Dane źródłowe

Inercyjne
L.p.
1
2
3
4
5
6
7
8
9

Dane te następnie mnożymy przez współczynnik danych równy 1,8.

Inercyjne – z uwzględnieniem współczynnika danych
L.p.
1
2
3
4
5
6
7
8
9

Schemat układu

Obliczenia – model 1

Opis modelu: na osi wirnika zamontowana jest tarcza – wirujące koło o momencie bezwładności zredukowanym I_br. Przyłożone są do niego momenty zredukowane: od lewej strony moment czynny zredukowany M_cr, a od prawej strony moment oporu zredukowany M_opr.

Pierwszym krokiem będzie obliczenie momentu bezwładności zredukowanego I_br ze wzoru:

$$I_{\text{red}} = \frac{\sum_{i}^{}{m_{i} \bullet V_{i}^{2}} + \sum_{i}^{}{j_{i} \bullet \omega_{i}^{2}}}{\omega_{A}^{2}}$$

Zakładając że ω_A to prędkość obrotowa modelowanej tarczy, należy zapisać ω_i każdego elementu układu jako funkcję ω_A tak aby wyeliminować tą wartość z powyższego wzoru. Tak samo V_i należy przedstawić jako funkcję ω_A. Wyniki zebrano w poniższej tabeli:

Element	ωi
Silnik	ωA
Sprzęgło 1	ωA
Koło 1	ωA
Koło 2	$${\frac{z_{1}}{z_{2}}\omega}_{A}$$
Koło 3	$${\frac{z_{1}}{z_{2}}\omega}_{A}$$
Koło 4	$${\frac{z_{1}z_{4}}{z_{2}z_{3}}\omega}_{A}$$
Sprzęgło 2	$${\frac{z_{1}z_{4}}{z_{2}z_{3}}\omega}_{A}$$
Bęben zwijarki	$${\frac{z_{1}z_{4}}{z_{2}z_{3}}\omega}_{A}$$
Hamulec	$${\frac{z_{1}z_{4}}{z_{2}z_{3}}\omega}_{A}$$

Element	Vi
Masa bezwładna	$${\frac{z_{1}z_{4}}{z_{2}z_{3}}\omega}_{A} \bullet \frac{d_{b}}{2}$$

Podstawiając powyższe założenia do wzoru na moment bezwładności zredukowany otrzymujemy:

$$I_{\text{br}} = I_{\text{ws}} + I_{sp1} + I_{k1} + \left( I_{k2} + I_{k3} \right) \bullet \left( \frac{z_{1}}{z_{2}} \right)^{2} + \left( I_{k4} + I_{sp2} + I_{\text{bw}} + I_{\text{bh}} \right) \bullet \left( \frac{z_{1} \bullet z_{3}}{z_{2} \bullet z_{4}} \right)^{2} + m_{k} \bullet \frac{d^{2}}{4} \bullet \left( \frac{z_{1} \bullet z_{3}}{z_{2} \bullet z_{4}} \right)^{2}$$

Podstawiając wartości liczbowe otrzymujemy wynik:

I_br = 2, 415[kg•m²]

Drugim krokiem jest obliczenie momentu czynnego zredukowanego M_cr, który w tym przypadku jest równy momentowi pochodzącemu od wału silnika:

M_cr=M_s=450[Nm]

Trzecim krokiem jest obliczenie momentu oporów zredukowanego M_opr. Wzór na jego obliczenie jest następujący:

$$\mathbf{M}_{\mathbf{\text{opr}}} = \left( M_{h} + m_{k} \bullet g \bullet \frac{d_{b}}{2} \right) \bullet \frac{z_{1} \bullet z_{3}}{z_{2} \bullet z_{4}}$$

gdzie:

$m_{k} \bullet g \bullet \frac{d_{b}}{2}$ – moment pochodzący od wyciąganej masy

g - przyspieszenie ziemskie równe $9,807\ \frac{m}{s^{2}}$

Po podstawieniu wartości liczbowych otrzymujemy:

$$\mathbf{M}_{\mathbf{\text{opr}}} = 362,493\left\lbrack \text{Nm} \right\rbrack\left\lbrack kg \bullet \frac{m}{s^{2}} \bullet m = Nm \right\rbrack$$

Obliczenia – model 2

Opis modelu: na pewnej wysokości umieszczona jest masa zredukowana m_r. Na masę tą działają dwie siły: pionowo w dół siła oporów zredukowana F_opr, oraz pionowo w górę siła czynna zredukowana F_cr.

W kroku pierwszym należy obliczyć wartość masy zredukowanej m_r. Posłuży do tego poniższy wzór:

$$m_{\text{red}} = \frac{\sum_{i}^{}{m_{i} \bullet V_{i}^{2}} + \sum_{i}^{}{j_{i} \bullet \omega_{i}^{2}}}{V_{B}^{2}}$$

Analogicznie do przypadku z modelu 1 należy założyć prędkość ruchu modelowanej masy jako V_Boraz zapisać V_i każdego elementu układu jako funkcję V_B. Również ω_i należy przedstawić jako funkcję V_B.

