Miary średnie:

1. Średnia arytmetyczna:

1. $\frac{\sum_{}^{}x_{i}}{N}$ - dla szeregu szczegółowego.

2. $\frac{\sum_{}^{}{x_{i}n_{i}}}{N}$ - dla szeregu rozdzielczego punktowego.

3. $\frac{\sum_{}^{}{{\dot{x}}_{i}n_{i}}}{N}$ - dla szeregu rozdzielczego przedziałowego.

1. Średnia arytmetyczna z 2 (lub więcej) średnich:

	ni	$$\overset{\overline{}}{x}$$
I	n1	$$\overset{\overline{}}{x_{1}}$$
II	n2	$$\overset{\overline{}}{x_{2}}$$
…	…	…

$$\overset{\overline{}}{x} = \frac{n_{1}\overset{\overline{}}{x_{1}} + \ldots + n_{n}\overset{\overline{}}{x_{n}}}{n_{1} + \ldots + n_{n}} = \frac{n_{1}\overset{\overline{}}{x_{1}} + \ldots + n_{n}\overset{\overline{}}{x_{n}}}{N}$$

1. Średnia harmoniczna:$\frac{N}{\sum_{}^{}{\frac{1}{x_{i}}n_{i}}}$

2. Średnia geometryczna: $\sqrt[N]{\prod_{}^{}{x_{i}}^{n_{i}}}$

3. Średnia ucinana: $\frac{\sum_{i = 1 + l}^{n - k}x_{i}}{N - l - k}$

4. Dominanta:

1. Odczytujemy wartość cechy dla największej liczebności – dla szeregu szczegółowego.

2. Odczytujemy wartość cechy dla największej liczebności – dla szeregu rozdzielczego punktowego.

3. $D = x_{D} + \frac{n_{D} - n_{D - 1}}{\left( n_{D} - n_{D - 1} \right)\left( n_{D} - n_{D + 1} \right)}i_{D}$ - dla szeregu rozdzielczego przedziałowego, gdzie:

• x_D – dolna granica przedziału, w którym znajduje się dominanta,

• n_D – liczebność przedziału, w którym znajduje się dominanta,

• n_D − 1 – liczebność przedziału poprzedzającego przedział dominanty,

• n_D + 1 – liczebność przedziału następnego po przedziale dominanty,

• i_D – rozpiętość przedziału dominanty.

1. Mediana:

1. $Me = \left\{ \begin{matrix} x_{\frac{N + 1}{2}} - \ gdy\ N\ jest\ nieparz\text{yste\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ \frac{1}{2}\left( x_{\frac{N}{2}} + x_{\frac{N}{2} + 1} \right) - \ gdy\ N\ jest\ parzyste \\ \end{matrix} \right.\ $ – szeregi szczegółowy i punktowy,

2. $Q_{2} = Me = x_{\text{Me}} + \ \frac{\frac{N}{2} - \sum_{i = 1}^{k - 1}n_{i}}{n_{\text{Me}}}i_{\text{Me}}$ - dla szeregu rozdzielczego przedziałowego.

1. Kwartyle:

1. $Q_{1} = x_{Q_{1}} + \frac{\frac{N}{4} - \sum_{i = 1}^{k - 1}n_{i}}{n_{Q_{1}}}i_{Q_{1}}$

2. Q₂ = Me

3. $Q_{3} = x_{\text{Me}} + \frac{\frac{3N}{4} - \sum_{i = 1}^{k - 1}n_{i}}{n_{Q_{3}}}i_{Q_{3}}$

• x_Q1, x_Me, x_Q3 - dolna granica przedziału, w którym znajduje się kwartyl,

• $\sum_{i = 1}^{k - 1}n_{i}$ – suma liczebności przedziałów poprzedzających ten, w którym znajduje się kwartyl,

• n_Q1, n_Me, n_Q3 – liczebność przedziału, w którym znajduje się kwartyl,

• i_Q1, i_Me, i_Q3 – rozpiętość przedziału, w którym znajduje się kwartyl.

