Wydział Nauk Technicznych

II rok, studia stacjonarne

Mechatronika

Ćwiczenia laboratoryjne

Automatyka

Sprawozdanie nr 1 z ćwiczenia

Badanie układów liniowych dynamicznych w dziedzinie czasu. Konwersje postaci modelu układów dynamicznych.

Daniel Bojarojć

Kamil Kowalski

Grupa II

1. Konwersja z macierzy stanu na postać transmitancji, zer i biegunów oraz do postaci ułamkowej:

Postać wektorowo-macierzowa:

$$\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ - 1 & - 5 \\ \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \end{bmatrix} + \lbrack\begin{matrix} 0 \\ 4 \\ \end{matrix}\rbrack*u(t)$$

$$\left\lbrack y \right\rbrack = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \end{bmatrix} + \lbrack 0\rbrack*u(t)$$

A=[0 1;-1 -5];

B=[0;2];

C=[1 0];

D=[0];

[L,M]=ss2tf(A,B,C,D)

[Z,P,K]=ss2zp(A,B,C,D)

[R,P,K]=residue(L,M)

Komenda „ss2tf” służy do przekształcania macierzy stanu na postać transmitancji funkcji, natomiast „ss2zp” na postać zer i biegunów.

Komenda „resuide” pozwala zamienić licznik i mianownik transmitancji na postać ułamków prostych.

1. Odpowiedź układu na skok jednostkowy i wymuszenie impulsowe:

subplot(1,2,1),impulse(A,B,C,D) subplot(1,2,2),step(A,B,C,D)

Odczytana z wykresu stała czasowa dla tego układu wynosi ok. τ = 6s.

Stała czasowa to czas, po którym wielkość wyjściowa uzyskuje wartość około 0,64 wartości w stanie ustalonym.

1. Sprawdzanie sterowalności i obserwowalności układu:

ctrb(A,B)

obsv(A,C)

rank(A)

Po zastosowaniu polecenia „rank” otrzymaliśmy wynik równy 2.

Oznacz to, że układ jest sterowalny (taki sam rząd jak równania układu dynamicznego)

Układ obserwowalny jest to taki układ, który na podstawie sygnału wejściowego i wyjściowego pozwoli nam na odtworzenie stanu układu.

1. Układ całkujący:

T₁=1 T₂= 0.5

G₁=$\frac{1}{s\left( T_{1}s + 1 \right)(T_{2}s + 1)} = \ \frac{1}{s(\ T_{1}T_{2}s^{2} + \ T_{1}s + \ T_{2}s + \ 1)} = \ \frac{1}{T_{1}T_{2}s^{3} + \ T_{1}s^{2} + T_{2}s^{2} + \ s}$

L=[1];

M=[0.5 1.5 1 0];

G1=tf(L,M);

Odpowiedź skokowa układu dynamicznego, która posiada całkowanie będzie zmierzać do nieskończoności. Wtrącenie członu całkującego powoduje, że układ zachowuje się jak filtr dolnoprzepustowy. Człon całkujący charakteryzuje się liniową odpowiedzią skokową.

1. Układ różniczkujący:

T₁= 1 T₂= 0.5

G₁=$\frac{s}{\left( T_{1}s + 1 \right)(T_{2}s + 1)} = \ \frac{s}{(\ T_{1}T_{2}s^{2} + \ T_{1}s + \ T_{2}s + \ 1)} = \ \frac{s}{T_{1}T_{2}s^{2} + \ T_{1}s + T_{2}s + \ 1}$

L=[1 0];

M=[0.5 1.5 1];

G1=tf(L,M);

Wtrącenie różniczkowania powoduje to, że układ zachowuje się jak filtr górnoprzepustowy. Wartość sygnału wyjściowego członu różniczkującego jest proporcjonalna do szybkości zmian sygnału wejściowego; nie zależy natomiast od wartości sygnału wejściowego. Dla wymuszenie liniowo narastającego, o stałym wznoszeniu, odpowiedzią członu różniczkującego jest stała wartość. Odpowiedź skokowa idealnego członu różniczkującego ma postać impulsu o zerowym czasie trwania i o nieograniczonej amplitudzie.

1. Układ z całkowaniem i różniczkowaniem:

T₁= 1 T₂= 0.5 T₃= 2

G₁=$\frac{1 + sT_{3}}{s\left( T_{1}s + 1 \right)(T_{2}s + 1)} = \ \frac{1 + sT_{3}}{s(\ T_{1}T_{2}s^{2} + \ T_{1}s + \ T_{2}s + \ 1)} = \ \frac{1 + sT_{3}}{T_{1}T_{2}s^{3} + \ T_{1}s^{2} + T_{2}s^{2} + \ s}$

L=[2 1];

M=[0.5 1.5 1 0];

G1=tf(L,M);

Wnioski:

Człony całkujące tworzą obiekty, w których zachodzi przemiana: prędkości ruchu w przemieszczenie (położenie), przyspieszenia ruchu w prędkość, liczby obrotów na kąt obrotu (położenie kątowe), przepływu medium na wysokość poziomu napełnienia zbiornika. Człony różniczkujące są wykorzystywane, np. w postaci wzmacniaczy operacyjnych, do przekształcania sygnałów analogowych generowanych przez różnego rodzaju czujniki. Człony różniczkujące wzmacniają sygnały o wysokich częstotliwościach.