Zad1. 1połowe drogi samochód przejechał z prędkością 80km/h, a 2 połowę drogi z prędkością 40km/h. Jaka była średnia prędkość ruchu samochodu?

Dane: $V_{1} = \frac{80km}{h}$

 V₂ = 40km/h

Szuk: V_sred = ?

$$V_{sred} = \frac{S}{t} = \frac{S}{t_{1} + t_{2}} = \frac{S}{\frac{s}{2V_{1}} + \frac{s}{{2V}_{2}}} = \frac{s}{\frac{s(V_{1} + V_{2})}{V_{1}V_{2}}} = \frac{{2V}_{1}V_{2}}{V_{1} + V_{2}}$$

$$V_{sred} = \frac{2*80*40}{80 + 40} = \frac{53,3km}{h}$$

Zad2. Statek parowy płynie po rzece od pkt. A do pkt. B z prędkością V₁ = 10km/h a z powrotem z prędkością V₂ = 16k/h. Obliczyć śred. Prędk. Statku? Prędkość prądu rzeki?

Dane: V₁ = 10km/h

V₂ = 16km/h

Szuk: V_sred, V_rz

$$V_{1} = \ \frac{s}{t_{1}} = > \ t_{1} = \ \frac{s}{v_{1}}$$

$$V_{2} = \frac{s}{t_{1}} = > t_{2} = \frac{s}{v_{2}}$$

t = t₁ + t₂

$$V_{sr} = \frac{2s}{\frac{s}{V_{1}} + \frac{s}{V_{2}}} = \frac{2}{\frac{s(V_{2} + V_{1}}{V_{1}*V_{2}}} = \frac{2V_{1}V_{2}}{V_{1} + V_{2}}$$

$$V_{sr} = \frac{2*10*16}{10 + 16} = 12.3km/h$$

V₂ − V₁ = V_st + V_rz − V_st + V_rz

V₂ − V₁ = 2V_rz

$$V_{\text{rz}} = \frac{V_{2} - V_{1}}{2}$$

$$V_{\text{rz}} = \frac{16 - 10}{2} = 3km/h$$

Zad 3. Samolot leci z pkt. A do pkt. B położonego w odległości 300km na wschód. Określić czas przelotu, jeśli (1)wiatr nie wieje, (2)wiatr wieje z pn. na pł. (3)wiatr wieje z Zach. Na wsch. Prędkość wiatru V1=20m/s, prędk. Samolotu względem powietrza V2=600km/h.

$$Dane:\ s = 300\frac{\text{km}}{h},\ V_{1} = 20\frac{m}{s},\ V_{2} = 600\frac{\text{km}}{h}$$

Szuk: t_1, 2, 3

$$V_{2} = \frac{s}{t}$$

$$t = \frac{s}{V_{2}} = \frac{300}{600}\frac{\text{km}}{h} = 0,5h$$

V₂ + V₁ = V₂²

$$V = \sqrt{V_{2}^{2} - V_{1}^{2}}$$

$$V = \sqrt{600^{2} - 72^{2}} = 595,6\frac{\text{km}}{h}$$

$$t = \frac{s}{V} = \frac{300}{595,6} = 0504h$$

$$V = V_{2} + V_{1} = 600 + 72 = 673\frac{\text{km}}{h}$$

$$t = \frac{s}{V} = \frac{300}{672} = 0,446h$$

Zad4. Łódka płynie prostopadle do brzegu z prędkością 7.2km/h. Prąd znosi ją o 150m w dół rzeki. Prędkość prądów rzeki? Czas przeprawy przez rzekę? Szerokość rzeki wynosi 0,5km.

Dane: $V_{1} = 7,2\frac{\text{km}}{h} = 7,2*\frac{1000}{3600} = 2\frac{m}{s}$

d=150m, D=500m

Szuk: V_rz = ? / t=?

$$\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{D}{d}$$

$$V_{\text{rz}} = \frac{V_{1}*d}{D} = \frac{2*150}{500} = 0,6\frac{m}{s}$$

x² = D² + d²

$$x = \sqrt{D^{2} + d^{2}} = \sqrt{500^{2} + 150^{2}} = 522m$$

$$\frac{V_{1}}{V_{x}} = \frac{D}{x} = > V_{x} = \frac{V_{1}x}{D} = \frac{2*522}{500} = 2,1\frac{m}{s}$$

$$t = \frac{x}{V_{x}} = \frac{522}{2,1} = 248,6s$$

Zad 5 Ciał rzucone pionowo do góry powróciło na Ziemię po upływie 3s. Jaka była prędkość początkowa ciała? Na jaką wys. Wzniosło się ciało? Oporu powietrza nie uwzględniać. Dane:

t = 3s

Szuk:V₀ = ? / h_max = ?

$$h = V_{0}t_{1} - \frac{\text{gt}_{1}^{2}}{2}$$

$$h = \frac{\text{gt}_{2}^{2}}{2}$$

t₁ = t₂

$$V_{0} = \text{gt}_{1} = > V_{0} = \frac{\text{gt}}{2}$$

$$h = \text{gt}_{2}*t_{1} - \frac{\text{gt}_{1}^{2}}{2} = \frac{\text{gt}_{1}^{2}}{2} = \frac{g}{t}*(\frac{t}{2})^{2} = \frac{g}{2}*\frac{t^{2}}{4} = \frac{\text{gt}^{2}}{8}$$

$$h = \frac{10*3}{8} = 11,25\frac{m}{s}$$

$$V_{0} = \frac{\text{gt}^{2}}{2}$$

$$V_{0} = \frac{10*3}{2} = 15\frac{m}{s}$$

Zad 6 Ciało swobodnie padające przebywa połowę drogi w ciągu ostatniej sek. Swego ruchu. Z jakiej wys. H spadło to ciało? Czas spadania ciała?

Dane:

Szuk: t=? / H=?

$$h = \frac{\text{gt}^{2}}{2}$$

$$\frac{1}{2}h = \frac{\text{gt}_{1}^{2}}{2}$$

h = gt₁² = 10 * 1 = 10m

$$t = \sqrt{\frac{2*10}{10}} = \sqrt{2}\text{\ s}$$

Zad. 7 Pociąg jedzie z prędkością 36km/h. Gdy ustaje dopływ pary to pociąg zatrzymuje się po upływie 20s, jadąc ruchem jednostajnie opóźnionym. Przyśpieszenie ujemne pociągu, Odległość miejsca w którym należy przerwać dopływ pary wodnej od miejsca zatrzymania.

