Grupa Z20, Zespół 8

Laboratorium Fizyki

Sprawozdanie

Ćwiczenie nr. 12

Badanie procesów relaksacyjnych w obwodach elektrycznych

Wykonał: Kazimierz Pisarek

1. Wstęp

W tym ćwiczeniu badaliśmy proces rozładowania kondensatora i wyznaczenie zależności czasu relaksacji τ od wartości iloczynu RC oraz wyznaczenie napięcia zapłonu U_z i gaśnięcia U_g badanej neonówki oraz doświadczalne i teoretyczne zbadanie zależności okresu drgań relaksacyjnych T od wartości rezystancji R i pojemności C.

1. Układ pomiarowy

Ćwiczenie składało się z trzech części, w których występowały trzy różne układy. Pierwszy układ służył do zbadania procesu rozładowania kondensatora natomiast drugi do pomiaru napięcia zapłonu U_z i gaśnięcia U_g neonówki, a trzeci zaś układ służył do zbadania zależności okresu drgań relaksacyjnych T od wartości rezystancji R i pojemności C.

1. Badanie procesu rozładowania kondensatora

Obwód elektryczny do zbadania procesu rozładowania kondensatora

R – rezystor, R=100 kΩ,

A – miliamperomierz – zakres 150 μA, klasa 0,2, ilość działek 150, rezystancja wewnętrzna 59Ω,

C – kondensator C=100 μF

K – klucz

1. Pomiar napięcia zapłonu U_z i gaśnięcia U_g neonówki

Obwód elektryczny do pomiaru napięcia zapłonu i napięcia gaśnięcia

R – rezystor, R=50 kΩ,

N – neonówka,

V – woltomierz cyfrowy V534 – zakres 100 V, dokładność c₁=0,05%, c₂=0,01%,

1. Badanie zależności okresu drgań relaksacyjnych T od wartości oporności R i pojemności C

Obwód elektryczny do obserwacji drgań relaksacyjnych

R – rezystor, podłączyłem kolejno R₁=300 kΩ, R₂=430 kΩ, R₃=620 kΩ,

C – kondensator, C=1 μF,

N – neonówka,

V – woltomierz cyfrowy V534 – zakres 100 V, dokładność c₁=0,05%, c₂=0,01%,

Do pomiaru czasu w punktach a) i c) został wykorzystany stoper cyfrowy – niepewność wzorcowania Δt=0,01 s, niepewność obserwatora Δt_e=1 s.

1. Wykonanie ćwiczenia

1. Badanie procesu rozładowania kondensatora

1. Złożenie układu pomiarowego według rysunku 1.

2. Ustawiamy natężenie prądu na wartość I₀=145 μA.

3. Klucz K zwieramy na krótką chwilę, aby naładował sie kondensator i otwieramy rozpoczynając proces rozładowania kondensatora.

4. Dokonujemy odczytu natężenia prądu rozładowania kondensatora, co 5 sekund.

1. Pomiar napięcia zapłonu U_z i gaśnięcia U_g neonówki

1. Zestawiliśmy układ pomiarowy według rysunku 2., użyliśmy opornika R = 50 kΩ.

2. Przez obrót pokrętła zasilacza zwiększaliśmy napięcie aż do momentu zapłonu neonówki.

3. Notujemy najwyższą wartość napięcia przed zaświeceniem U_z.

4. Powoli obniżamy napięcie i notujemy wartość U_g, przy której zanika jarzenie gazu. Pomiar powtórzyliśmy 8 razy.

1. Badanie zależności okresu drgań relaksacyjnych T od wartości oporności R i pojemności C

1. Zestawić układ pomiarowy według rysunku 3.

2. Ustawiliśmy taką wartość napięcia zasilacza ε = 76,36 [V], aby zaobserwować rozbłyski neonówki dla każdej wartości rezystancji R (napięcie zasilacza w trakcie pomiarów musi pozostać stałe).

