Wyznaczanie współczynnika tarcia materiałów konstrukcyjnych

Data Ćwiczenia:	13.10.2011, Czwartek TN
Wykonawcy:	Karolina Żegiestowska Marcin Szymiczek Łukasz Maśko
Ocena:

Cel ćwiczenia

Celem niniejszego ćwiczenia było ustalenia współczynników tarcia dla różnych materiałów konstrukcyjnych. Badane były współczynniki tarcia ślizgowego: statyczne i kinetyczne dla par materiałów drewno-drewno, drewno-teflon i drewno-stal oraz tarcia tocznego dla materiałów stal-stal i teflon-stal.

Opis metody pomiarowej

Podstawą fizyczną do wyznaczenia współczynników statycznego i kinetycznego tarcia ślizgowego jest prawo Amontonsa-Coulomba:

T = μN

Przekształcając powyższy wzór, a także wykorzystując do obliczenia współczynnika równię pochyłą, można dojść do następującego wzoru:

$$\mu = \frac{T}{N}$$

N = Gcosα

F = Gsinα

w stanie równowagi: F = T

$$\frac{F}{N} = \frac{G\ \sin\alpha}{G\cos\alpha} = \tan\alpha$$

μ = tanα

Pomiar w przypadku współczynnika statycznego przeprowadza się w następujący sposób: klocek umieszcza się na równi pochyłej i zwiększa powoli kąt pomiędzy równią a podłożem. Kąt, który można użyć do obliczeń, aby uzyskać prawidłowe wyniki nazywa się kątem granicznym i jest to największy kąt, przy którym klocek jeszcze nie zsuwa się po równi.

W przypadku pomiaru współczynnika kinetycznego kąt użyty do obliczeń musi być kątem, przy którym klocek zsuwa się po równi ruchem jednostajnym. Jest to kłopotliwe ze względu na trudności w stwierdzeniu i utrzymaniu ruchu jednostajnego na równi pochyłej. Można więc obliczyć współczynnik pozwalając na zsuwanie się klocka ruchem jednostajnie przyspieszonym. Ruch ten będzie się odbywał pod wpływem siły F-T ze stałym przyspieszeniem wynikającym z prawa Newtona:

$$a = \frac{F - T}{m}$$

Drogę s jaką przebędzie klocek można wyliczyć ze wzoru:

$$s = \frac{at^{2}}{2}$$

i przekształcając go otrzymać:

$$a = \frac{2s}{t^{2}}$$

Po ostatecznych przekształceniach otrzymujemy:

$$\mu_{k} = \frac{T}{N} = \tan\alpha - \frac{2s}{gt^{2}\cos\alpha}$$

Pomiar tarcia tocznego polega na wyznaczeniu straty energii ΔE przy przebyciu drogi s kulki w wahadle matematycznym, którą można obliczyć ze wzoru: ΔE = Ts.

Całkowita energia wahadła w wychyleniu maksymalnym jest równa tylko energii potencjalnej i można ją wyznaczyć mierząc wysokość h na jaką wznosi się masa m. Po pewnej liczbie wahnięć wystąpi zmniejszenie kąta maksymalnego wychylenia, a to oznacza stratę energii równą ΔE = mgΔh gdzie Δh jest różnicą wysokości odpowiadającą wychyleniom (amplituda początkowego wychylenia) i (amplituda wychylenia po n-wahnięciach).

Powyższe wzory można do siebie przyrównać i otrzymać wzór na T:

$$T = \frac{mgh}{s}$$

Ze wcześniejszych obliczeń znany jest również wzór na N:

N = mgcosβ

Po podstawieniu wzór na współczynnik tarcia przyjmuje postać:

$$f = r\frac{T}{N} = r\frac{mgh/s}{\text{mg}\cos\beta} = r\frac{l\sin\beta}{s\cos\beta} = r\frac{l}{s}\tan\beta$$

Po powiązaniu s i Δl z amplitudami wychyleń α oraz liczbą wahnięć n wzór na Δl można zapisać w postaci:

$$l = l\frac{\alpha_{0}^{2} - \alpha_{n}^{2}}{2} = \frac{l}{2}\left( \alpha_{0} - \alpha_{n} \right)\left( \alpha_{0} + \alpha_{n} \right)$$