Dane: $V_{1} = 36\frac{\text{km}}{s} = 10\frac{m}{s}$ T=20s

V_k = 0

Szuk: a=? / s=?

V = −at = >

$$= > a = - \frac{V}{t} = - \frac{10}{20} = - 0,5\frac{m}{s^{2}}$$

$$S = \frac{{- at}^{2}}{2} = \frac{- 0,5*20}{2} = 5m$$

Zad8. Z wierzy o wys. h=25m rzucono poziomo kamień z prędkością V₀ = 15m/s. Czas lotu kamienia? Odległość s_x miejsca upadku kamienia na ziemię od podstawy wierzy? Prędkość v z jaką upadnie on na ziemię? Kąt φ jaki utworzy tor kamienia z poziomem w punkcie upadku na ziemię?

Dane: H=25m //V₀ = 15m/s

Szuk: t=? / x=?/ v=? /α=?

$$\left\{ \begin{matrix} V_{y} = gt \\ h = H - \frac{\text{gt}^{2}}{2} \\ S_{x} = V_{0}t \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$h = 0 = > H = \frac{\text{gt}^{2}}{2} = > t = \sqrt{\frac{2H}{g}} = \sqrt{\frac{2*25}{10}} = \sqrt{5}\text{\ s}$$

$$S_{x} = V_{0}t = V_{0}\sqrt{\frac{2H}{g}} = 15*\sqrt{5}\text{\ m}$$

$$\frac{V_{y}}{V} = sin\varphi$$

$$V^{2} = V_{y}^{2} + V^{2} = > V = \sqrt{V_{0}^{2} + (g*\sqrt{\frac{2H}{g}})^{2}} = \sqrt{V_{0}^{2} + 2Hg}$$

$$\frac{V_{y}}{v} = \frac{g*\sqrt{\frac{2H}{g}}}{\sqrt{V_{0}^{2} + 2Hg}} = \frac{10*\sqrt{5}}{\sqrt{15^{2} + 2*25*10}} = \frac{10\sqrt{5}}{\sqrt{725}} = 0,83$$

sinφ = 0, 83 = >φ = 56⁰

Zad9. Kamień rzucono w kierunku poziomym. Po upływie 0,5s od rozpoczęcia ruchu prędkość kamienia była 1.5 razy większa od prędkości początkowej. Znależć prędkość początkowa? Oporu nie uwzględniać.

Dane: t=0.5s / V=1.5 V₀

Szuk: V₀ = ?

$$h = H - \frac{\text{gt}^{2}}{2}$$

$$V = \sqrt{V_{0}^{2} + V_{y}^{2}} = \sqrt{V_{0}^{2} + g^{2}t^{2}}$$

$$1,5V_{0} = \sqrt{V_{0}^{2} + g^{2}t^{2}}\text{\ \ }/^{2}$$

2, 25V₀² = V₀² + g²t²

1, 25V₀² = g²t²

$$V_{0}^{2} = \frac{g^{2}t^{2}}{1,25}$$

$$V_{0} = \sqrt{\frac{g^{2}t^{2}}{1,25}} = \sqrt{20} = 4,47\frac{m}{s}$$

Zad10. Ciało rzucono z prędkością v₀ nachyloną pod kątem α do poziomu. Znaleźć przyspieszenie styczne i normalne ciała po upływie czasu t₀ od rozpoczęcia ruchu. Oporu powietrza nie uwzględniać.

Dane :  α, V₀

Szuk : a_r = ?,  a_st = ?

$\frac{V_{y}}{V_{0}} = sin\alpha$ => V_0y = V₀sinα = >V_x = V₀cosα

V_y = V₀sinα − gt

$$V = \sqrt{V_{x}^{2} + V_{y}^{2}} = \sqrt{V_{0}^{2}\text{co}s^{2}\alpha + V_{0}^{2}\sin^{2}\alpha - 2V_{0}sin\alpha gt + g^{2}t^{2}}$$

$$V = \sqrt{V_{0}^{2} - 2V_{0}sin\alpha gt + g^{2}t^{2}}$$

$$a_{s} = \frac{\text{dV}}{\text{dt}} = \frac{2V_{0}g\ sin\alpha + 2g^{2}t^{2}}{2\sqrt{V_{0}^{2} - 2V_{0}sin\alpha gt + g^{2}t^{2}}}$$

$$a_{r} = \sqrt{g^{2} - a_{s}^{2}}$$

Zad11. Znaleźć promień obracającego się koła jeśli wiadomo, że prędkość liniowa v₁ punktu znajdującego się na obwodzie jest 2.5 razy większa od prędkości liniowej v₂ punktu położonego o 5 cm bliżej osi koła.

Dane: V₁ = 2.5V₂

r-d= 5 cm=0,05m

ω= const

$$V_{1} = \frac{2\pi r}{T} = 2,5V_{2} = > V_{2} = \frac{2\pi r}{t}\frac{r}{2,5}$$

$$V_{2} = \frac{2\pi d}{T} = \frac{2\pi}{T}\left( r - 5 \right)$$

r = 2, 5r − 12, 5

$$r = \frac{12,5}{1,5} = 8,3cm$$

Zad12. Koło obracające się ruchem jednostajnie opóźnionym podczas hamowania zmniejszyło swoją prędkość w ciągu 1 min. W granicach od 300 obr/min. Do 180 obr/min. Znaleźć przyspieszenie kątowe i liczbę obrotów wykonanych w tym czasie przez koło.

t = 1min = 60s

ω₁ = 300obr/min

ω₂ = 180obr/min

$$\varepsilon = \frac{\omega_{1}}{t_{1}} = > t_{1} = \frac{\omega_{1}}{\varepsilon}$$

$$\varepsilon = \frac{\omega_{2}}{t_{2}} = > t_{2} = \frac{\omega_{2}}{\varepsilon}$$

$$t_{2} - t_{1} = \frac{\omega_{2}}{\varepsilon} - \frac{\omega_{1}}{\varepsilon} = (\omega_{2} - \omega_{1})\varepsilon$$

$$\varepsilon = \frac{\omega_{2} - \omega_{1}}{t} = \frac{180 - 300}{1} = - 120\ obr/min$$

$$n = \frac{- \varepsilon t^{2}}{2} = 120*\frac{1}{2} = 60obr/min$$

Zad13. Koło wiruje ze stałym przyspieszeniem kątowym ε=2 rad/s². Po upływie czasu t=0.5 s od rozpoczęcia ruchu przyspieszenie całkowite koła stało się równe a=13.6 cm/s². Znaleźć promień koła.