3. Zmierzyliśmy czas n = 20 rozbłysków neonówki dla różnych kolejnych wartości R przy stałej wartości pojemności C=1 μF.

4. Wyniki i ich opracowanie

Obliczenie niepewności

1. Badanie procesu rozładowania kondensatora

Wyniki pomiaru czasu rozładowania kondensatora są zamieszczone w tabeli w protokole. Obliczenia i wykresy wykonane są dla resytancji 100 kΩ i 100microF kondesatora

Dla stopera elektronicznego wyliczono niepewność standardową typu B biorąc pod uwagę niepewność wzorcowania Δt i niepewność eksperymentatora Δt _e wg wzoru:

$$u\left( t \right) = \sqrt{\frac{\left( t \right)^{2}}{3} + \frac{{{(t}_{e})}^{2}}{3}} = \sqrt{\frac{\left( 0,01 \right)^{2}}{3} + \frac{\left( 1 \right)^{2}}{3}} = 0,577379s$$

Dla mikroamperomierza wyliczono niepewność standardową typu B biorąc pod uwagę niepewność wzorcowania i niepewność eksperymentatora wg wzoru:

$$u\left( I \right) = \sqrt{\frac{\left( I \right)^{2}}{3} + \frac{{{(I}_{e})}^{2}}{3}}$$

gdzie niepewność wzorcowania ΔI obliczono ze wzoru:

$$I = \frac{klasa\ *zakres}{100} = \ \frac{0,2\ *150}{100} = 0,3\ \mu A$$

a niepewność eksperymentatora ΔI_e obliczono ze wzoru:

$${I}_{e} = \frac{\text{zakres}}{liczba\ dzialek} = \ \frac{150}{150} = 1\ \mu A$$

Niepewność standardowa typu B dla amperomierza równa się:

$$u\left( I \right) = \sqrt{\frac{\left( 0,3 \right)^{2}}{3} + \frac{({1)}^{2}}{3}} = 0,602771\ \mu A$$

W programie Origin wykonałem wykresy zależności I(t) oraz lnI(t).

Rys. 4. Wykres zależności I(t) – odrzucony ze względu na punkt t=25

Rys. 5. Wykres zależności lnI(t) – odrzucony ze względu na punkt t=25

Biorąc pod uwagę wykres zależności lnI = f(t) z rys. 5, uznałem, że punkt dla t=25 jest obarczony błędem grubym. W związku z tym odrzuciłem ten punkt i wykonałem ponownie wykresy zależności natężenia prądu od czasu.

Rys. 6. Wykres poprawiony zależności I = f(t)

Rys. 7. Wykres poprawiony zależności LnI = f(t)

Z poprawionego wykresu zależności I(t) odczytałem wartości I₁ i I₂ pozostające w stosunku I₂ = I₁/e, gdzie e = 2,72. Różnica odpowiadających im czasów określa przedział czasowy Δt = τ. Czynność powtórzyłem 4 razy interpolując wyniki dla punktów I₁^’=90, I₁^’’=35, I₁^’’’=21, I₁^’’’’=17 i wyliczyłem z nich wartość średnią, która jest równa:

Δt_śr = τ_obl = 10.23 s

Dla uzyskanego wyniku τ_obl oszacowałem wartość niepewności u(τ_obl) zgodnie z prawem propagacji niepewności według następującego wzoru:

$$u\left( \tau_{\text{obl}} \right) = \ \sqrt{{u(t)}^{2} + \ {u(I)}^{2}}\ = \ \sqrt{{(0,577379)}^{2} + \ {(0,602771)}^{2}} = 0,696699\ s$$

Ostatecznie τ_obl równa się:

τ_obl = 10.23(70) s

Zależność współczynnika kierunkowego prostej lnI(t) od czasu relaksacji τ dana jest wzorem:

$$B = \ - \frac{1}{\tau}\ \overset{\Rightarrow}{\ }\ \tau = \ - \frac{1}{B}$$

Skoro, więc:

B = -0,10914 s^-1

to:

$$\tau = \ - \frac{1}{( - 0,05708)} = 9.16254\text{\ s}$$

Niepewność standardową typu A wyznaczono z zależności:

$$u_{c}\left( \tau \right) = \ \sqrt{\frac{\left( \frac{\partial\tau}{\partial B} \right)^{2}\ {u(B)}^{2}}{3}}\ = \ \ \sqrt{\frac{\left( \frac{- 1}{B^{2}} \right)^{2}\ {u(B)}^{2}}{3}} = \ 0.131353\text{\ s}$$

gdzie niepewność u(B) wyliczona w programie jest równa:

u(B) = 0,00271 s^-1

Uwzględniając niepewność standardową typu B dla użytego stopera otrzymujemy niepewność całkowitą:

$$u\left( \tau \right) = \ \sqrt{{(2,757281)}^{2} + \ {(0,577379)}^{2}} = 0.592132\text{\ s}$$

