Zadania na egzamin

Na egzaminie z Analizy Matematycznej 1
na 90 minut pracy będzie 6 zadań,
trochę podobnych do tych poniżej :

Zadanie 1

Znajdź dziedzinę i zbiór wartości funkcji

f(x) = ( 3*x +2 )/( 2*x -5 )

odp: D = ( -∞, 5/2 )∪( 5/2, ∞ ) , W = ( -∞, 3/2 )∪( 3/2, ∞ )

Zadanie 2

Znajdź funkcję odwrotną do funkcji

f(x) = 2 - 3*ln( 1 - exp( 2 + 3*x ) ) .

odp: x = ( ln( 1 - exp( ( 2 - y )/3 ) ) -2 )/3

Zadanie 3

Znajdź funkcję odwrotną do funkcji

f(x) = 3 - 2*( 1 + 3*x^(1/5) )^3 .

odp: x = ( ( ( ( 3 - y )/2 )^(1/3) -1 )/3 )^5

Zadanie 4

Oblicz tg( arcsin(-1/3) ) .

odp: -sqrt(2)/4

Zadanie 5

O kącie a wiadomo, że π < a < 3*π/2 oraz cos(a) = -2/5 .

Oblicz sin(a), tg(a), ctg(a) .

odp: sin(a) = -sqrt(21)/5, tg(a) = sqrt(21)/2, ctg(a) = 2/sqrt(21)

Zadanie 6

Oblicz granicę ciągu

a(n) = sqrt( 2*n^2 + 3*n ) - sqrt( 2*n^2 +5 )

odp: 3*sqrt(2)/4

Zadanie 7

Oblicz granicę ciągu

b(n) = ( ( n^2 + 3*n )^(1/3) +1 )/( ( n^3 + n^2 )^(1/5) -2 )

odp: ∞

Zadanie 8

Znajdź wszystkie asymptoty funkcji

f(x) = ( 5 + 3*2^x )/( 8 - 2^x )

odp: pionowa x = 3 obustronna, pozioma y = -3 prawostronna, pozioma y = 5/8 lewostronna

Zadanie 9

Znajdź wszystkie asymptoty funkcji

f(x) = ( 3*x^2 +6 )/( x^2 + x -6 )

odp: pionowa x = -3 obustronna, pionowa x = 2 obustronna, pozioma y = 3 obustronna

Zadanie 10

Znajdź wszystkie asymptoty funkcji

f(x) = ( 6*x^2 - x +3 )/( 2*x +1 )

odp: pionowa x = -1/2 obustronna, ukośna y= 3*x -2 obustronna

Zadanie 11

Napisz równanie prostej stycznej do krzywej

y = ( 3*x +5 )/( x^2 +3 ) w punkcie (1,2) .

odp: y = -0.25*x + 2.25

Zadanie 12

Napisz równanie prostej stycznej do krzywej

y = sqrt( 8 + x^3 ) w punkcie (1,3) .

odp: y = 0.5*x + 2.5

Zadanie 13

Napisz równanie prostej stycznej do krzywej

x*y = 6 w punkcie (3,2) .

odp: y = (-2/3)*x + 4

Zadanie 14

Napisz równanie prostej stycznej do krzywej

2*x^3 + y^3 = 6 w punkcie (-1,2) .

odp: y = -0.5*x + 1.5

Zadanie 15

Znajdź przedziały monotoniczności i extrema funkcji

f(x) = ( x^2 -6 )*exp(2*x)

odp: ( -∞,-3 )↑ , max=f(-3)=3*e^(-6) , ( -3,2 )↓ , min=f(2)=-2*e^4 , ( 2,∞)↑

Zadanie 16

Znajdź przedziały monotoniczności i extrema funkcji

f(x) = ( 2*x +1 )/( x^2 +2 )

odp: ( -∞,-1 )↓ , min=f(-1)=-1/3 , ( -1,2 )↑ , max=f(2)=5/6 , ( 2,∞)↓

Zadanie 17

Znajdź przedziały monotoniczności i extrema funkcji

f(x) = ( x^2 +8 )/( x +1 )

odp: ( -∞,-4 )↑ , max=f(-4)=4.8 , ( -4,-1 )↓ , ( -1,2 )↓ , min=f(2)=4 , ( 2,∞ )↑

Zadanie 18

Znajdź przedziały wypukłości i punkty przegięcia funkcji

g(x) = ( x^2 -7 )*exp(-x)

odp: ( -∞,-1 )∪ , ( -1,5 )∩ , ( 5,∞ )∪ , punkty przegięcia x1=-1, x2=5

Zadanie 19

Znajdź przedziały wypukłości i punkty przegięcia funkcji

g(x) = ln( x^2 - 2*x +5 )

odp: ( -∞,-1 )∩ , ( -1,3 )∪ , ( 3,∞ )∩ , punkty przegięcia x1=-1, x2=3

Zadanie 20

Znajdź przedziały wypukłości i punkty przegięcia funkcji

g(x) = (ln(x))^3

odp: ( 0,1 )∩ , ( 1,e^2 )∪ , ( e^2,∞ )∩ , punkty przegięcia x1=1, x2=e^2

Zadanie 21

Znajdź przedziały wypukłości i punkty przegięcia funkcji

g(x) = ( x^2 +3 )^(1/3)

odp: ( -∞,-3 )∩ , ( -3,3 )∪ , ( 3,∞ )∩ , punkty przegięcia x1=-3, x2=3

Zadanie 22

Oblicz ∫ ( 2*x -1 )*sin( 3*x ) dx

odp: (-(2/3)*x +1/3)*cos(3*x) + (2/9)*sin(3*x) + C

Zadanie 23

Oblicz ∫ ( 3*x +2 )*exp( -2*x ) dx

odp: ( (-3/2)*x -7/4 )*exp( -2*x ) + C

Zadanie 24

Oblicz

∫ (x^2)*cos(3*x) dx

odp: ( (1/3)*x^2 - 2/27 )*sin(3*x) + (2/9)*x*cos(3*x) + C

Zadanie 25

Oblicz

∫ (x^2)*exp(-2*x) dx

odp: ( -0.5*x^2 - 0.5*x - 0.25 )*exp(-2*x) + C

Zadanie 26

Oblicz

∫ exp(3*x)*cos(2*x) dx

odp: ( (2/13)*sin(2*x) + (3/13)*cos(2*x) )*exp(3*x) + C

Zadanie 27

Oblicz ∫ ( x^2 + 3*x -8 )/( x^2 + 2*x -3 ) dx

odp: x + 2*ln|x +3| - ln|x -1| + C

Zadanie 28

Oblicz ∫ ( 2*x^2 + 9*x +10 )/( x^2 + 6*x +9 ) dx

odp: 2*x - 3*ln|x +3| - 1/( x +3 ) + C

Uwaga :

x^y = x do potęgi y

exp(x) = e^(x)

sqrt(x) = (x)^(1/2) = pierwiastek kwadratowy z (x)

ln(x) = logarytm o podstawie e ( naturalny )