D: $\varepsilon = 2\frac{\text{rad}}{s}$, t=0,5s, $a_{c} = 0,136\frac{m}{s^{2\ }}$

a_st = εR

$$\omega = \varepsilon t = 1\frac{\text{rad}}{s}$$

V = ωR

$$a_{d} = \frac{V^{2}}{R} = \frac{\omega^{2}R^{2}}{R} = \varepsilon^{2}t^{2}R$$

$$a_{c} = \sqrt{a_{\text{st}}^{2} + a_{d}^{2}} = \sqrt{\varepsilon^{2}R^{2} + \varepsilon^{4}t^{4}R^{2}} = \varepsilon R\sqrt{1 + \varepsilon^{2}t^{2}}$$

$$R = \frac{a_{c}}{\varepsilon\sqrt{1 +}\varepsilon^{2}t^{2}} = \frac{0,136}{2\sqrt{1 + 4*0,25}} = \frac{0,136}{2\sqrt{2}} = 0,048m$$

Zad14.Ciężar windy z pasażerami wynosi 800kG. Znaleźć, z jakim przyspieszeniem i w jakim kierunku porusza się winda, jeśli wiadomo, że naciąg liny podtrzymującej windę wynosi: (1) 1200kG, (2) 600kG.

D: Q=800kG=8000N

N₁ = 1200kG = 12000N,  N₂ = 600kG = 6000N

Szuk: a₁ = ?,   a₂ = ?

F = Q − N(gdzy winda jedzie w dol)=>ma=Q-N

$$a = \frac{Q - N_{1}}{m}$$

$$a_{1} = \frac{Q - N_{1}}{m} = \frac{8000 - 12000}{800} = - \frac{400}{800} = - 5\frac{N}{\text{kg}} = - 5\frac{m}{s^{2}}$$

(przyśp. Ma znak „-”zatem winda porusza się do góry)

$$a_{2} = \frac{Q - N_{1}}{m} = \frac{8000 - 6000}{800} = 2,5\frac{m}{s^{2}}\ $$

(winda jedzie w dol)

Zad15. Pociąg o masie 500 t jedzie ruchem jednostajnie opóźnionym podczas hamowania, przy czym jego prędkość zmniejsza się w przeciągu czasu 1 min. Od 40 do 28 km/h. Znaleźć siłę hamowania

D: m=500t, t=1min=60s,

$$V_{1} = \frac{40km}{h} = 40*\frac{1000}{3600} = 11,1\frac{m}{s}$$

$$V_{2} = 28\frac{\text{km}}{h} = 28*\frac{1000}{3600} = 7,8\frac{m}{s}$$

F_h = ma

$$a = \frac{V}{t} = \frac{V_{2} - V_{1}}{t} = \frac{7,77 - 11,1}{60} = 0,0556\frac{m}{s^{2}}$$

F = ma = 5 * 10⁵ * 0, 0556 = 27800 * 10⁵N

Zad16. Ciężar samochodu wynosi 9.8*10³ N. Podczas jazdy na samochód działa siła tarcia równa 0.1 jego ciężaru. Jaką siłę pociągową powinien uzyskiwać silnik, aby samochód jechał: (1) ruchem jednostajnym, (2) z przyspieszeniem 2 m/s.

D: Q=9,8*10³N,  T = 0, 1Q szuk: F=?

ma = F − T

$$\ a = mg = > m = \frac{a}{g} = \frac{9,8*10^{3}N}{10} = 9,8*10^{2}kg$$

1)a=0, 0=F-T , F=T=9,8*10²N

2)a=2 m/s²

F = ma + T = 9, 8 * 10² * 2 + 9, 8 * 10² = 29, 4 * 10²N

Zad17. Znaleźć siłę napędową uzyskiwaną przez silnik samochodu wjeżdżającego z przyspieszeniem 1 m/s² na wzniesienie. Nachylenie wzniesienia wynosi 1 m na każde 25 m drogi. Ciężar samochodu wynosi 1500 kG, a współczynnik tarcia równa się 0.1.

D: a=1 m/s²,  Q = 15000N,  f = 0, 1,  s = 25m

F − T − Fs = ma

$$T = f*N,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ m\frac{Q}{g} = \frac{15000}{10} = 1500kg$$

$$\sin\alpha = \frac{1}{25},\ \ \ \ \ \frac{F_{s}}{Q} = sin\alpha$$

$$F_{s} = Qsin\alpha = 15000*\frac{1}{25} = 600N$$

Q² = F_s² + N²

$$N = \sqrt{Q^{2} - F_{s}^{2}} = \sqrt{15000^{2} - 600^{2}} = 1498,8N$$

F = 1500 * 1 + 600 + 1498, 8 = 3598, 8

ffffffffffffffggsethffg2,∗𝑜𝑠𝑜𝑠Zad18. Ciało zsuwa się po równi pochyłej, tworzącej z poziomem kąt ϑ=45⁰. Po przebyciu drogi s = 36.4 cm osiąga ono prędkość v=2 m/s. Jaką wartość ma współczynnik tarcia ciała o równię?

Dane: $\alpha = 45^{0},\ s = 36,4cm = 0,364m,\ V = 2\frac{m}{s}$

$$s = \frac{at^{2}}{2},\ \ V = at = > t = \frac{V}{a},\ \ \ S = \frac{V^{2}}{2a} = > a = \frac{V^{2}}{2s}$$

$$a = \frac{2^{2}}{2*0,364} = 5,5\frac{m}{s^{2}}$$

ma = Fs − T,    T = f * N

$$\frac{F_{s}}{Q} = sin\alpha = sin45^{0} = \frac{\sqrt{2}}{2} = > cos\alpha = \frac{N}{Q}$$

F_s = mg sinα,  N = mg cosα,  ma = Fs − T

ma = mgsinα − f mg cosα,   a = g sinα − fg cosα

$$f = \frac{10*\frac{\sqrt{2}}{2} - 5,5}{10*\frac{\sqrt{2}}{2}} = 0,22$$

Zad19. Dwa odważniki o ciężarach Q₁=2 kG i Q₂=1 kG są połączone nicią przerzuconą przez nieważki krążek. Znaleźć: (a) przyspieszenie, z jakim poruszają się odważniki, (b) nacią nici. Tarcie pominąć.