Ostateczny wynik pomiaru czasu relaksacji τ możemy zapisać w postaci:

τ_eksp =  9.16(59)s

Wyniki uzyskane z obu wykresów są umieszczone w tabeli 1 i są porównane z wartością iloczynu τ = RC = 20 s. Uzyskane w doświadczeniu wyniki odbiegają od teoretycznego iloczynu RC. Wpływ na to miała mała dokładność odczytów czasu na stoperze i natężenia prądu na mikroamperomierzu wynikająca z szybkości zachodzącego zjawiska rozładowania kondensatora oraz z opóźnienia w komunikacji między osobami wykonującymi ćwiczenie.

Tab. 1. Wyniki pomiaru czasu relaksacji τ

R [kΩ] C [μF]	τ = RC [s]	Τobl = t2 – t1 [s]	u(τobl) [s]	τeksp [s]	u(τeksp) [s]
R = 100 C = 100	20	10.23	0,70	9.16	0.59

Otrzymana zależność prądu od czasu powinna być ekspotencjalna. Aby to potwierdzić program wyliczył współczynnik determinacji oraz wartość funkcji testowej χ². Wartość współczynnika determinacji w układzie lnI=f(t) wynosi 0,99508. Wartość ta jest zbliżona do 1 więc zależność I=f(t) powinna być ekspotencjalna. Natomiast w przypadku wartości funkcji testowej χ² równej 2.2055 pojawia się duża rozbieżność w porównaniu z wartością krytyczną χ² odczytaną z tablic gdyż dla 7 stopni swobody (9 pomiarów pomniejszone o 2) i dla poziomu istotności 0,05 wartość krytyczna χ² wynosi 14,1. Mała wartość funkcji testowej χ² świadczy o tym, że pomiary były wykonane ze zbyt dużą niepewnością, aby była można było zweryfikować hipotezy o ekspotencjalnej zależności prądu od czasu bądź jej braku. Z uwagi na to należałoby ponownie przeprowadzić pomiary przy użyciu dokładniejszych przyrządów pomiarowych.

1. Pomiar napięcia zapłonu U_z i gaśnięcia U_g neonówki

Uzyskane wyniki pomiaru napięcia zapłonu i gaśnięcia neonówki zestawiono w tabeli zamieszczonej w protokole.

Dla użytego w ćwiczeniu woltomierza cyfrowego oszacowano niepewność standardową typu B dla jednego punktu pomiarowego (U_z = 61,8 V) zgodnie z zależnością:

U = c₁U +  c₂z = 0, 05%  * 61, 8 + 0, 01%  * 100 = 0, 0409 V 

gdzie: z = 100V – zakres pomiarowy.

Ze względu na rozrzut wyników wyliczono niepewność standardową typu A dla średniej wartości napięcia zapłonu $\overset{\overline{}}{U_{z}}$ i napięcia gaśnięcia $\overset{\overline{}}{U_{g}}$ według wzoru:

$$u\left( \overset{\overline{}}{U} \right) = \ \sqrt{\frac{1}{n(n - 1)}\ \sum_{i = 1}^{n}\left( U_{i} - \ \overset{\overline{}}{U} \right)^{2}}$$

gdzie: n = 8 – ilość pomiarów, a średnie wartości napięcia zapłonu i napięcia gaśnięcia wynoszą odpowiednio:

$$\overset{\overline{}}{U_{z}} = 61,25\ V$$

$$\overset{\overline{}}{U_{g}} = 59.92\ V$$

Stąd wartość niepewności typu A dla pomiaru napięcia zapłonu wynosi:

$$u\left( \overset{\overline{}}{U_{z}} \right) = \ \sqrt{\frac{1}{8(8 - 1)}\ \sum_{i = 1}^{10}\left( U_{i} - \ 61.25 \right)^{2}} = \ 0,100222966V$$

a dla napięcia gaśnięcia:

$$u\left( \overset{\overline{}}{U_{g}} \right) = \ \sqrt{\frac{1}{8(8 - 1)}\ \sum_{i = 1}^{10}\left( U_{i} - \ 59.92 \right)^{2}} = 0.077505760\ V$$

Oszacowana niepewność standardowa dla woltomierza cyfrowego jest o rząd wielkości mniejsza od wartości niepewności standardowej typu A dla pomiaru napięcia zapłonu i gaśnięcia, a więc możemy ją pominąć.

