Maciej Górka

gr. 29

Teoria Sterowania

Sprawozdanie 2

1. Schemat układu:

C_d  =  C₁ =  C₂ =  C₃

$q_{1} = \ C_{d}\sqrt{\frac{2}{\rho}}*A_{d}*\sqrt{p_{1} - p_{2}}$ ; p₂ =  p_a = 0 ; p₁ =  ρgh₁

$q_{n} = \ C_{d}\sqrt{\frac{2}{\rho}}*A_{d}*\sqrt{\text{\ ρg}h_{n}}$ ;

$$\text{\ \ \ \ \ \ A}_{d}\ = \ tg\frac{\alpha}{2}*y_{z}^{2}$$

C_d – współczynnik oporu szczeliny

A_d− pole przekroju szczeliny

p₁ – ciśnienie przed zaworem

p₂ – ciśnienie za zaworem

1. Modelowanie układu w przestrzeni stanów:

Dobór zmiennych stanu, określenie sterowania oraz wyjść:

x₁ = h₁ u₁ = q y₁ = h₁ = x₁
x₂ = h₂ u₂ = y_Z1 y₂ = h₂ = x₂

x₃ = h₃ u₃ = y_Z2 y₃ = h₃ = x₃

u₄ = y_Z3

Model matematyczny układu:

$$\dot{h_{1}} = \ \frac{1}{A_{1}\rho}(q - q_{1})$$

$$\dot{h_{2}} = \ \frac{1}{A_{2}\rho}\left( q_{1} - q_{2} \right)$$

$$\dot{h_{3}} = \ \frac{1}{A_{3}\rho}(q_{2} - q_{3})$$

Zapis w formie równań stanu z uwzględnieniem założeń:

Równania wejść:

$$\dot{x_{1}} = \ \frac{1}{A_{1}\rho}(u_{1} - C_{d}\sqrt{\frac{2}{\rho}}*tg\frac{\alpha}{2}*u_{2}^{2}*\sqrt{\text{\ ρg}x_{1}})$$

$$\dot{x_{2}} = \ \frac{1}{A_{2}\rho}(C_{d}\sqrt{\frac{2}{\rho}}*tg\frac{\alpha}{2}*u_{2}^{2}*\sqrt{\text{\ ρg}x_{1}} - C_{d}\sqrt{\frac{2}{\rho}}*tg\frac{\alpha}{2}*u_{3}^{2}*\sqrt{\text{\ ρg}x_{2}})$$

$$\dot{x_{3}} = \ \frac{1}{A_{3}\rho}(C_{d}\sqrt{\frac{2}{\rho}}*tg\frac{\alpha}{2}*u_{3}^{2}*\sqrt{\text{\ ρg}x_{2}} - C_{d}\sqrt{\frac{2}{\rho}}*tg\frac{\alpha}{2}*u_{4}^{2}*\sqrt{\text{\ ρg}x_{3}})$$

Linearyzacja równań wejścia:

Macierz A:

A = $\begin{bmatrix} \frac{\delta f_{1}}{\delta x_{1}} & \frac{\delta f_{1}}{\delta x_{2}} & \frac{\delta f_{1}}{\delta x_{3}} \\ \frac{\delta f_{2}}{\delta x_{1}} & \frac{\delta f_{2}}{\delta x_{2}} & \frac{\delta f_{2}}{\delta x_{3}} \\ \frac{\delta f_{3}}{\delta x_{1}} & \frac{\delta f_{3}}{\delta x_{2}} & \frac{\delta f_{3}}{\delta x_{3}} \\ \end{bmatrix}$

$$A_{11} = \frac{\delta f_{1}}{\delta x_{1}} = - \frac{1}{A_{1}\rho}C_{d}\sqrt{\frac{2}{\rho}}*tg\frac{\alpha}{2}*u_{20}^{2}*\sqrt{\text{\ ρg}}*\frac{1}{2\sqrt{x_{10}}}$$

$$A_{12} = \frac{\delta f_{1}}{\delta x_{2}} = 0$$

$$A_{13} = \frac{\delta f_{1}}{\delta x_{3}} = 0$$

$$A_{21} = \frac{\delta f_{2}}{\delta x_{1}} = \frac{1}{A_{1}\rho}C_{d}\sqrt{\frac{2}{\rho}}*tg\frac{\alpha}{2}*u_{20}^{2}*\sqrt{\text{\ ρg}}*\frac{1}{2\sqrt{x_{10}}}$$

$$A_{22} = \frac{\delta f_{2}}{\delta x_{2}} = - \frac{1}{A_{2}\rho}C_{d}\sqrt{\frac{2}{\rho}}*tg\frac{\alpha}{2}*u_{30}^{2}*\sqrt{\text{\ ρg}}*\frac{1}{2\sqrt{x_{20}}}$$