Wstawiając powyższy wzór do wzoru na współczynnik tarcia otrzymuje się wzór na współczynnik tarcia tocznego w postaci:

$$f = r\tan\beta\frac{\alpha_{0} - \alpha_{n}}{4n}$$

Stanowisko pomiarowe

1. Stanowisko do pomiaru współczynników tarcia statycznego i kinetycznego

Rysunek 2. Równia pochyła do wykonywania pomiarów współczynników tarcia

Wykaz przyrządów:

- równia pochyła o powierzchni drewnianej o regulowanym kącie nachylenia

- klocki z materiałów: drewno, teflon, stal

- miarka

- stoper

W celu wykonania pomiaru współczynnika statycznego należało położyć klocek na równi i wypoziomować ją, aby pozostawał w spoczynku. Następnie zwiększano kąt nachylenia równi aż do zaobserwowania oznak ruchu klocka. W tym momencie przerywano pomiar i mierzono kąt nachylenia równi. Pomiary przeprowadzono dla trzech różnych par materiałów podłoże-klocek: drewno-drewno, drewno-teflon, drewno-stal.

W celu wykonania pomiaru współczynnika kinetycznego zmierzono odległość między górną a dolną linią narysowaną na równi. Następnie wypoziomowano równię, aby klocek zsuwał się po niej swobodnie z małą prędkością. Potem mierzono czas zsuwania klocka na drodze pomiędzy dwoma liniami. Pomiar przeprowadzono dla jednej pary materiałów drewno-teflon.

1. Stanowisko do pomiaru współczynnika tarcia tocznego

Rysunek 3. Schemat stanowiska do pomiaru tarcia tocznego

Wykaz przyrządów:

- równia pochyła o regulowanym kącie nachylenia

- płyty teflonowa i stalowa z kątomierzem

- kulka stalowa na nitce

W celu wykonania pomiaru współczynnika tarcia tocznego ustawiono równię pod kątem β i zamocowano na niej płytkę z kątomierzem. Nitka wahadła pokrywała się z zerem skali kątomierza. Następnie wychylono kulkę wahadła z położenia równowagi o kąt α₀ i zwolniono ją. Odczytano kąt α_n n-tego wahnięcia kulki. Powtórzono procedurę dla innych kątów β i materiału płytki.

Protokół pomiarowy

Tabela. 1. Wyniki pomiarów dla wsp. statycznego

Lp.	Materiał	Kąt tarcia / deg
	Płyta	Klocek
1.	drewno	drewno
2.	drewno	teflon
3.	drewno	stal

Tabela. 2. Wyniki pomiarów dla wsp. kinetycznego

Lp.	Czas zsuwania na długości s / sekunda
	1.
1.	2,07

Tabela. 3. Wyniki pomiarów dla wsp. tarcia tocznego

Lp.	Materiał	Liczba wah. n	Kąt nach. β/deg	Kąt pocz. α0/deg	Kąt końcowy αn / deg
	Płytka	Kula
1.	stal	stal	9	7	30
2.	stal	stal	9	15	30
3.	stal	stal	9	30	30
4.	teflon	stal	9	30	30
5.	teflon	stal	9	15	30
6.	teflon	stal	9	7	30

Wyniki obliczeń

Tabela. 4. Wyniki obliczeń dla wsp. statycznego

Lp.	α/deg	μ	Δα1/deg	Δα2/deg	Δα3/deg	Δα/deg	Δμ	(Δα/α)/%
1.	30,5	0,6	2,5	1	0,5	4,0	5,3	13
2.	8,7	0,2	0,9	1	0,5	2,4	2,4	27
3.	13,7	0,3	1,3	1	0,5	2,8	2,9	20

α – kąt tarcia

Δα₁ – odchylenie standardowe kąta tarcia

Δα₂ – niepewność aparaturowa

Δα₃ – niepewność wynikająca z błędu ludzkiego

Δα – niepewność całkowita kąta tarcia

μ – współczynnik tarcia statycznego

Δμ – niepewność współczynnika tarcia statycznego

Δα/α – niepewność względna kąta tarcia

Przykładowe obliczenia:

μ = tanα

μ = tan30, 5 = 0, 6

$$\Delta\alpha_{1} = \sqrt{\frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}{(\alpha_{i} - \overset{\overline{}}{\alpha})}^{2}} = \sqrt{\frac{1}{6 - 1}\lbrack{(31 - 30,5)}^{2} + {(26 - 30,5)}^{2} + \ldots + {(30 - 30,5)}^{2}\rbrack} = 2,428 \cong 2,5\ \lbrack deg\rbrack$$

α = Δα₁ + Δα₂ + Δα₃ = 2, 5 + 1 + 0, 5 = 4, 0 [deg]

$$\mu = \frac{\alpha}{\cos^{2}\alpha} = \frac{4}{\cos^{2}30,5} = 5,3$$

Tabela. 5. Wyniki obliczeń dla wsp. kinetycznego

α/deg	s/m	t/s	Δt1/s	Δt2/s	Δt3/s	Δt/s	μ	Δμ	(Δt/t)/%	(Δμ/μ)/%
7	0,387	2,08	0,06	0,1	0,01	0,17	0,104	0,003	8	3

α – kąt tarcia

s – przebyta odległość

t – czas zsuwania na długości s

Δt₁ – odchylenie standardowe czasu

Δt₂ – błąd reakcji

Δt₃ – niepewność aparaturowa stopera

Δt – całkowita niepewność czasu

μ – współczynnik tarcia kinetycznego

Δμ – niepewność współczynnika tarcia kinetycznego

Δt/t – niepewność względna czasu

Δμ/μ – niepewność względna współczynnika tarcia

Przykładowe obliczenia:

$$\Delta t_{1} = \sqrt{\frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}{(t_{i} - \overset{\overline{}}{t})}^{2}} = \sqrt{\frac{1}{6 - 1}\lbrack{(2,07 - 2,08)}^{2} + {(2,17 - 2,08)}^{2} + \ldots + {(2,08 - 2,08)}^{2}\rbrack} = 0,058 \cong 0,06\ \lbrack s\rbrack$$

t = Δt₁ + Δt₂ + Δt₃ = 0, 06 + 0, 1 + 0, 01 = 0, 17 [s]

$$\mu_{k} = \tan\alpha - \frac{2s}{gt^{2}\cos\alpha} = \tan 7 - \frac{2 \bullet 0,4}{9,81 \bullet 2,08 \bullet \cos 7} = 0,104$$

$$\mu_{k} = \frac{4s}{gt^{2}\cos\alpha}t = \frac{4 \bullet 0,4}{9,81 \bullet {2,08}^{2} \bullet \cos 7} \bullet 0,17 = 0,00298 \cong 0,003$$

Tabela. 6. Wyniki obliczeń dla wsp. tarcia tocznego

Lp.	Materiał	r/m	n	β/deg	α0/deg	αn/deg	Δαn/deg	f/m	Δf/m	(Δαn/αn)/%	(Δf/f)/%
	Płytka	Kula
1.	stal	stal	0,02	9	7	30	2	0,9	0,00172	5E-05	45
2.	stal	stal	0,02	9	15	30	10,7	1,2	0,0026	0,0002	11
3.	stal	stal	0,02	9	30	30	16,2	0,8	0,0040	0,0002	5
4.	teflon	stal	0,02	9	30	30	19,7	0,5	0,0030	0,0002	3
5.	teflon	stal	0,02	9	15	30	16,7	0,8	0,0018	0,0001	5
6.	teflon	stal	0,02	9	7	30	12,2	0,4	0,00109	2E-05	3

r – promień kulki

n – liczba wahnięć

β – kąt nachylenia równi

α₀ – kąt początkowy

α_n – kąt końcowy (wychylenia)