Ostatecznie wynik pomiaru napięcia zapłonu i napięcia gaśnięcia możemy zapisać jako:

$$\overset{\overline{}}{U_{z}} = 61.25\ \left( 0.10 \right)\text{\ V}$$

$$\overset{\overline{}}{U_{g}} = 59.92\ (0.08)\ V$$

1. Badanie zależności okresu drgań relaksacyjnych T od wartości oporności R i pojemności C

Po przyłożeniu napięcia do obwodu pokazanego na rys. 3. można zaobserwować miganie neonówki. Przy pomocy stopera wyznaczaliśmy okres dla 20 mignięć neonówki podłączając do obwodu kolejne oporniki o różnych rezystancjach. Dla poszczególnych rezystancji R i napięcia zasilającego U = 76,36 V oraz kondensatora o pojemności C = 1 µF uzyskaliśmy wyniki przedstawione w tabeli w protokole.

Dla uzyskanego wyniku pomiaru okresu drgań relaksacyjnych T_eksp przyjęto wcześniej wyliczoną w podpunkcie I niepewność standardową typu B dla stopera równą:

u(T_eksp) =  u(t)  =  0, 577379s

Wynik uzyskany eksperymentalnie zapisujemy ostatecznie, jako:

dla R₁ = 300 kΩ – T_eksp = 0.75 (58) s,

dla R₂ =430 kΩ – T_eksp = 1.55 (58) s,

dla R₃ = 620 kΩ – T_eksp = 2.20 (58) s,

Okres drgań relaksacyjnych T jest sumą czasu ładowania i czasu rozładowania. Ponieważ czas rozładowania jest bliski 0, to w celu porównania wyliczamy dla każdej pary oporu R i pojemności C okres drgań relaksacyjnych T_obl według wzoru:

T_obl = R₁CK = 300 kΩ * 1 μF *0, 0843606 = 0,025308

T_obl = R₁CK = 430 kΩ * 1 μF * 0, 0843606= 0,03627505

T_obl = R₁CK = 620 kΩ * 1 μF * 0, 0843606= 0,05230357

gdzie:

$K = \ln\left( \frac{U - U_{g}}{U - U_{z}} \right) = \ln\left( \frac{76,36 - 59.92}{76,36 - 61.25} \right) = 0,08$43606

U_z, U_g – średnie napięcia zapłonu i gaśnięcia zmierzone w podpunkcie II.

Aby wyznaczyć niepewność dla okresu drgań relaksacyjnych T_obl oszacowałem niepewność opornika u(R) i kondensatora u(C):

u(C) = 5% * C = 5% * 1 = 0,05 μF

u(R₁) = 5% * R₁ = 5% * 300 = 15 kΩ

u(R₂) = 5% * R₂ = 5% * 430 = 21.5 kΩ

u(R₃) = 5% * R₃ = 5% * 620= 31 kΩ

Dla obliczonego okresu drgań relaksacyjnych T_obl = RCK wyznaczono niepewność złożoną u_c(T_obl) z zależności:

$$u_{c}\left( T_{\text{obl}} \right) = \ \sqrt{\left( \frac{{\partial T}_{\text{obl}}}{\partial R} \right)^{2}u^{2}\left( R \right)\ + \left( \ \frac{{\partial T}_{\text{obl}}}{\partial C} \right)^{2}u^{2}\left( C \right) + \left( \ \frac{{\partial T}_{\text{obl}}}{\partial K} \right)^{2}u^{2}(K)} = \ \sqrt{\left( \text{CK} \right)^{2}u^{2}\left( R \right)\ + \left( \text{RK} \right)^{2}u^{2}\left( C \right) + \left( \text{RC} \right)^{2}u^{2}(K)}$$