Element	Vi
Masa bezwładna	VB

Element	ωi
Silnik	$$\frac{{2 \bullet V}_{B}}{d_{b}} \bullet \frac{z_{4}z_{2}}{z_{3}z_{1}}$$
Bęben zwijarki	$$\frac{{2 \bullet V}_{B}}{d_{b}}$$
Hamulec	$$\frac{{2 \bullet V}_{B}}{d_{b}}$$
Sprzęgło 2	$$\frac{{2 \bullet V}_{B}}{d_{b}}$$
Koło 4	$$\frac{{2 \bullet V}_{B}}{d_{b}}$$
Koło 3	$$\frac{{2 \bullet V}_{B}}{d_{b}} \bullet \frac{z_{4}}{z_{3}}$$
Koło 2	$$\frac{{2 \bullet V}_{B}}{d_{b}} \bullet \frac{z_{4}}{z_{3}}$$
Koło 1	$$\frac{{2 \bullet V}_{B}}{d_{b}} \bullet \frac{z_{4}z_{2}}{z_{3}z_{1}}$$
Sprzęgło 1	$$\frac{{2 \bullet V}_{B}}{d_{b}} \bullet \frac{z_{4}z_{2}}{z_{3}z_{1}}$$

Po podstawieniu do wzoru otrzymujemy zależność:

$$m_{r} = m_{k} + \left( I_{k4} + I_{sp2} + I_{\text{bw}} + I_{\text{bh}} \right) \bullet \frac{4}{d_{b}^{2}} + \left( I_{k2} + I_{k3} \right) \bullet \frac{4 \bullet z_{4}^{2}}{d_{b}^{2} \bullet z_{3}^{2}} + \left( {I_{\text{ws}} + I}_{sp1} + I_{k1} \right) \bullet \frac{4 \bullet z_{2}^{2} \bullet z_{4}^{2}}{d_{b}^{2} \bullet z_{1}^{2} \bullet z_{3}^{2}}\ $$

Podstawiając wartości liczbowe otrzymujemy wynik:

$$m_{r} = 461,824\left\lbrack \text{kg} \right\rbrack\left\lbrack kg \bullet m^{2} \bullet \frac{1}{m^{2}} = kg \right\rbrack$$

Drugi krok to obliczenie siły oporów zredukowanej F_opr. Wzór jest następujący:

$$F_{\text{opr}} = m_{k} \bullet g + M_{h} \bullet \frac{2}{d_{b}} = 5013\left\lbrack N \right\rbrack\left\lbrack kg \bullet \frac{m}{s^{2}} + Nm \bullet \frac{1}{m} = N \right\rbrack$$

Trzeci krok to obliczenie siły czynnej zredukowanej F_cr. Obliczamy ją z następującego wzoru:

$$\mathbf{F}_{\mathbf{\text{cr}}}\mathbf{=}\mathbf{M}_{\mathbf{s}}\mathbf{\bullet}\frac{\mathbf{2 \bullet}\mathbf{z}_{\mathbf{2}}\mathbf{\bullet}\mathbf{z}_{\mathbf{4}}}{\mathbf{d}_{\mathbf{b}}\mathbf{\bullet}\mathbf{z}_{\mathbf{1}}\mathbf{\bullet}\mathbf{z}_{\mathbf{3}}}\mathbf{= 6223}\left\lbrack \mathbf{N} \right\rbrack$$

Obliczenia – zestawienie wyników w tabeli

Ibr	Mcr	Mopr	mr	Fopr	Fcr
2, 415[kg•m^2]	450[Nm]	362, 493[Nm]	461, 824[kg]	5013[N]	6223[N]

Zadanie 1

Hamulec zostaje wyłączony. Silnik nadal pracuje. Obliczyć przyspieszenia kątowe i liniowe.

M_h = 0[Nm]

Obliczamy przyspieszenie kątowe ε:

$$\varepsilon = \frac{M_{\text{cr}} - M_{\text{opr}}}{I_{\text{br}}}$$

gdzie:

M_cr = M_s

$$\mathbf{M}_{\mathbf{\text{opr}}} = \left( M_{h} + m_{k} \bullet g \bullet \frac{d_{b}}{2} \right) \bullet \frac{z_{1} \bullet z_{3}}{z_{2} \bullet z_{4}}$$

$$I_{\text{br}} = I_{\text{ws}} + I_{sp1} + I_{k1} + \left( I_{k2} + I_{k3} \right) \bullet \left( \frac{z_{1}}{z_{2}} \right)^{2} + \left( I_{k4} + I_{sp2} + I_{\text{bw}} + I_{\text{bh}} \right) \bullet \left( \frac{z_{1} \bullet z_{3}}{z_{2} \bullet z_{4}} \right)^{2} + m_{k} \bullet \frac{d^{2}}{4} \bullet \left( \frac{z_{1} \bullet z_{3}}{z_{2} \bullet z_{4}} \right)^{2}$$