Δα_n – odchylenie standardowe kąta końcowego (wychylenia)

f – współczynnik tarcia tocznego

Δf – niepewność współczynnika tarcia

Δα_n/α_n – niepewność względna kąta końcowego

Δf/f – niepewność względna współczynnika tarcia

Przykładowe obliczenia:

$$\Delta\alpha_{n} = \sqrt{\frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}{(\alpha_{\text{ni}} - \overset{\overline{}}{\alpha_{n}})}^{2}} = \sqrt{\frac{1}{6 - 1}\lbrack{(9 - 10,7)}^{2} + {(10 - 10,7)}^{2} + \ldots + {(11 - 10,7)}^{2}\rbrack} = 1,211 \cong 1,2\ \lbrack deg\rbrack$$

$$f = r\tan\beta\frac{\alpha_{0} - \alpha_{n}}{4n} = 0,02 \bullet \tan 15 \bullet \frac{30 - 10,7}{4 \bullet 9} = 0,00259 \cong 0,0026\ \lbrack m\rbrack$$

$$f = \frac{r \bullet \tan\beta}{4n}\alpha_{n} = \frac{0,02 \bullet \tan 15}{4 \bullet 9} \bullet 1,2 = 0,0001623 \cong 0,0002\ \lbrack m\rbrack$$

Wnioski

Obliczone współczynniki tarcia statycznego mieszczą się w zakresie danych tablicowych

(źródło: http://www.fizyka.edu.pl/wtarcia.php),

co wskazuje na to, że pomiary zostały wykonane poprawnie. Najniższy współczynnik tarcia zanotowano dla pary drewno-teflon, co również jest zgodne z teorią, gdyż teflon posiada najniższy współczynnik tarcia ze wszystkich ciał stałych.

Dla tarcia statycznego niepewności pomiarowe były bardzo wysokie.. Spowodowane to było trudnościami z odczytaniem dokładnego kąta tarcia (niepewność aparaturowa to aż 1°) i błędów ludzkich (trudność z oszacowaniem, kiedy dokładnie klocek zaczynał się poruszać). Jednak niepewności pomiarowe kąta α mimo wszystko w niewielkim stopniu przekraczają dopuszczalny zakres błędu (od 13 do 27%). Niepewności współczynnika tarcia zostały obliczone błędnie i grupa nie jest w stanie znaleźć błędu w obliczeniach lub też wzorze na niepewność.

Współczynnik tarcia kinetycznego dla materiałów drewno-teflon jest mniejszy niż współczynnik tarcia statycznego dla tej samej pary materiałów. Różnica jest jednak niewielka, co wynika ze specyfiki materiału jakim jest teflon – jego współczynniki statyczny i kinetyczny są niemal równe (źródło: http://www.kaprolan.pl/tworzywa-konstrukcyjne/teflon-ptfe/#tarcie). Pomiary wykonano poprawnie i dokładnie, na co wskazują niewielkie niepewności zarówno czasu t (8%) jak i współczynnika μ (3%). Małe niedokładności w porównaniu z poprzednimi pomiarami można wytłumaczyć inną aparaturą pomiarową: w tym ćwiczeniu nie mierzono nachylenia równi (gdzie niepewność aparaturowa była duża), ale czas przy pomocy stopera (którego niepewność aparaturowa wynosi tylko 0,01s).

Obliczone współczynniki tarcia tocznego są większe niż zamieszczone w tablicach, zgadza się jednak zależność, że współczynnik tarcia dla teflonu jest mniejszy niż dla stali. Wskazana niepoprawność wyników mogła być spowodowana wyeksploatowaniem aparatury pomiarowej, na której można wyraźnie zauważyć upływ czasu. Porównując wyniki, można zaobserwować również fakt, że wraz ze zwiększaniem kąta nachylenia równi zwiększał się również współczynnik tarcia. Dokładność pomiaru w tym ćwiczeniu była zróżnicowana, gdyż dla małych kątów wychylenia zaobserwowano bardzo duże niepewności pomiaru (44%), które zmniejszyły się jednak znacznie wraz ze wzrostem kąta. Spowodowane to zostało, jak w pierwszym ćwiczeniu, dużą niepewnością aparaturową kątomierza (1°), która była szczególnie odczuwalna dla kątów rzędu kilku stopni. Niepewności współczynników tarcia nie różnią się już jednak dużo między sobą i mieszczą się wszystkie w zakresie od 2 do 6%.