D: Q₁ = 20N,  Q₂ = 10N

Szuk: a=?, N=?

m₁a = Q₁ − N

m₂a = N − Q₂ = >N = m₂a + Q₂

$$m_{1} = \frac{Q_{1}}{g} = \frac{20}{10} = 2kg$$

$$m_{2} = \frac{Q_{2}}{g} = \frac{10}{10} = 2kg$$

m₁a = Q₁ − m₂a − Q₂

m₁a + m₂a = Q₁ − Q₂ = >a(m₁+m₂) = Q₁ − Q₂

$$a = \frac{Q_{1} - Q_{2}}{m_{1} + m_{2}} = \frac{20 - 10}{2 + 1} = \frac{10}{3}\frac{m}{s^{2}}$$

$$N = m_{2}a + Q_{2} = 1*\frac{10}{3} + 10 = 13\frac{1}{3}N$$

Zad20. Nieważki krążek jest umieszczony jest u wierzchołka podwójnej równi pochyłej (połączonych pionowymi bokami) o kątach nachylenia odpowiednio α i β. Odważniki o ciężarach P₁ i P₂ są połączone nicią przerzuconą przez krążek. Współczynniki tarcia o równię wynoszą odpowiednio µ₁ i µ₂. Tarcie w krążku pomijamy. Znaleźć: (1) przyspieszenie, z jakim poruszają się odważniki, (2) nacią nici.

D:

Szuk: a=?, N=?

Fs₂ − N − T₂ = m₂a           N − T₁ − Fs₁ = m₁a

$$P_{2}sin\alpha - N_{P_{2}}\text{cosα}f_{2} = \frac{P_{2}a}{g}$$

N − P₁cosαf₁ − P₁sinα = m₁a

$$P_{2}sin\alpha - P_{2}\text{cosα}f_{2} - P_{1}\text{cosα}f_{1} - P_{1}sin\alpha = a\left( \frac{P_{2}}{g} + \frac{P_{1}}{g} \right)$$

$$a = \frac{P_{2}sin\alpha - P_{2}\text{cosα}f_{2} - P_{1}\text{cosα}f_{1} - P_{1}\text{sinα}}{\frac{P_{2}}{g} + \frac{P_{1}}{g}}$$

$$N = \frac{P_{1}}{g}|*a + P_{1}sin\alpha + P_{1}\text{cosα\ f}$$

Zad21 Jaką pracę należy wykonać, aby ciało o masie 2 kg pozostające w ruch (a) zwiększyło swą prędkość od 2 m/s do 5 m/s, (2) zatrzymało się, jeśli jego prędkość początkowa v₀=8 m/s.m

D; m=2kg, V1=2 m/s, V2=5 m/s Vo=8m/s, Vk=0

$$a)\ V_{1} = at_{1} = > t_{1} = \frac{V_{1}}{a},\ V_{1} = at_{2} = > t_{2} = \frac{V_{2}}{a}$$

$$s = V_{1}t + \frac{at_{2}}{2} = \frac{V_{1}\left( V_{2} - V_{1} \right)}{a} + \frac{a(V_{2} - V_{1})^{2}}{{2a}^{2}} =$$

$$= \frac{2V_{1}\left( V_{2} - V_{1} \right) + (V_{2} - V_{1})^{2}}{2a} =$$

$$= \frac{2V_{1}*V_{2} - 2V_{1}^{2} + V_{2}^{2} - 2V_{1}V_{2} + V_{1}^{2}}{2a} = \frac{\mathbf{V}_{\mathbf{2}}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{V}_{\mathbf{1}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2a}}$$

$$W = F*s = ma\frac{V_{2}^{2} - V_{1}^{2}}{2a} = m\frac{V_{2}^{2} - V_{1}^{2}}{2} = 2\frac{5*2^{2}}{2} = 16J$$

$$b)\ s = \frac{at_{2}}{2},\ \ a = \frac{V_{0} - V_{k}}{t} = > t = \frac{V_{0} - V_{k}}{a}$$

$$s = \frac{a}{2}\left( \frac{V_{0} - V_{k}}{a} \right) = \frac{a}{2}\ \frac{(V_{0} - V_{k})^{2}}{a^{2}} = \frac{(V_{0} - V_{k})^{2}}{2a}$$

$$W = m\ a\ s = ma\frac{(V_{0} - V_{k})^{2}}{2a} = \frac{m(V_{0} - V_{k})^{2}}{2} = \frac{2*(8 - 0)^{2}}{2} = 64J$$

Zad22. Kamień rzucony po powierzchni lodu z prędkością v=2 m/s przebył do chwili całkowitego zatrzymania się odległość s = 20.4 m. Znaleźć współczynnik tarcia o lód, uważając go za stały.

D:V=2m/s, S=20,4m
Szuk: F=?

$$ma = T,\ t = \frac{V_{p} - V_{k}}{a}$$

$$s = \frac{at_{2}}{2} = \frac{a}{2}\ \frac{(V_{0} - V_{k})^{2}}{a^{2}} = \frac{\mathbf{V}_{\mathbf{p}}^{\mathbf{2}}\mathbf{- 2}V_{p}V_{k} + {V_{k}}^{2}}{a^{2}} = \frac{V_{p}^{2}}{2a} = > a = \frac{V_{p}^{2}}{2s}$$

$$ma = T,\ \ \ ma = \mu\ N = \mu\ mg = > a = \mu\ g = > \frac{V_{p}^{2}}{2s} = \mu\ g$$

$$\mu = \frac{V_{p}^{2}}{2sg} = \frac{2^{2}}{2*20,4*10} = \frac{4}{408} \approx 0,01\ \left\{ \left\lbrack \mu \right\rbrack = \frac{(\frac{m}{s})^{2}}{m\frac{m}{s^{2}}} = \right.\ \left. \ \left\lbrack 1 \right\rbrack \right\}$$

Zad23. Wagon o ciężarze 20 T, jadący ruchem jednostajnie opóźnionym, po upływie pewnego czasu zatrzymuje się wskutek działania siły tarcia 6000 N. Prędkość początkowa wagonu wynosi 54 km/h. Znaleźć: (1) pracę sił tarcia, (2) drogę, jaką wagon przebędzie d9o chwili zatrzymania się.

