • a•y_P = l₁² − l₂² − a²

$$y_{P} = \frac{l_{1}^{2} - l_{2}^{2} - a^{2}}{- 2 \bullet a}$$

Odejmując od trzeciego równania drugie, mamy:

(x_P−b)² − x_P² = l₃² − l₂²

x_P² − 2 • b • x_P + b² − x_P² = l₃² − l₂²

−2 • b • x_P = l₃² − l₂² − b²

$$x_{P} = \frac{l_{3}^{2} - l_{2}^{2} - b^{2}}{- 2 \bullet b}$$

Znając x_P i y_P obliczamy z_p:

$$z_{P} = \pm \sqrt{l_{2}^{2}{- x}_{P}^{2} - y_{P}^{2}}$$

METODA II

l₁² = l₂²+a² − 2 • a • l₂ • cosα₂

$$\alpha_{2} = \arccos\left( \frac{l_{2}^{2}{+ a}^{2} - l_{1}^{2}}{2 \bullet a \bullet l_{2}} \right)$$

h₂ = l₂•sinα₂

l₂² = l₃²+b² − 2 • b • l₃ • cosα₁

$$\alpha_{1} = \arccos\left( \frac{l_{2}^{2}{+ a}^{2} - l_{1}^{2}}{2 \bullet b \bullet l_{3}} \right)$$

h₁ = l₃•sinα₁

$$\left\{ \begin{matrix} h^{2} + n^{2} = h_{2}^{2}\ \rightarrow \ n^{2} = h_{2}^{2} - h^{2} \\ h^{2} + m^{2} = h_{1}^{2}\ \rightarrow \ m^{2} = h_{1}^{2} - h^{2}\ \\ h^{2} + k^{2} = l_{2}^{2}\ \rightarrow \ k^{2} = l_{2}^{2} - h^{2} \\ m^{2} + n^{2} = k^{2} \\ \end{matrix} \right.\ $$

Wstawiając do 4 równania za m, n i k:

h₁² − h² + h₂² − h² = l₂² − h²

$$h = \sqrt{h_{1}^{2} + h_{2}^{2} - l_{2}^{2}}$$

i dalej m oraz n:

$$m = \sqrt{h_{2}^{2} - h^{2}}$$

$$n = \sqrt{h_{1}^{2} - h^{2}}$$

Stąd współrzędne pkt. P = (n, m, h).

Pozycja i orientacja chwytaka
Pozycja jest określana przez wektor o początku w podstawie robota i końcu w uchwycie przymocowanym do kiści robota.

$$\overrightarrow{U^{a}} = \lbrack n,m,h\rbrack$$

Orientacja jest macierzą określającą kąty miedzy uchwytem a osiami układu współrzędnych, który jest związany z przestrzenią, w której pracuję robot.

B=$_{B}^{A}R\left\lbrack {_{}^{A}\hat{X}}_{B}\ {_{}^{A}\hat{Y}}_{B}\ {_{}^{A}\hat{Z}}_{B} \right\rbrack = \begin{bmatrix} {\hat{X}}_{B} \bullet {\hat{X}}_{A} & {\hat{Y}}_{B} \bullet {\hat{X}}_{A} & {\hat{Z}}_{B} \bullet {\hat{X}}_{A} \\ {\hat{X}}_{B} \bullet {\hat{Y}}_{A} & {\hat{Y}}_{B} \bullet Y_{A} & {\hat{Z}}_{B} \bullet {\hat{Y}}_{A} \\ {\hat{X}}_{B} \bullet {\hat{Z}}_{A} & {\hat{Y}}_{B} \bullet {\hat{Z}}_{A} & {\hat{Z}}_{B} \bullet {\hat{Z}}_{A} \\ \end{bmatrix}$

Wzór na sztywność

Siła, która jest przyłożona do końcówki manipulatora obliczana jest ze wzoru: F = m • g = m • 9, 81

Sztywność oblicza się ze wzoru: $F = k \bullet x\text{\ \ \ } \rightarrow \text{\ \ }k = \frac{F}{x}$

przy większej odległości końcówki roboczej od podstawy robota, obniża się jego sztywność. Przy obciążeniu rzędu 50kg, rzeczywista pozycja może znajdować się nawet o 2-3mm niżej niż zdana, przez co musi być to uwzględnione podczas programowania robota.