1. Kwantyle rzędu p:

$k_{p} = x_{p} + \left\lbrack p - F_{n}\left( x_{p} \right) \right\rbrack\frac{i_{p}}{W_{p}}$, gdzie:

• x_p – dolna granica przedziału następującego po tym, w którym znajduje się kwantyl (jeżeli p = F_n(x) )

• p − rząd kwantyla,

• F_n(x_p) –dystrybuanta empiryczna przedziału, w którym znajduje się kwantyl,

• i_p – rozpiętość przedziału, w którym znajduje się kwantyl,

• W_p - częstość przedziału, w którym znajduje się kwantyl ($W_{i} = \frac{n_{i}}{N}$).

Aby wyznaczyć, w którym przedziale znajduje się kwantyl – bierzemy rząd i szukamy go w $F_{n}\left( x \right) = \frac{n_{\text{SK}}}{N}$.

Miary rozproszenia:

1. Wariancja:

1. $S^{2} = \ \frac{\sum_{}^{}{\left( x_{i} - \overset{\overline{}}{x} \right)^{2}n_{i}}}{N}$ - dla szeregów szczegółowego i rozdzielczego punktowego.

2. $S^{2} = \ \frac{\sum_{}^{}{\left( \dot{x_{i}} - \overset{\overline{}}{x} \right)^{2}n_{i}}}{N}$ - dla szeregu rozdzielczego przedziałowego.

1. Odchylenie standardowe:

1. $S = \sqrt{S^{2}} = \sqrt{\frac{\sum_{}^{}{\left( x_{i} - \overset{\overline{}}{x} \right)^{2}n_{i}}}{N}}$ - dla szeregów szczegółowego i rozdzielczego punktowego.

2. $S = \sqrt{S^{2}} = \sqrt{\frac{\sum_{}^{}{\left( \dot{x_{i}} - \overset{\overline{}}{x} \right)^{2}n_{i}}}{N}}$ - dla szeregu rozdzielczego przedziałowego.

1. Typowy obszar zmienności: $\overset{\overline{}}{x} - S\left( x \right) < x_{\text{typ}} < \overset{\overline{}}{x} + S\left( x \right)$

2. Empiryczny obszar zmienności (rozstęp): R = x_max − x_min

3. Odchylenie przeciętne:

1. $d = \frac{\sum_{}^{}{\left| x_{i} - \overset{\overline{}}{x} \right|n_{i}}}{N}$ - dla szeregów szczegółowego i rozdzielczego punktowego,

2. $d = \frac{\sum_{}^{}{\left| x_{i} - \overset{\overline{}}{x} \right|n_{i}}}{N}$ - dla szeregu rozdzielczego przedziałowego.

1. Odchylenie ćwiartkowe: $Q = \frac{Q_{3} - Q_{1}}{2}$

2. Typowy obszar zmienności przy pomocy miar pozycyjnych: Me − Q < x_typ < Me + Q

3. Współczynnik zmienności:

   • V < 15% - słabe zróżnicowanie

   • 15% < V < 30% - średnie zróżnicowanie

   • 30% < V - duże zróżnicowanie

1. Klasyczny:

• $V_{s} = \frac{S\left( x \right)}{\overset{\overline{}}{x}}$

• $V_{d} = \frac{\text{dx}}{\overset{\overline{}}{x}}$

1. Pozycyjny:

• $V_{Q} = \frac{\text{Qx}}{\text{Me}}$

• $V_{Q_{1},Q_{2}} = \frac{Q_{3} - Q_{1}}{Q_{3} + Q_{1}}$

Miary asymetrii.

• Wskaźniki (M₃,  M_P,  M_m) mówią nam o kierunku asymetrii, tzn.:

• Jeżeli M>0 to → asymetria prawostronna,

• Jeżeli M<0 → asymetria lewostronna.