D: m=2T=20*10³kg T=6000N

$$v = 54\ km/h = 54*\frac{1000}{3600} = 15\frac{m}{s}$$

Szuk: W=? S=?

$$T = F,\ T = ma,\ m = \left. \ \frac{Q}{g} \right\} = >$$

$$= > T = \frac{Q}{g}a = > a = \frac{T*g}{Q} = \frac{6000*10}{20*10^{3}} = 3\frac{m}{s^{2}}$$

$$\left\{ \begin{matrix} s = \frac{1}{2}\text{at}^{2} \\ a = \frac{V_{p}}{t} = > t = \frac{V_{p}}{a} \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$s = \frac{1}{2}a\frac{V_{p}^{2}}{a^{2}} = \frac{1}{2}\frac{V_{p}^{2}}{a} = \frac{1}{2}\frac{{\ 15}^{2}}{2} = \frac{225}{6} = 37,5m\ $$

W_t = T * s = 6000 * 37, 5 = 225000J

$$D:Q = 2kG = > m = 2kg,\ \ t = 1.43\ \ \ \ \ \ \ \ \ g = 10\frac{m}{s^{2}}$$

Szuk: Ek=? Ep=?

$$s = \frac{g(t)^{2}}{2} = \frac{10*{1,43}^{2}}{2} = 10,22m$$

$$h = \frac{S}{2} = 5,11m$$

$$E_{p\frac{1}{2}h} = mgh = 2*10*5,11 = 102,2J$$

E_k = E_pc − E_p = mgS − mgh = 102, 2J

Zad25. Po równi pochyłej o wysokości 1 m i długości zbocza 10 m ześlizguje się ciało o masie 1 kg. Znaleźć: (1) energię ciała u podnóża równi, (2) prędkość ciała u podnóża równi, (3) odległość przebytą przez ciało wzdłuż poziomego odcinka drogi do chwili zatrzymania się. Współczynnik tarcia wzdłuż całej drogi uważać za stały i równy 0.05.

D: h=1m, S=10m, m=1kg, f=0,5

Szuk: E=?, V=?, x=?

$$T = N*m,\ ma = F_{s} - T,\frac{h}{s} = sin\alpha = \frac{1}{10}$$

$$\frac{F_{s}}{\text{mg}} = sin\alpha = > F_{s} = mgsin\alpha$$

$$\frac{N}{\text{mg}} = cos\alpha = > N = mgcos\alpha$$

ma = mgsinα − μ mgcosα,  a = g(sinα − cosα)

$$S = \frac{at_{2}}{2} = > t\sqrt{\frac{2s}{a},\ \ \ V_{k} = at},\ t = \sqrt{\frac{2s}{g(sin\alpha - \mu cos\alpha)}}$$

$$V_{k} = at = g\left( sin\alpha - \mu cos\alpha \right)*\sqrt{\frac{2s}{g\left( sin\alpha - \mu cos\alpha \right)}} = \sqrt{\frac{2s(g\left( sin\alpha - \mu cos\alpha \right))^{2}}{g\left( sin\alpha - \mu cos\alpha \right)}} = \sqrt{2sg\left( sin\alpha - \mu cos\alpha \right)}$$

$$1)\ E_{k} = \frac{mV_{k}^{2}}{2} = \frac{m}{2}*2sg\left( sin\alpha - \mu cos\alpha \right) =$$

$$= 10*10*\left( \frac{1}{10} - \frac{3}{10}*\sqrt{11}*0,05 \right) = 5,025J$$

$$2)\ V_{k} = \sqrt{2sg\left( sin\alpha - \mu cos\alpha \right)} = \sqrt{2*10*10(\frac{1}{10} - \frac{3}{10}*\sqrt{11}*0,05} = 3,17\frac{m}{s}$$

$$x = 3\sqrt{11}$$

Zad26. Znaleźć, jaką moc uzyskuje silnik sam. o masie 1 t, jeśli samochód jedzie ze stałą prędkością 36 km/h: (1) po drodze poziomej, (2) pod górę o nachyleniu 5 m na każde 100 m drogi, (3) z góry o takim samym nachyleniu. Współczynnik tarcia wynosi 0.07.

D: m=1t=10³kg, V=36km=36*$\frac{1000}{36000} = 10m/s$, f=0,07

$P = \frac{w}{t} = \frac{F*s}{t} = \frac{F*V*t}{t} = F*V$

F = T = μ mg

P = μ mg V = 0, 07 * 1000 * 10 * 10 = 7000W

2) w = 5m,   s = 100m

$$\frac{h}{s} = sin\alpha,\frac{h}{b} = cos\alpha,\ h^{2} + b^{2} = r^{2},\ b = \sqrt{s^{2} - h^{2}}$$

$$F = T - F_{s},\frac{N}{\text{mg}} = cos\alpha,\frac{F_{s}}{\text{mg}} = cos\alpha$$

F = μ mg cosα + mg sinα = mg(μ cosα + sinα)

$$F = mg\left( \mu\frac{h}{\sqrt{s^{2} - h^{2}}} + \frac{h}{s} \right) =$$

$$1000*10*(0,07\frac{5}{\sqrt{100^{2} + 5^{2}}} + \frac{5}{100} = 535N$$

$$P = F - V = mg\left( \mu\frac{h}{\sqrt{s^{2} - h^{2}}} + \frac{h}{s} \right)V = 5350N$$

F = F_s − T = mgsinα − μ mgcosα

$$F = mg\left( \frac{h}{s} - \mu\frac{h}{\sqrt{s^{2} - h^{2}}} \right)$$

$$P = F*V = mg\left( \frac{h}{s} - \mu\frac{h}{\sqrt{s^{2} - h^{2}}} \right) =$$

$$10*1000*10(\frac{5}{100} - 0,07*\frac{5}{\sqrt{100^{2} + 5^{2}}}$$

Zad27. Samochód o ciężarze 1 T zjeżdża ze wzniesienia ze stałą prędkością 54 km/h, mając wyłączony silnik. Nachylenie wzniesienia wynosi 4 m na 100 m drogi. Jaką moc powinien uzyskiwać silnik, aby samochód poruszał się z taką samą prędkością, wjeżdżając na wzniesienie o identycznym nachyleniu?

