Matematyka-ćwiczenia nr 2 i 3-pochodna funkcji, zastosowanie pochodnej 19.03.201

Zadanie 1. Wyznacz pochodną funkcji

1. y = 3x² − 5x + 1

2. $y = x^{4} - \frac{1}{3}x^{3} + 2,5x^{2} - 0,3x + 0,1$

3. $y = \sqrt[3]{x}$

4. $y = 2\sqrt{x} + \frac{1}{x}$

5. $y = \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}$

1. y = (x²−3x+3)(x²+2x−1)

2. $y = \left( \sqrt{x} + 1 \right)\left( \frac{1}{\sqrt{x}} - 1 \right)$

3. y = e^xlnx

4. y = x²lnx

5. y = e^x(x²−3x)

1. $y = \frac{x + 1}{x - 1}$

2. $y = \frac{x}{x^{2} + 1}$

3. $y = \frac{x^{2}}{\text{lnx}}$

4. $y = \frac{x}{x - \sqrt{x}}$

5. $y = \frac{e^{x}}{x^{2} + 2x - 7}$

1. y = e^3x

2. $y = \sqrt{4x}$

3. y = (x+1)²

4. $y = \sqrt{1 - x^{2}}$

5. $y = \left( \frac{x + 1}{x - 1} \right)^{3}$

6. $y = x + \sqrt{x^{2} + 8}$

7. $y = x\sqrt{1 + x^{2}}$

8. $y = \sqrt{x + \sqrt{x}}$

9. y = ln4x²

10. $y = ln\frac{x - 1}{x + 1}$

Zadanie 2. Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji. Wyznacz jej ekstrema, jeśli istnieją.

1. $y = \frac{1}{3}x^{3} - \frac{1}{2}x^{2} - 2x + 1$

2. y = x³ + 3x² + 6x

3. y = −x³ + 2x² − 2x

4. $y = \frac{1}{4}x^{4} - \frac{1}{3}x^{3} - x^{2}$

5. y = (x²+1)e^x

6. $y = \frac{1}{e^{x} - 1}$

7. y = ln(1−x²)

Zastosowanie pochodnej w ekonomii

Zadanie 1. Funkcje popytu q(p) i podaży s(p) pewnego dobra odpowiadające cenie p wyrażają się odpowiednio wzorami:

q(p) = 80 − 3p − 0, 02p²,                               s(p) = 50 − 0, 02p²,                      gdzie      0 < p < 50.

Znajdź cenę równowagi oraz elastyczność popytu i podaży przy cenie równowagi.

Zadanie 2. Funkcja podaży na pewne dobro przy jednostkowej cenie p określona jest wzorem: x=0,25p+7. Znaleźć:

1. U(x)-funkcję utargu b) U’(10)

Podać interpretację otrzymanego wyniku.

Zadanie 3. Koszt całkowity K_c(x) wyprodukowania x jednostek pewnego towaru oraz cena p(x) tego towaru, przy której popyt jest równy podaży, zostały określone wzorami: K_c(x) = 0, 02x³ + 14x + 800,  p(x) = 50 − 0, 01x². Przy jakiej wielkości produkcji utarg krańcowy U’(x) będzie równy kosztowi krańcowemu?

Zadanie 4. Koszt całkowity wyprodukowania x jednostek pewnego artykułu wynosi K_c(x) = 0, 1x³ + 10x + 200. Przy jakiej wielkości produkcji koszt przeciętny wyprodukowania jednostki tego artykułu będzie równy kosztowi krańcowemu?

Zadanie 5. Określ elastyczność funkcji w dowolnym punkcie x>0:

$$a)\ \ f\left( x \right) = 3x^{2} + x + 2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ b)\ f\left( x \right) = \frac{5}{3x + 2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ c)\ f\left( x \right) = \sqrt{5x}$$

Zadanie 6. Określ elastyczność funkcji w podanym punkcie i zinterpretuj otrzymany wynik:

a) f(x) = 3logx             przy       x₁ = 10;  x₂ = 100

b) f(x) = e^2x       przy    x = 0, 1

c) f(x) = xe^−x     przy x = 3