Zestaw XII

Zad 1

$$\frac{\cos^{2}30 - 3tg30 \bullet tg60}{1 - 3tg45} = \frac{{(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} - 3\frac{\sqrt{3}}{3} \bullet \sqrt{}3}{1 - 3 \bullet 1} = \frac{\frac{3}{4} - 3}{- 2} = \frac{- 2\frac{1}{4}}{- 2} = \frac{1}{8}$$

Zad 2

sinα=x/3√3 x²+(3√2)²=(3√3)² x²+(9*2)=9*3 x²+18=27 x²=27-18=9 x=√9=3

Zad 3

$$\frac{1}{\text{cosa}} - \frac{\text{cosa}}{1 + sina} = \frac{1 + sina}{\text{cosa}\left( 1 + sina \right)} - \frac{\cos^{2}a}{\text{cosa}\left( 1 + sina \right)} = \frac{1 + sina - \cos^{2}a}{\text{cosa}\left( 1 + sina \right)} = \frac{1 + sina - 1\sin^{2}a}{\text{cosa}\left( 1 + sina \right)} = \frac{sina + \sin^{2}a}{\text{cosa}\left( 1 + \text{sina} \right)} = \frac{\text{sina}\left( 1 + sina \right)}{\text{cosa}\left( 1 + sina \right)} = \frac{\text{sina}}{\text{cosa}} = tg$$

Zad 5

x = tg(30) * y => x= √3*21m/3 =7√3= okolo 12m

Zad 6

sinα=4/5 sinα=a/10 4/5=a/10 stąd a=8 Z tzw. Pitagorasa mamy a²+b²=c² więc 8²+b²=10² stąd b=6

Zad 7

sin alfa = 5 / 13; cos alfa = 12 / 13 | 5 / 13 - 12 / 13 | = | - 7 / 13 | = 7 / 13

Zad 8

∡ADC=120 ponieważ jest on dopełnieniem kąta 60[∡CDB] do 180.

∡ACD=30, wynika z definicji trójkąta [suma kątów = 180]

a więc trójkąt ADC jest równoramienny

|DC|=50

|DC|= 2x // ponieważ jest to najdłuższy bok trójkąta 30, 60, 90

x=|DB|=c=25

a= 25√3

a ~ 43,3m

Zad 9

sina=3/5 tga=4/3 tga=sina/cosa=>cosa=sina/tga cosa=3/5//3/4=3/5*3/4=9/20

sin²a+cos²a=(3/5)²+(9/20)²=9/25+81/400=(144+81)/400=225/400≠1

więc a nie jest kątem ostrym

Zad 10

(sin α - cos α)=1/4 /()² (sin α - cos α)²=1/16 sin²α - 2sinα *cosα +cos²α =1/16 sin²α+cos²α -2sinα *cosα=1/16

1-2sinα *cosα=1/16 -2sinα *cosα=1/16-1 -2sinα *cosα=-15/16 /:(-2) sinα *cosα=15/32

Zad 11

h- wysokośc rownolegloboku a (podstawa) = h+3 P=10 P=a*h P=h*(h+3)=10 h²+3h-10=0 Δ=9+40=49

√Δ=7 h₁=(-3-7)/2 <0 h₂=(-3+7)/2=4/2=2 h=2 a=2+3=5 sinα=3/4 sinα=h/b 3/4=2/b 3b=8 /:3 b=8/3

b=2 i 2/3 (dwie całe i dwie trzecie) b-drugi bok równoległoboku