D:$m = 10^{3}kg,\ V = 54\frac{\text{km}}{h} = 15\frac{m}{s},\ h = 4m$

$$F = F_{s} + T = mg\ sin\alpha + fmg\ cos\alpha = 10^{4}\frac{4}{100} + 10^{4}*0,04*\frac{99,9}{100}$$

F=400+39,96=439,96N

P=F*v=6599,4W

2)mh sinα = fmgcosα

$$f = tg\alpha = \frac{4}{99,9} = 0,04$$

Zad28. Łyżwiarz o ciężarze 10 kG, stojąc na łyżwach na lodzie, rzuca w kierunku poziomym kamień o ciężarze 3 kG z prędkością 8 m/s. Obliczyć, na jaką odległość przemieści się przy tym łyżwiarz, jeśli współczynnik tarcia o lód wynosi 0.02.

D: m=10kg, m₁=3kg,v₁=8 m/s, f=0,02

Szuk:S=?

0=mv-m₁v₁

mv=m₁v₁

$$v = \frac{m_{1}v_{1}}{m} = \frac{3*8}{10} = 2,4\frac{m}{s}$$

$$E_{k} = W\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{\text{mv}^{2}}{2} = fmg\ s$$

$$S = \frac{\text{mv}^{2}}{2fmg} = \frac{{2,4}^{2}}{2*0,02*10} = 14,4m$$

Zad29. Z działa o masie 5*10³ kg wylatuje pocisk o ciężarze 100 kG. Energia kinetyczna wylatującego pocisku wynosi 7.5*10⁶ J. Jaką energię kinetyczną uzyskuje działo wskutek odrzutu?

D:m=5*10³kg, m₁=100kg, E_k1=7,5*10⁶J E_k=?

$$E_{k1} = \frac{m_{1}v_{1}^{2}}{2}$$

$$v_{1} = \sqrt{\frac{2E_{k1}}{m_{1}}} = \sqrt{\frac{2*7,5*10^{6}}{100}} = 387,3\frac{m}{v}$$

m₁v₁ = mv

$$v = \frac{m_{1}v_{1}}{m} = \frac{100*387,3}{5*10^{3}} = 7,7\ m/s$$

$$E_{k2} = \frac{mv^{2}}{2} = \frac{5*10^{3}*{7,7}^{2}}{2} = 15*10^{4}J$$

Zad30. Ciało o ciężarze 3 kG porusza się z prędkością 4 m/s i zderza się z nieruchomym ciałem o takim samym ciężarze. Rozpatrując zderzenie jako środkowe i niesprężyste, znaleźć ilość ciepła wydzielającego się podczas zderzenia.

D: m=3kg, v=4m/s, m₂=3kg Q=? =>E_k-E_k1

mv=(m+m₂)v₁

$$v_{1} = \frac{3*4}{6}2\frac{m}{s}\text{\ \ \ \ \ }E_{k} = \frac{\text{mv}^{2}}{2} = \frac{3*16}{2} = 24J$$

$$E_{k1} = \frac{(m + m_{2)}}{2} = \frac{6*4}{2}12J\ \ \ \ Q = E_{k} - E_{k1} = 12J$$

Zad31. Koło zamachowe o momencie bezwładności I=63.6 kg*m² obraca się ze stałą prędkością kątową ω=31.4 rad/s. Obliczyć moment hamujący M, pod którego działaniem koło zamachowe zatrzymuje się po upływie t =20 s.

D: I=63,6kg*m²,$\omega = 31,4\frac{\text{rad}}{s},\ t = 20s\ \ \ \ \ \ M = ?$

$$\varepsilon = \frac{\omega}{t} = \frac{M}{I}\ \ \ \ \ \omega I = Mt$$

$$M = \frac{\omega I}{t} = \frac{31,4*63,6}{20} = 99,8N*m$$

Zad32. Do obwodu tarczy o promieniu 0.5 m i masie 50 kg jest przyłożona siła styczna równa 10 kG. Wyliczyć: (1) przyspieszenie kątowe tarczy, (2) czas od rozpoczęcia działania siły, po upływie którego tarcza osiągnie prędkość obrotową 100 obr/min.

D: r=0,5m, m=50kg, F=100N ε = ?,  t = ?

$$f = 100\frac{\text{obr}}{\min} = 100\frac{\text{obr}}{60s} = \frac{10}{6}\text{Hz}$$

2πf = εt

$$t = \frac{2\pi f}{\varepsilon} = \frac{2\pi f}{\varepsilon} = \frac{2\pi*10}{6*8} = 1,3s$$

$$I = \frac{1}{2}mr^{2}$$

$$\varepsilon = \frac{M}{I} = \frac{F*r^{2}}{mr^{2}} = \frac{F*2}{\text{mr}} = \frac{100*2}{50*0,5} = 8\frac{\text{rad}}{s^{2}}$$

Zad33. Koło zamachowe o momencie bezwładności 245 kg*m² obraca się, wykonując 20 obr/s. Koło zatrzymało się po upływie minuty, licząc od chwili ustania działania momentu obrotowego. Obliczyć: (1) moment sił tarcia, (2) liczbę obrotów wykonanych przez koło do całkowitego zatrzymania się po ustaniu działania sił.

D:I=245kg*m², f=20Hz, ∆t=1min=60s

Szuk: M=? , µ=?

$$\varepsilon = \frac{M}{I} = \frac{\omega}{t} = \frac{245*2\pi*20}{60} = 512,9N*m$$

$$0 = 2\pi f - \varepsilon t = > \varepsilon = \frac{2\pi f}{t}\ \ \ \ \ \ \ \ \alpha = \frac{\varepsilon t^{2}}{2}$$

$$\mu 2\pi = \frac{\frac{2\pi f}{t}*t^{2}}{2} = \frac{\text{ft}}{2} = \frac{20*60}{2} = 600$$

Zad34. Na walcu o masie M=9 kg jest nawinięty sznur, na którego końcu jest przywiązany odważnik o masie m=2kg. Znaleźć przyspieszenie odważnika. Walec rozpatrywać jako jednorodny; tarcie pominąć.