$$A_{23} = \frac{\delta f_{2}}{\delta x_{3}} = 0$$

$$A_{31} = \frac{\delta f_{3}}{\delta x_{1}} = 0$$

$$A_{32} = \frac{\delta f_{3}}{\delta x_{2}} = \frac{1}{A_{2}\rho}C_{d}\sqrt{\frac{2}{\rho}}*tg\frac{\alpha}{2}*u_{30}^{2}*\sqrt{\text{\ ρg}}*\frac{1}{2\sqrt{x_{20}}}$$

$$A_{33} = \frac{\delta f_{3}}{\delta x_{3}} = - \frac{1}{A_{3}\rho}C_{d}\sqrt{\frac{2}{\rho}}*tg\frac{\alpha}{2}*u_{40}^{2}*\sqrt{\text{\ ρg}}*\frac{1}{2\sqrt{x_{30}}}$$

$$A\ = \ \begin{bmatrix} A_{11} & 0 & 0 \\ A_{21} & A_{22} & 0 \\ 0 & A_{32} & A_{33} \\ \end{bmatrix} = = \begin{bmatrix} - \frac{1}{A_{1}\rho}C_{d}\sqrt{\frac{2}{\rho}}*tg\frac{\alpha}{2}*u_{20}^{2}*\sqrt{\text{\ ρg}}*\frac{1}{2\sqrt{x_{10}}} & 0 & 0 \\ \frac{1}{A_{1}\rho}C_{d}\sqrt{\frac{2}{\rho}}*tg\frac{\alpha}{2}*u_{20}^{2}*\sqrt{\text{\ ρg}}*\frac{1}{2\sqrt{x_{10}}} & - \frac{1}{A_{2}\rho}C_{d}\sqrt{\frac{2}{\rho}}*tg\frac{\alpha}{2}*u_{30}^{2}*\sqrt{\text{\ ρg}}*\frac{1}{2\sqrt{x_{20}}} & 0 \\ 0 & \frac{1}{A_{2}\rho}C_{d}\sqrt{\frac{2}{\rho}}*tg\frac{\alpha}{2}*u_{30}^{2}*\sqrt{\text{\ ρg}}*\frac{1}{2\sqrt{x_{20}}} & - \frac{1}{A_{3}\rho}C_{d}\sqrt{\frac{2}{\rho}}*tg\frac{\alpha}{2}*u_{40}^{2}*\sqrt{\text{\ ρg}}*\frac{1}{2\sqrt{x_{30}}} \\ \end{bmatrix}$$

Macierz B:

B = $\begin{bmatrix} \frac{\delta f_{1}}{\delta u_{1}} & \frac{\delta f_{1}}{\delta u_{2}} & \frac{\delta f_{1}}{\delta u_{3}} & \frac{\delta f_{1}}{\delta u_{4}} \\ \frac{\delta f_{2}}{\delta u_{1}} & \frac{\delta f_{2}}{\delta u_{2}} & \frac{\delta f_{2}}{\delta u_{3}} & \frac{\delta f_{2}}{\delta u_{4}} \\ \frac{\delta f_{3}}{\delta u_{1}} & \frac{\delta f_{3}}{\delta u_{2}} & \frac{\delta f_{3}}{\delta u_{3}} & \frac{\delta f_{3}}{\delta u_{4}} \\ \end{bmatrix}$

$$B_{11} = \frac{\delta f_{1}}{\delta u_{1}} = \frac{1}{A_{1}\rho}$$

$$B_{12} = \frac{\delta f_{1}}{\delta u_{2}} = {- 2C}_{d}\sqrt{\frac{2}{\rho}}*tg\frac{\alpha}{2}*\sqrt{\text{\ ρg}x_{10}}*u_{20}$$

$$B_{13} = \frac{\delta f_{1}}{\delta u_{3}} = 0$$

$$B_{14} = \frac{\delta f_{1}}{\delta u_{4}} = 0$$

$$B_{21} = \frac{\delta f_{2}}{\delta u_{1}} = 0$$

$$B_{22} = \frac{\delta f_{2}}{\delta u_{2}} = {2C}_{d}\sqrt{\frac{2}{\rho}}*tg\frac{\alpha}{2}*\sqrt{\text{\ ρg}x_{10}}*u_{20}$$

$$B_{23} = \frac{\delta f_{2}}{\delta u_{3}} = {- 2C}_{d}\sqrt{\frac{2}{\rho}}*tg\frac{\alpha}{2}*\sqrt{\text{\ ρg}x_{20}}*u_{30}$$

$$B_{24} = \frac{\delta f_{2}}{\delta u_{4}} = 0$$

$$B_{31} = \frac{\delta f_{3}}{\delta u_{1}} = 0$$

$$B_{32} = \frac{\delta f_{3}}{\delta u_{2}} = 0$$

$$B_{33} = \frac{\delta f_{3}}{\delta u_{3}}{= 2C}_{d}\sqrt{\frac{2}{\rho}}*tg\frac{\alpha}{2}*\sqrt{\text{\ ρg}x_{20}}*u_{30}$$

$$B_{24} = \frac{\delta f_{3}}{\delta u_{4}} = {- 2C}_{d}\sqrt{\frac{2}{\rho}}*tg\frac{\alpha}{2}*\sqrt{\text{\ ρg}x_{30}}*u_{40}$$