• Współczynniki (A_K, A_P, A_M) mówią nam o sile asymetrii, tzn.:

• Im bliżej 0 tym asymetria słabsza,

• Im bliżej ±1 tym asymetria silniejsza.

1. Miary klasyczne:

1. Moment centralny trzeciego rzędu (wskaźnik):

• $M_{3} = \frac{\sum_{}^{}{\left( x_{i} - \overset{\overline{}}{x} \right)^{3}n_{i}}}{N}$ - dla szeregu szczegółowego i rozdzielczego punktowego,

• $M_{3} = \frac{\sum_{}^{}{\left( \dot{x_{i}} - \overset{\overline{}}{x} \right)^{3}n_{i}}}{N}$ - dla szeregu rozdzielczego przedziałowego.

1. Współczynnik asymetrii (moment standaryzowany trzeciego rzędu):

• $A_{k} = \frac{M_{3}}{S^{3}\left( x \right)}$ ∈[-2,2]; 0 – idealna asymetria.

1. Miary pozycyjne:

1. Miara asymetrii (wskaźnik): M_P = (Q₃−Q₂) − (Q₂−Q₁)

2. Współczynnik asymetrii: $A_{P} = \frac{M_{A}}{2Q}$ ∈[-1,1]

1. Miary mieszane:

1. Miara asymetrii (wskaźnik): $M_{M} = \overset{\overline{}}{X} - D$

2. Współczynnik asymetrii: $A_{M} = \frac{\overset{\overline{}}{X} - D}{S\left( x \right)}$ ∈[-1,1]

Miary koncentracji.

1. Współczynnik koncentracji Lorentza → kartka.

2. Moment czwartego rzędu:

1. Czwarty moment centralny (kurtoza):

• $M_{4} = \frac{\sum_{}^{}{\left( \dot{x_{i}} - \overset{\overline{}}{x} \right)^{4}n_{i}}}{N}$ - dla szeregu szczegółowego i rozdzielczego punktowego,

• $M_{4} = \frac{\sum_{}^{}{\left( \dot{x_{i}} - \overset{\overline{}}{x} \right)^{4}n_{i}}}{N}$ - dla szeregu rozdzielczego przedziałowego.

1. Współczynnik koncentracji: $K_{k} = \frac{M_{4}}{S^{4}\left( x \right)}$

• Jeżeli K_k = 3 - rozkład normalny (identyczny),

• Jeżeli K_k < 3 - rozkład platokurtyczny (spłaszczony),

• Jeżeli K_k > 3 - rozkład leptokurtyczny (wysmukły).

1. Pozycyjna miara koncentracji (rozstęp kwartylowy): $\frac{Q_{3} - Q_{1}}{2\left( D_{9} - D_{1} \right)}$

Miary korelacji (współzależności zmiennych).

1. Kowariancja: $\text{cov}_{\text{xy}} = \frac{\sum_{}^{}{\sum_{}^{}\left( x_{i} - \overset{\overline{}}{x} \right)\left( y_{j} - \overset{\overline{}}{y} \right)n_{\text{ij}}}}{N}$ ∈ [– ∞, ∞]

2. Współczynnik korelacji liniowej Pearsona: $r_{\text{xy}} = \frac{\text{cov}_{\text{xy}}}{S\left( X \right)S\left( Y \right)}$ ∈ [-1, 1]

• Im bliżej 0, tym bardziej jedna cecha jest stochastycznie niezależna od drugiej,

• Im bliżej 1 to zależność jest dodatnia (wzrost jednej cechy powoduje wzrost drugiej),

• Im bliżej -1 to zależność jest ujemna (wzrost jednej cechy powoduje spadek drugiej).

• A

• Współczynnik determinacji r_xy² * 100% określa, w jakim procencie zmiany wartości jednej cechy wpływają na zmianę wartości drugiej cechy.