Zadanie 26: Definicja przestrzeni metrycznej. Zbieżność ciągów w przestrzeni metrycznej.

Def. Niech X będzie dowolnym zbiorem niepustym. Metryką nazywamy funkcję

d:X × X→[0,∞), która dla dowolnych elementów x,y,z∈X spełnia następujące warunki:

1. ∀_{x, y ∈ X} d(x,y)=0 x=y

2. ∀_{x, y ∈ X} d(x,y)=d(y,x)

3. ∀_{x, y, z ∈ X} d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)

Jeśli d jest metryką w zbiorze X to parę (X,d) nazywamy przestrzenią metryczną.

Przykłady:

1. X=R² x,y∈X×X

d((x₁, x₂),(y₁, y₂))=|x₁ − y₁|+|x₂ − y₂| odległość taksówkowa

1. X=C[0,1] f,g∈ C[0,1]

∀_{f, g ∈ C[0, 1]} d(f,g) = sup{ |f(x)−g(x)|  : x ∈ [0, 1]} metryka supremum

Def. Niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną i (x_n)_n ∈ N ciągiem elementów zbioru X oraz g∈X. Mówimy, że ciąg  (x_n)_n ∈ N jest zbieżny do g jeżeli

∀_ε > 0∃_k ∈ R∀_n ∈ N(n > k = >d(x_n,g) < ε

Tw. Niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną,  (x_n)_n ∈ N ciągiem o wyrazach z X, g∈X. Wówczas:

x_n = g  < = >  d(x_n,g) = 0

Własności:

1. W dowolnej przestrzeni metrycznej dowolny ciąg zbieżny ma jedną granicę

2. Każdy podciąg ciągu zbieżnego jest zbieżny do tej samej granicy co ciąg wyjściowy

3. Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony

(brak odwrotnej implikacji, np. a_n = ( − 1)ⁿ jest ograniczony ale nie jest zbieżny)

Ciąg zbieżny:

X=C[0,1] f:C[0,1]->R

f(x)= $\frac{x^{n}}{n}$ , n∈N (zbieżny do 0)