Podstawiając wartości liczbowe:

$$\varepsilon = 54,205\left\lbrack s^{- 2} \right\rbrack\left\lbrack \frac{kg \bullet \frac{m^{2}}{s^{2}}}{kg \bullet m^{2}} = \frac{1}{s^{2}} \right\rbrack$$

Następnie obliczamy przyspieszenie liniowe a:

$$a = \varepsilon \bullet \frac{z_{1}z_{3}}{z_{2}z_{4}} \bullet \frac{d_{b}}{2}$$

Podstawiając wartości liczbowe:

$$a = 3,92\left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack\left\lbrack m \bullet \frac{1}{s^{2}} \right\rbrack$$

Otrzymane wyniki zestawiono w tabeli:

ε	a
54, 205[s^−2]	$$\mathbf{a = 3,92}\left\lbrack \frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}^{\mathbf{2}}} \right\rbrack$$

Zadanie 2

Hamulec zostaje włączony. Silnik zostaje wyłączony. Obliczyć przyspieszenia kątowe i liniowe.

M_s = 0[Nm]

Obliczamy przyspieszenie kątowe ε:

$$\varepsilon = \frac{M_{\text{cr}} - M_{\text{opr}}}{I_{\text{br}}}$$

gdzie:

M_cr = M_s

$$\mathbf{M}_{\mathbf{\text{opr}}} = \left( M_{h} + m_{k} \bullet g \bullet \frac{d_{b}}{2} \right) \bullet \frac{z_{1} \bullet z_{3}}{z_{2} \bullet z_{4}}$$

$$I_{\text{br}} = I_{\text{ws}} + I_{sp1} + I_{k1} + \left( I_{k2} + I_{k3} \right) \bullet \left( \frac{z_{1}}{z_{2}} \right)^{2} + \left( I_{k4} + I_{sp2} + I_{\text{bw}} + I_{\text{bh}} \right) \bullet \left( \frac{z_{1} \bullet z_{3}}{z_{2} \bullet z_{4}} \right)^{2} + m_{k} \bullet \frac{d^{2}}{4} \bullet \left( \frac{z_{1} \bullet z_{3}}{z_{2} \bullet z_{4}} \right)^{2}$$

Podstawiając wartości liczbowe:

$$\varepsilon = - 150,113\left\lbrack s^{- 2} \right\rbrack\left\lbrack \frac{kg \bullet \frac{m^{2}}{s^{2}}}{kg \bullet m^{2}} = \frac{1}{s^{2}} \right\rbrack$$

otrzymane przyspieszenie jest ujemne, co obrazuje iż układ zwalnia.

Następnie obliczamy przyspieszenie liniowe a:

$$a = \varepsilon \bullet \frac{z_{1}z_{3}}{z_{2}z_{4}} \bullet \frac{d_{b}}{2}$$

Podstawiając wartości liczbowe:

$$a = - 10,855\left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack\left\lbrack m \bullet \frac{1}{s^{2}} \right\rbrack$$

Otrzymane wyniki zestawiono w tabeli:

ε	a
−150, 113[s^−2]	$$\mathbf{a = - 10,855}\left\lbrack \frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}^{\mathbf{2}}} \right\rbrack$$

Zadanie 3

Jaki moment hamujący M_h należy przyłożyć, aby element inercyjny opadał ruchem jednostajnym?

Założenie:

$${M_{h} = m}_{k} \bullet g \bullet \frac{d_{b}}{2}$$

Podstawiając wartości liczbowe:

$${M_{h} = 1,589\left\lbrack \text{Nm} \right\rbrack\left\lbrack kg \bullet \frac{m}{s^{2}} \bullet m = Nm \right\rbrack}_{}$$

Mh
1589[Nm]

Zadanie 4

Ładunek jest w spoczynku. Rozpoczyna się jego podnoszenie, które trwa 60 sekund. Następnie wyłączany jest silnik i włączany hamulec. Oblicz po jakim czasie się zatrzyma.

