Wyznaczenie ogólnego środka

Ciężkości ciała

Metodą:

• Składania momentów sił w układzie odniesienia

  Tomasz Jarosz

Środek masy, punkt określony przez rozkład mas w danym ciele lub układzie ciał. Położenie środka masy wyraża się wzorem:

gdzie m_k i r_k - odpowiednio masy i promienie wodzące poszczególnych punktowych ciał składających się na dany obiekt. W przypadku ciągłego rozkładu masy:

gdzie: V i M - odpowiednio objętość i masa ciała, ρ - jego gęstość.

Opis ruchu postępowego układu jest równoważny z opisem ruchu punktu materialnego o masie równej masie układu znajdującego się w środku masy, który w jednorodym polu grawitacyjnym pokrywa się ze środkiem ciężkości.

Środek ciężkości ciała lub układu ciał jest punktem, w którym przyłożona jest wypadkowa siła ciężkości danego ciała. Dla ciała znajdującego się w jednym polu grawitacyjnym środek ciężkości pokrywa się ze środkiem masy dlatego często jest mylone lub wręcz utożsamiane. W geometrii pojęcie środka ciężkości jest synonimem środka masy. Jeżeli podzielić dane ciało na dowolnie małe elementy m_k, każdy element ciała odległy od środka układu współrzędnych o wektorze , element ten znajduje się w miejscu gdzie przyśpieszenie grawitacyjne wynosi to środek ciężkości ciała określa wektor:

W polu grawitacyjnym jednorodnym g(r_k) ma dla każdego r_k tą samą wartość i kierunek, to po skróceniu wzoru g i wówczas środek ciężkości pokrywa się ze środkiem masy:

Powyższa zależność dla ośrodków ciągłych, zapisana w postaci wyrażeń całkowych wiąże środek masy z rozkładem gęstości ρ w przestrzeni za pomocą zależności:

przy czym:

• to wektor środka masy;

• M to masa ciała;

• V to objętość ciała;

• ρ = ρ(x,y,z) to funkcja gęstości ciała

Jeżeli ciało zawiesić nieruchomo na nici, to środek ciężkości znajduje się na przedłużeniu nici.

Moment siły, wektor osiowy D=r×F, gdzie: r - promień wodzący zaczepiony w pewnym wybranym punkcie (względem tego punktu wyznacza się moment siły), F - wektor działającej siły, znak × oznacza iloczyn wektorowy. Wypadkowy moment siły działający na ciało równy jest ich sumie wektorowej.
Skutkiem działania na ciało wypadkowego niezerowego momentu siły jest ruch obrotowy (D=dJ/dt, gdzie: J moment pędu).

Siła, F, wielkość wektorowa określająca wzajemne mechaniczne oddziaływanie ciał (oddziaływanie to może zachodzić bezpośrednio lub za pośrednictwem pól fizycznych). Jednostką siły w układzie SI jest niuton.
Siły fizyczne można podzielić na fundamentalne (oddziaływania fizyczne), niefundamentalne (np. siła tarcia, siła aerodynamiczna itp.) oraz pozorne (siły bezwładności).

Zasada Varingona Suma momentów sił układu zbieżnego względem dowolnego punktu jest równa momentowi wypadkowej tego układu względem punktu ∑ⁿ_i=1r∙∑P_i=r∙W

Obliczenia ciężaru poszczególnych części ciała

Ciężar głowy:

70 x 7% = 4,9

Ciężar tułowia:

70 x 43% = 30,1

Ciężar ranienia:

70 x 3% = 2,1

Ciężar przed ramienia:

70 x 2% = 1,4

Ciężar ręki:

70 x 1% = 0,7

Ciężar uda:

70 x 12% = 8,4

Ciężar podudzia:

70 x 5% = 3,5

Ciężar stopy:

70 x 2 = 1,4

Tab.1

L.p.	Ciężar ciała	Procentowy udział całego ciężaru ciała [%]	Ciężar poszczególnych części ciała [kg]
Q1	Głowa	7	4,9
Q2	Tułów	43	30,1
Q3	Ramię	3	2,1 x 2
Q4	Przedramię	2	1,4 x 2
Q5	Ręka	1	0,7 x 2
Q6	Udo	12	8,4 x 2
Q7	Podudzie	5	3,5 x 2
Q8	Stopa	2	1,4 x 2

Masa ciała -

Q1 - Q8 środki ciężkości poszczególnych części ciała [oznaczone na rysunku]

Wyznaczenie położenia stawów i środka ciężkości poszczególnych części ciała

Tab.2

Części ciała	Udział ciężaru całego ciała [%]	Położenie środka ciężkości
1. Głowa	7	Nad górnym brzegiem otworu słuchowego zewnętrznego
2. Tułów	43	Na prostej przechodzącej przez środki odcinków łączących osie stawów ramiennych i biodrowych w odległości 0,44 od osi barkowej
3. Ramię	3	0,47 odległości od stawu barkowego
4. Przedramię	2	0,42 odległości od stawu łokciowego
5. Ręka	1	Staw śródręczno – paliczkowy trzeciego palca
6. Udo	12	0,44 odległości od stawu biodrowego
7. Podudzie	5	0,42 odległości od stawu kolanowego
	2	0,44 odległości odcinka łączącego guz piętowy z końcem drugiego palca

Wyznaczenie ogólnego środka ciężkości metodą składania momentów sił w układzie odniesienia

L.p.	Część ciała	Ciężar Części ciała Fi [N]	Odcięta środka ciężkości xi [m]	Moment siły F x	Rzędna środka ciężkości yi [m]	Moment siły F y
1	Głowa	49	60	2940	153	7497
2	Tułów	301	66	19866	118	35518
3	Ramię P	21	48	1008	126	2646
4	Ramię L	21	91	1911	142	2982
5	Przedramię P	14	41	574	108	1512
6	Przedramię L	14	114	1596	150	2100
7	Ręka P	7	33	231	96	672
8	Ręka L	7	129	903	159	1113
9	Udo P	84	150	12600	82	6888
10	Udo L	84	86	7224	86	7224
11	Podudzie P	35	43	1505	51	1785
12	Podudzie L	35	99	3465	58	2030
13	Stopa P	14	39	546	19	266
14	Stopa L	14	110	1540	30	420
Σ Fi	700	Σ Fi * xi	55909	Σ Fi * yi	72653

Współrzędne środka ciężkości obliczam ze wzoru :

X_śr = $\frac{\mathbf{55909}}{\mathbf{700}}$ = 79,87 Y_śr = $\frac{\mathbf{72653}}{\mathbf{700}}$ = 103,79

Wniosek:

Wyznaczone środki ciężkości znajdują się zgodnie z moimi przewidywaniami