D: M=9kg, m=2kg szuk: a =?

ma=mg-N

$$\varepsilon = \frac{N*R}{I} = \frac{N*R}{\frac{1}{2}MR^{2}} = \frac{2N}{\text{MR}} = > \mathbf{\varepsilon =}\frac{\mathbf{a}}{\mathbf{R}}$$

$\frac{2N}{\text{MR}} = \frac{a}{R}\ \ /*R$ 2N=Ma

$$N = \frac{\text{Ma}}{2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ma = mg - \frac{\text{Ma}}{2}$$

$$ma + \frac{\text{Ma}}{2} = mg\ \ \ \ \ a\left( m + \frac{M}{2} \right) = mg\ \ \ \ \ a = \frac{mg^{2}}{m + \frac{M}{2}}$$

Zad35. Na bębnie o promieniu R=0.5 m jest nawinięty sznur, na którego końcu jest przywiązany odważnik G=10 kG. Obliczyć moment bezwładności bębna, jeżeli odważnik opada z przyspieszeniem a=2.04 m/s².

D: a=2,04m/s², R=0,5m, Q=100N Szuk: I=?

Q-N=ma

$$\varepsilon = \frac{M}{I} = \frac{\text{NR}}{I}\text{\ \ \ \ \ \ \ }$$

$$\ \varepsilon = \frac{a}{R}\text{\ \ \ \ \ \ \ }\frac{\text{NR}}{I} = \frac{a}{R}\ \ \ \ \ N = \frac{\text{aI}}{R^{2}}$$

$$Q - \frac{\text{aI}}{R^{2}} = \frac{Q}{g}a\ \ \ \ \ \ Q - \frac{Q}{g}a = \frac{\text{aI}}{R^{2}}\ \ /*R^{2}\ /:I$$

$$\frac{\left( Q - \frac{Q}{g}a \right)R^{2}}{a} = I$$

$$I = \frac{\left( 100 - \frac{2,04}{10}*100 \right)0,25}{2,04} = 9,75kg*m^{2}$$

Zad36. Krąże2k o ciężarze 2 kG toczy się bez poślizgu po płaszczyźnie poziomej z prędkością 4 m/s. Znaleźć energię kinetyczną krążka.

D; Q=20N, V=4 m/s Szuk:E_k=?

$$E_{k} = \frac{I\omega^{2}}{2} + \frac{\text{mv}^{2}}{2} = \frac{\frac{1}{2}\text{mr}^{2}*\frac{v^{2}}{r^{2}}}{2} + \frac{\text{mv}^{2}}{2} = \frac{\frac{3}{2}\text{mv}^{2}}{2} = \frac{3}{4}mv^{2}$$

$$E_{k} = \frac{3}{4}*\frac{Q}{9}*v^{2} = \frac{3}{4}*\frac{20}{10}*16 = 24J$$

Zad37. Obręcz i krążek mają jednakowy ciężar G i toczą się bez poślizgu z jednakową prędkością liniową v. Energia kinetyczna obręczy wynosi E_k1=4 kGm. Znaleźć energię kinetyczną E_k2 krążka.

D: Q, V, E_k1=40J, Szuk: E_k2=?

$$E_{k1} = \frac{\text{mv}^{2}}{2} + \frac{I\omega^{2}}{2} = \frac{\text{mv}^{2}}{2} + \frac{mr^{2}*\frac{v^{2}}{r^{2}}}{2} = \text{mv}^{2} = \frac{Q}{g}r^{2}$$

$$E_{k2} = \frac{\text{mv}^{2}}{2} + \frac{\frac{1}{2}\text{mv}^{2}\frac{v^{2}}{r}}{2} = \frac{\frac{3}{2}\text{mv}^{2}}{2} = \frac{3}{4}\text{mv}^{2} = \frac{3}{4}\frac{Q}{g}r^{2}$$

$$E_{k2} = \frac{3}{4}E_{k1}$$

Zad38. Chłopiec toczy obręcz po drodze poziomej z prędkością 7.2 km/h. Na jaką odległość może wtoczyć się obręcz po wzniesieniu kosztem jej energii kinetycznej? Nachylenie wzniesienia wynosi 10 m na 100 m drogi.

D; $V = \frac{7,2km}{h} = \frac{7,2*1000}{3600} = 2\ m/s$ Szuk: E_k=?

E_kp = E_ko + E_k

$$E_{k} = \frac{I\omega^{2}}{2} + \frac{\text{mv}^{2}}{2} = \frac{\text{mr}^{2}\frac{r^{2}}{r^{2}}}{2} + \frac{\text{mv}^{2}}{2} = \text{mv}^{2}$$

E_k=E_p

mv² = mgh  /:mg

$$h = \frac{r^{2}}{g} = \frac{4}{10} = 0,4$$

…

$$\frac{10}{0,4} = \frac{100}{s}\ \ \ \ \ \ \ \ \ s = \frac{0,4*100}{10} = 4m$$

Zad39. Kula miedziana o promieniu R=10 cm wiruje z prędkością obrotową n=2 obr/s wokół osi przechodzącej przez jej środek. Jaką pracę należy wykonać, ażeby dwukrotnie zwiększyć prędkość kątową obrotu kuli?

D: R=10cm=0,1m, f=2obr/s, ω_k=2ω_o Szuk:W=?

$$W = E_{\text{kk}} + E_{\text{ko}} = \frac{I\omega_{k}^{2}}{2} - \frac{I\omega_{o}^{2}}{2} = >$$

$$= \frac{\frac{2}{5}mr^{2}}{2}(\left( 2\omega_{o})^{2} - \omega_{o}^{2} \right) = \frac{\text{mr}^{2}}{5}(4\omega_{o}^{2} - \omega_{o}^{2})$$

$$W = \frac{\text{mr}^{2}}{5}*3\omega_{0}^{2} = \frac{\text{mr}^{2}}{5}3*4\pi^{2}f_{o}^{2} = \frac{\frac{4}{3}\text{πr}^{5}g*3*4\pi^{2}f_{0}^{2}}{5}$$

Zad40. Wentylator wiruje z prędkością obrotową 900 obr/min. Po wyłączeniu wentylator obraca się ruchem jednostajnie opóźnionym i do momentu zatrzymania się wykonuje 75 obrotów. Praca sił hamowania równa się 44.4 J. Obliczyć: (1) moment bezwładności wentylatora, (2) moment sił hamowania.