Wzór na powtarzalność

Wnioski z laborki

Dokładność robota podawana przez producenta to ±0.5mm. Z naszych pomiarów wynika, że rzeczywista dokładność robota mieści się w tym przedziale.

Odchylenie standardowe, wariancja, odchylenie przeciętne

Wariancja - jest to średnia arytmetyczna kwadratów odchyleń poszczególnych wartości cechy od średniej arytmetycznej zbiorowości.

szereg szczegółowy

szereg rozdzielczy punktowy

szereg rozdzielczy z przedziałami klasowymi

Odchylenie standardowe s - jest to pierwiastek kwadratowy z wariancji. Stanowi miarę zróżnicowania o mianie zgodnym z mianem badanej cechy, określa przeciętne zróżnicowanie poszczególnych wartości cechy od średniej arytmetycznej.

Odchylenie przeciętne d - jest to średnia arytmetyczna bezwzględnych odchyleń wartości cechy od średniej arytmetycznej. Określa o ile jednostki danej zbiorowości różnią się średnio, ze względu na wartość cechy, od średniej arytmetycznej.

szereg szczegółowy

szereg rozdzielczy

Pomiędzy odchyleniem przeciętnym i standardowym, dla tego samego szeregu, zachodzi relacja: d < s.

Ruchliwość

Robot posiada 6 ogniw ruchomych i 6 par kinematycznych 5 klasy (obrotowych), stąd ruchliwość W’ jest równa:

W^′ = 6 • n − 5 • p₅ − 4 • p₄ − 3 • p₃ − 2 • p₂ − 1 • p₁

p₅ = 5 n = 6

W^′ = 6 • 6 − 6 • 5 = 6

schemat stanowiska pomiarowego do uzyskania pozycji i orientacji zwrotnicy koła względem nadwozia.

Wartości stałe: O^a;  O^kb;  

$$\sum_{i = 1}^{5}a_{i};\ \sum_{i = 1}^{5}b_{i}^{b};\ R^{a}$$

Wartości zmienne: O^k;  O^ka;  

$$\sum_{i = 1}^{5}d_{i}^{a};\ \sum_{i = 1}^{5}b_{i}^{a};\ O^{\text{ka}}$$

zadanie proste i odwrotne kinematyki dla manipulatora linkowego

l_i = b_i − a_i

b_i^b- wektor położenia punktu B_i w układzie platformy B

a_i- wektor położenia punktu A_i w układzie platformy A

l_i- długości linek

Proste:

Długości kończyn; l_i dla i = 1…6

→ l_i = R^bab_i^b + O^ba − a_i; l_i^Tl_i = l_i²

→ wektor pozycji O^ba; macierz orientacji R^ba

Odwrotne:

wektor pozycji O^ba; macierz orientacji R^ba

→ l_i = b_i − a_i

→ Długości kończyn; l_i dla i = 1…6

Wnioski

Do analizy przemieszczeń zawieszenia 5-cio wahaczowego można użyć pomiarowego manipulatora linkowego.

Możemy zauważyć, że kąt pochylenia koła (α) w całym zakresie ruchu zawieszenia nie zmienia się o więcej niż jeden stopień. Dzieki temu opona przylega do nawierzchni całą powierzchnią nie zależnie od ugięcia zawieszenia. Podobnie zachowują się pozostałe dwa kąty. Jest to bardzo istotną zaletą zawieszeń 5-cio wahaczowych.

Założenia upraszczające

Człony mechanizmu są idealnie sztywne

W parach kin. nie występują luzy i tarcie

Pary kin. nie zawierają elementów odkształcalnych

Mechanizmy występują tylko w jednej konfiguracji

pozycja i orientacja zwrotnicy koła względem nadwozia
Znając wszystkie stałe wymiary mechanizmu, w wyniku analizy położenia zwrotnicy otrzymujemy wektor położenia i macierz orientacji zwrotnicy względem nadwozia, dla określonych: ugięcia sprężyny i przesunięcia zębatki kierowniczej.