Przy czym niepewność u(K) oszacowano według wzoru:

$$u\left( K \right) = \ \sqrt{u^{2}\left( U \right) + \ u^{2}\left( U_{z} \right) + \ u^{2}(U_{g})} = \ \sqrt{{(0,04417)}^{2} + \ {(0,10)}^{2} + \ {(0,08)}^{2}} = 0,135466$$

Dla poszczególnych wartości rezystancji R wyliczono następujące wartości niepewności złożonej dla T_obl:

Dla R₁ = 300 kΩ:

$$u_{c}\left( T_{\text{obl}} \right) = \ \sqrt{\left( 0.0843606 \right)^{2}{(15)}^{2}\ + \left( 25.30818 \right)^{2}{(0,05)}^{2} + \left( 300 \right)^{2}{(0,135466)}^{2}} = 0,040679\ s$$

Dla R₂ = 430 kΩ:

$$u_{c}\left( T_{\text{obl}} \right) = \ \sqrt{\left( 0.0843606 \right)^{2}{(21.5)}^{2}\ + \left( 36.27505 \right)^{2}{(0,10)}^{2} + \left( 430 \right)^{2}{(0,135466)}^{2}} = 0,058392\ s$$

Dla R₃ =620 kΩ:

$$u_{c}\left( T_{\text{obl}} \right) = \ \sqrt{\left( 0.0843606 \right)^{2}{(31)}^{2}\ + \left( 52.303572 \right)^{2}{(0,10)}^{2} + \left( 620 \right)^{2}{(0,135466)}^{2}} = 0,08419225\ s$$

Wyniki obliczeń okresu drgań relaksacyjnych T_obl zapisujemy w postaci:

dla R₁ = 300 kΩ – T_obl = 0,025 (40) s,

dla R₂ = 360 kΩ – T_obl = 0,036 (58) s,

dla R₃ = 430 kΩ – T_obl = 0,052 (84) s,

Ostateczne wyniki zamieszczono w tabeli 2.

Tab. 2. Wyniki obliczeń i pomiarów okresu drgań relaksacyjnych T wraz z niepewnościami

R [kΩ] C [μF]	Teksp [s]	Tobl [s]	u(Teksp) [s]	u(Tobl) [s]
C = 1 R1 = 300	15	0,025	0,58	0,040
C = 1 R2 = 430	31	0,036	0,58	0,058
C = 1 R3 = 620	44	0,052	0,58	0,084

Dla otrzymanych wartości okresu drgań relaksacyjnych T_eksp i T_obl sporządzono wykresy zależności T = f(R) dla stałej wartości pojemności C = 1 μF.

Ten etap ćwiczenia pokazał, że przy pomocy obwodu elektrycznego RC z włączoną do niego neonówką można wyznaczyć okres drgań relaksacyjnych w tym obwodzie. Niepewność, jaka wystąpiła przy liczeniu okresu za pomocą wzoru T_obl jest mniejsza niż przy liczeniu okresu T_eksp w sposób doświadczalny. Powodem tego może być to, że wykonaliśmy tylko 1 pomiar czasu t₂₀. Analizując wykresy zależności T_eksp = f(R) możemy stwierdzić, że na podstawie wyliczonej w programie wartości współczynnika determinacji, który wynosi 0,94442 więc zależność T_eksp(R) powinna być liniowa. Świadczy o tym również to, że dopasowana przez Origin linia (metodą najmniejszych kwadratów) przecina więcej niż 2/3 punktów z odcinkami niepewności. Natomiast w przypadku wartości funkcji testowej χ² równej 0,26923 pojawia się duża rozbieżność w porównaniu z wartością krytyczną χ² odczytaną z tablic Dla 1 stopnia swobody (3 pomiary pomniejszone o 2) i dla poziomu istotności 0,05 wartość krytyczna χ² wynosi 3,8. Mała wartość funkcji testowej χ² świadczy o tym, że pomiary były wykonane ze zbyt dużą niepewnością, aby było można zweryfikować hipotezy o liniowości lub jej braku. Z uwagi na to należałoby ponownie przeprowadzić pomiary z użyciem dokładniejszych przyrządów pomiarowych.

Rys. 8. Wykres zależności T_eksp = f(R)

Rys. 9. Wykres zależności T_obl = f(R)