D: $f = 900\frac{1}{\min} = \frac{900}{60}\frac{1}{s} = 15\frac{1}{s},\mu = 75,\ W = 44,4J$

Szuk: I=? , M=?

$$W = E_{k} = \frac{I4\pi^{2}f^{2}}{2}$$

$$I = \frac{W}{{2\pi}^{2}f^{2}} = \frac{44,4}{2*3,14^{2}*225} = 0,01kg*m^{2}$$

$$\mu*2\pi = 2\pi ft - \frac{\varepsilon t^{2}}{2}$$

0 = 2πf − εt

$$t = \frac{2\pi f}{\varepsilon}$$

$$\mu 2\pi = \frac{4\pi^{2}f^{2}}{\varepsilon} - \varepsilon\frac{{4\pi}^{2}f^{2}}{\varepsilon^{2}2} = \frac{{2\pi}^{2}f^{2}}{\varepsilon}$$

$$\varepsilon = \frac{{2\pi}^{2}f^{2}}{\mu 2\pi} = \frac{3,14*15^{2}}{75} = 9,42\ rad/s$$

$$\varepsilon = \frac{M}{I} = > M = \varepsilon I = 9,42*0,01 = 0,094N*m$$

Zad41. Ołówek o długości 15 cm ustawiony pionowo pada na stół. Jaką prędkość kątową i prędkość liniową będzie miał w końcu upadku: (1) środek ołówka, (2) jego górny koniec?

D: l=15cm=0,15m

$$\text{mg}\frac{l}{2} = \frac{I\omega^{2}}{2} = \frac{\frac{1}{3}ml^{2}\omega^{2}}{2}\ /*2\ \ /:ml$$

$$g = \frac{1}{3}l\omega^{2}$$

$$\omega = \sqrt{\frac{3g}{l}} = \sqrt{\frac{30}{0,15}} = 14,1\ rad/s$$

$$V_{sr} = \omega\frac{l}{2} = 14,1*\frac{0,15}{2} = 1,1\ m/s$$

V_k = ωl = 2, 2 m/s

Zad42. Poziomy stolik o masie 100 kg obraca się wokół osi pionowej przechodzącej przez jego środek, wykonując 10 obr/min. Człowiek o ciężarze 60 kG stoi wówczas na skraju stolika. Z jaką prędkością zacznie się obracać stolik, jeśli człowiek przejdzie ze skraju stolika na środek? Stolik uważać za krążek jednorodny, a człowieka za masę punktową.

D: M=100kg, f=10 obr/min=$\frac{10}{60}\frac{1}{S}$, m=60kg Szuk: f₁=?

$$b = I\omega = \left( \frac{1}{2}MR^{2} + mR^{2} \right)2\pi f$$

Zas. zach. Momentu pędu – b=b₁

$$b_{1} = I_{1}\omega_{1} = \frac{1}{2}MR^{2}*2\pi f_{1}$$

$$\left( \frac{1}{2}MR^{2} + mR^{2} \right)2\pi f = \frac{1}{2}MR^{2}2\pi f_{1}$$

$$f_{1} = \frac{(\frac{1}{2}M + m)R^{2}2\pi f}{\frac{1}{2}MR^{2}2\pi} = \frac{110f}{50} = \frac{11}{5}f = \frac{11}{5}*\frac{1}{6} = \frac{11}{30}\text{Hz}$$

Zad43. Jaką pracę wykonuje człowiek przy przejściu ze skraju stolika na środek w warunkach poprzedniego zadania? Promień stolika równa się 1.5 m.

D:1,5m szuk: W=?

$$W = E_{k} = \frac{\text{mv}^{2}}{2} - 0 = \frac{m(2\pi fr)^{2}}{2} = \frac{m4\pi^{2}f^{2}r^{2}}{2} = >$$

$$m2\pi^{2}f^{2}r^{2} = 60*2*3,14^{2}*(\frac{1}{6})^{2}*{1,5}^{2} = 73,9J$$

Zad44. Do obwodu krążka o masie m=5 kg jest przełożona stała siła styczna F=2 kG. Jaką energię kinetyczną uzyska krążek po upływie czasu t=5 s od rozpoczęcia działania siły?

D: m=5kg, F=20N, t=5s szuk: E_k=?

$$\varepsilon = \frac{M}{I} = \frac{F*r}{\frac{1}{2}mr^{2}} = \frac{2F}{\text{mr}}\ \ \ \ \ \ \omega = \varepsilon t = \frac{2F}{\text{mr}}t$$

$$E_{k} = \frac{I\omega^{2}}{2} = \frac{\frac{1}{2}mr^{2}*4F^{2}t^{2}}{2m^{2}r^{2}} = \frac{F^{2}t^{2}}{m}$$

$$E_{k} = \frac{400*25}{5} = 2000J$$

Zad45. O jaki kąt należy odchylić pręt jednorodny o długości 1 m zawieszony na osi poziomej, przechodzącej przez jego górny koniec, aby dolny koniec pręta przy przechodzeniu przez położenie równowagi osiągnął prędkość 5 m/s ciepła wydzielającego się podczas zderzenia.

D: l=1m, V=5m/s Szuk: α=?

$$2\frac{x}{l} = cos\alpha = > x = \frac{\text{l\ cosα}}{2}$$

$$h = \frac{l}{2} - x = > \frac{l}{2} - \frac{\text{l\ cosα}}{2} = \frac{l}{2}\left( 1 - cos\alpha \right)$$

V = ωl

$$mgh = \frac{I\omega^{2}}{2}\text{\ \ \ \ \ }\frac{\text{mgl}}{2}\left( 1 - cos\alpha \right)\frac{\frac{1}{3}ml^{2}\omega^{2}}{2}$$

$$g\left( 1 - cos\alpha \right) = \frac{\text{lω}}{3}$$

$$g\left( 1 - cos\alpha \right) = \frac{lv^{2}}{l^{2}3} = \frac{v^{2}}{3l}$$

$$1 - cos\alpha = \frac{v^{2}}{3lg} = \frac{25}{3*10*1} = \frac{25}{30} = \frac{5}{6}$$

$$- cos\alpha = \frac{5}{6}$$

$$1 - \frac{5}{6} = cos\alpha = > \frac{1}{6} = cos\alpha = > \alpha = 80^{0}$$