M_h = 0[Nm],    t = 60[s]

$$I_{\text{br}} = I_{\text{ws}} + I_{sp1} + I_{k1} + \left( I_{k2} + I_{k3} \right) \bullet \left( \frac{z_{1}}{z_{2}} \right)^{2} + \left( I_{k4} + I_{sp2} + I_{\text{bw}} + I_{\text{bh}} \right) \bullet \left( \frac{z_{1} \bullet z_{3}}{z_{2} \bullet z_{4}} \right)^{2} + m_{k} \bullet \frac{d^{2}}{4}$$

M_cr = M_s

$$\mathbf{M}_{\mathbf{\text{opr}}} = \left( M_{h} + m_{k} \bullet g \bullet \frac{d_{b}}{2} \right) \bullet \frac{z_{1} \bullet z_{3}}{z_{2} \bullet z_{4}}$$

$$\varepsilon = \frac{M_{\text{cr}} - M_{\text{opr}}}{I_{\text{br}}}$$

$$\varepsilon = 54,205\left\lbrack s^{- 2} \right\rbrack\left\lbrack \frac{kg \bullet \frac{m^{2}}{s^{2}}}{kg \bullet m^{2}} = \frac{1}{s^{2}} \right\rbrack$$

Obliczamy prędkość do jakiej rozpędzi się bęben wyciągarki:

ω₀ = ε • t

ω₀ = 3252[s⁻¹][s⁻²•s]

Następnie wyłączamy silnik i załączamy hamulec:

M_s = 0[Nm]

$$\varepsilon = \frac{M_{\text{cr}} - M_{\text{opr}}}{I_{\text{br}}}$$

gdzie:

M_cr = M_s

$$\mathbf{M}_{\mathbf{\text{opr}}} = \left( M_{h} + m_{k} \bullet g \bullet \frac{d_{b}}{2} \right) \bullet \frac{z_{1} \bullet z_{3}}{z_{2} \bullet z_{4}}$$

$$I_{\text{br}} = I_{\text{ws}} + I_{sp1} + I_{k1} + \left( I_{k2} + I_{k3} \right) \bullet \left( \frac{z_{1}}{z_{2}} \right)^{2} + \left( I_{k4} + I_{sp2} + I_{\text{bw}} + I_{\text{bh}} \right) \bullet \left( \frac{z_{1} \bullet z_{3}}{z_{2} \bullet z_{4}} \right)^{2} + m_{k} \bullet \frac{d^{2}}{4} \bullet \left( \frac{z_{1} \bullet z_{3}}{z_{2} \bullet z_{4}} \right)^{2}$$

$$\varepsilon = - 150,113\left\lbrack s^{- 2} \right\rbrack\left\lbrack \frac{kg \bullet \frac{m^{2}}{s^{2}}}{kg \bullet m^{2}} = \frac{1}{s^{2}} \right\rbrack$$

Obliczamy czas potrzebny do zahamowania:

$$t_{z} = - \frac{\omega_{0}}{\varepsilon}$$

$$t_{z} = 28,484\left\lbrack s \right\rbrack\left\lbrack \frac{s^{- 1}}{s^{- 2}} \right\rbrack$$

tz
28, 484[s]

Zadanie 5

Hamulec jest wyłączony. Jak długo będziemy podnosić ładunek na wysokość 20m?

M_h = 0[Nm]

$$I_{\text{br}} = I_{\text{ws}} + I_{sp1} + I_{k1} + \left( I_{k2} + I_{k3} \right) \bullet \left( \frac{z_{1}}{z_{2}} \right)^{2} + \left( I_{k4} + I_{sp2} + I_{\text{bw}} + I_{\text{bh}} \right) \bullet \left( \frac{z_{1} \bullet z_{3}}{z_{2} \bullet z_{4}} \right)^{2} + m_{k} \bullet \frac{d^{2}}{4}$$

M_cr = M_s

$$\mathbf{M}_{\mathbf{\text{opr}}} = \left( M_{h} + m_{k} \bullet g \bullet \frac{d_{b}}{2} \right) \bullet \frac{z_{1} \bullet z_{3}}{z_{2} \bullet z_{4}}$$

$$\varepsilon = \frac{M_{\text{cr}} - M_{\text{opr}}}{I_{\text{br}}}$$

$$\varepsilon = 54,205\left\lbrack s^{- 2} \right\rbrack\left\lbrack \frac{kg \bullet \frac{m^{2}}{s^{2}}}{kg \bullet m^{2}} = \frac{1}{s^{2}} \right\rbrack$$

$$a = \varepsilon \bullet \frac{z_{1}z_{3}}{z_{2}z_{4}} \bullet \frac{d_{b}}{2}$$

$$a = 3,92\left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack\left\lbrack m \bullet \frac{1}{s^{2}} \right\rbrack$$

Po obliczeniu przyspieszenia liniowego można obliczyć czas potrzebny do podnoszenia:

h = 20[m]

$$t_{p} = \sqrt{\frac{2 \bullet h}{a}}$$

Podstawiając wartości:

$$t_{p} = 3,195\left\lbrack s \right\rbrack\left\lbrack \sqrt{\frac{m}{\frac{m}{s^{2}}}} = \sqrt{s^{2}} \right\rbrack$$

tp
3, 195[s]