$B\ = \begin{bmatrix} B_{11} & B_{12} & 0 & 0 \\ 0 & B_{22} & B_{23} & 0 \\ 0 & 0 & B_{33} & B_{34} \\ \end{bmatrix}$=

$$= \begin{bmatrix} \frac{1}{A_{1}\rho} & {- 2C}_{d}\sqrt{\frac{2}{\rho}}*tg\frac{\alpha}{2}*\sqrt{\text{\ ρg}x_{10}}*u_{20} & 0 & 0 \\ 0 & {2C}_{d}\sqrt{\frac{2}{\rho}}*tg\frac{\alpha}{2}*\sqrt{\text{\ ρg}x_{10}}*u_{20} & {- 2C}_{d}\sqrt{\frac{2}{\rho}}*tg\frac{\alpha}{2}*\sqrt{\text{\ ρg}x_{20}}*u_{30} & 0 \\ 0 & 0 & {2C}_{d}\sqrt{\frac{2}{\rho}}*tg\frac{\alpha}{2}*\sqrt{\text{\ ρg}x_{20}}*u_{30} & {- 2C}_{d}\sqrt{\frac{2}{\rho}}*tg\frac{\alpha}{2}*\sqrt{\text{\ ρg}x_{30}}*u_{40} \\ \end{bmatrix}$$

Równania wyjść:

y₁ = x₁

y₂ = x₂ C =$\ \begin{bmatrix} \frac{\partial g_{1}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial g_{1}}{\partial x_{2}} & \frac{\partial g_{1}}{\partial x_{3}} \\ \frac{\partial g_{2}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial g_{2}}{\partial x_{2}} & \frac{\partial g_{2}}{\partial x_{3}} \\ \frac{\partial g_{3}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial g_{3}}{\partial x_{2}} & \frac{\partial g_{3}}{\partial x_{3}} \\ \end{bmatrix} =$ $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$

y₃ = x

Macierz D jest macierzą zerową

1. Sprawdzenie stabilności układu

Dobór punktu pracy:

x₁₀ = h₁ = 1 m

x₂₀ = h₂ = 1.2 m

x₃₀ = h₃ = 1.4 m

$$u_{10} = q = 1\frac{m^{3}}{s}$$

u₂₀ = y_z1 = 0.5 m

u₃₀ = y_z2 = 0.6 m

u₄₀ = y_z3 = 0.7 m

W celu sprawdzenia stabilności układu przyjmujemy następujące dane:

C₁ = C₂ = C₃ = 0,6

A₁ = A₂ = A₃ = 1 m² ;

ρ = 1000

α = 60^o

A = $\begin{bmatrix} - 3,836*10^{- 4} & 0 & 0 \\ 3,836*10^{- 4} & - 4,202*10^{- 4} & 0 \\ 0 & 4,202*10^{- 4} & - 4,539*10^{- 4} \\ \end{bmatrix}$

B = $\begin{bmatrix} 1*10^{- 3} & - 1,534 & 0 & 0 \\ 0 & 1,534 & - 2,017 & 0 \\ 0 & 0 & 2,017 & - 2,549 \\ \end{bmatrix}$

C =$\ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$

Symulacja układu w pakiecie Simulink:

Sprawdzenie stabilności metodą pośrednią Lapunowa:

>> eig(A)

ans =

1.0e-003 *

-0.4538

-0.4202

-0.3836

Wszystkie wartości własne macierzy są ujemne – układ jest stabilny.

6. Wnioski:

Jedynym ze sposobów radzenia sobie z układami nieliniowymi jest ich linearyzacja, czyli tworzenie modelu liniowego który aproksymuje model nieliniowy. Ten zabieg matematyczny jest możliwy dzięki wyborowi punktu pracy, względem którego dokonujemy linearyzacji. Wybór ten nie może być przypadkowy. Punkt pracy powinien być tak dobrany by styczna do niego na jak najdłuższym odcinku była maksymalnie blisko wykresu. Przy linearyzacji należy pamiętać, że jest to metoda przybliżona i ma sens tylko wówczas gdy sygnały występujące w obiekcie są funkcjami ciągłymi oraz zmiany sygnału są małe.

Dobór punktu pracy w oczywisty sposób wpływa również na wartości macierzy stanu, gdyż wybór innego punktu pracy tak naprawdę zmienia nam funkcję którą zastępujemy model nieliniowy.