Szkoła Główna Gospodarstwa Wiejskiego
Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska
Katedra Inżynierii Wodnej
Zakład Hydrauliki
Sprawozdanie
ćwiczenie laboratoryjne I
Wyznaczanie położenia siły parcia hydrostatycznego
działającego na powierzchnię płaską
Inżynieria Środowiska
rok II grupa 1
Przebieg doświadczenia
W przezroczystym prostopadłościennym zbiorniku znajduje się pływak w kształcie ćwiartki pierścienia o przekroju prostokątnym. Pływak został przymocowany do ramienia, które obraca się wokół własnej osi .
Doświadczenie zaczyna się od spoziomowania ramienia za pomocą śruby. Następnie należy sprawdzić temperaturę wody przy pomocy termometru oraz zanotować odczytany wynik. Kolejnym etapem jest nalanie wody do zbiornika w taki sposób aby zwierciadło wody znajdowało się pomiędzy dolną a górną krawędzią przekroju poprzecznego pierścienia. Ramię wychyli się w górę od poziomu ponieważ na pierścień zacznie działać siła parcia. Ponownie należy wypoziomować ramię przy użyciu ciężarków które wieszamy na przeciwnym końcu ramienia niż śruba jeśli jest to nie możliwe trzeba odlać niewielką ilość wody ze zbiornika. Po wypoziomowaniu należy zanotować na jakiej wysokości ustabilizowało się zwierciadło wody (wynik odczytujemy z miarki która jest przymocowana do pierścienia) oraz wagę przymocowanych ciężarków.
Ćwiczenie wykonujemy ponownie przy czym teraz zwierciadło wody powinno znajdować się ponad przekrojem poprzecznym pierścienia. Resztę ćwiczenia wykonujemy analogicznie.
Obliczenia
Dane
t=19,0°C
$\rho = 998,40\ \frac{\text{kg}}{m^{3}}$
a= 0,075 m
b=0,1 m
H= 0,2 m
L = 0,275 m
| Nr pomiaru | Głębokość wody h [m] |
Masa ciężarków m [kg] |
|---|---|---|
| 1 | 0,052 | 0,07 |
| 2 | 0,125 | 0,33 |
Obliczenie ciężaru objętościowego cieczy
$$\gamma = \ 998,4*9,81 = \mathbf{9794,304}\ \frac{N}{m^{3}}\backslash n$$
Metoda pierwsza
Obliczanie wartości parcia z bryły parcia
P=γV $\ \left\lbrack m^{3}*\frac{N}{m^{3}} \right\rbrack$ = [N]
γ - ciężar objętościowy cieczy
V - objętość bryły parcia
$V = \ \frac{1}{2}h^{2}a$ $\text{\ \ \ \ \ \ \ }\left\lbrack m^{2}*m*\frac{N}{m^{3}} \right\rbrack = \lbrack N\rbrack$
Ponieważ bryła parcia jest graniastosłupem o podstawie trójkątnej
Podstawiamy do wzoru:
P = $\frac{1}{2}h^{2}$a γ [N]
P = $\frac{1}{2}*{0,059}^{2}*0,075\ *9794,304 =$1,278524 N
N
Obliczenie położenie siły parcia
Położenie środka parcia jest równe położeniu środka ciężkości bryły parcia.
$x_{N} = \ \frac{a}{2}$ [m]
$$x_{N} = \ \frac{0,075}{2} = \mathbf{0,0375}\text{\ m}$$
Obliczenie zagłębienia środka parcia
Zagłębienie środka parcia liczymy jako środek ciężkości trójkąta będącego podstawą graniastosłupa, czyli w $\frac{2}{3}\ $ jego wysokości.
$z_{N} = \ \frac{2}{3}h$ [m]
$z_{N} = \ \frac{2}{3}*0,052 =$0,034667 m
Metoda druga
Obliczenie parcia ze wzoru
P=γzsA $\left\lbrack \frac{N}{m^{3}}*{m*m}^{2} \right\rbrack$ = [N]
γ - Gęstość objętościowa ciecz
zs - Zagłębienie środka ciężkości
A - Powierzchnia na jaką działa parcie
Obliczamy powierzchnię na jaką działa parcie
A = ha [m2]
Wzór na zagłębienie środka ciężkości figury o prostokątnej powierzchni czyli $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}$ wysokości
$z_{s} = \frac{1}{2}h$ [m]
Podstawiamy do wzoru na parcie
$P = \frac{1}{2}\gamma h^{2}a$ [N]
$P = \frac{1}{2}*9794,304*{0,052}^{2}*0,075 =$0,993142 N
Obliczenie współrzędnych środka parcia ze wzoru
$$\mathbf{z}_{\mathbf{N}}\mathbf{= \ }\mathbf{z}_{\mathbf{s}}\mathbf{+ \ }\frac{\mathbf{I}_{\mathbf{z}_{\mathbf{s}\mathbf{\ }}}}{\mathbf{z}_{\mathbf{s}}\mathbf{A}}\ \ \ \lbrack m\rbrack$$
zs - Zagłębienie środka ciężkości
Izs - Moment bezwładności bryły na jaką działa parcie względem osi przechodzącej przez środek ciężkości
A - powierzchnia na jaką działa parcie
Zagłębienie środka ciężkości dla prostokąta
$z_{s} = \frac{1}{2}h$ [m]
Moment bezwładności dla prostokąta
$$I_{z_{\text{s\ }}} = \ \frac{{ah}^{3}}{12}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\left\lbrack m*m^{3} \right\rbrack = \lbrack m^{4}\rbrack$$
Powierzchnia na jaką działa parcie
A = ha [m2]
Podstawiamy do wzoru na zagłębienie siły parcia:
$$z_{N} = \ \frac{1}{2}h + \ \frac{{ah}^{3}}{12\frac{1}{2}hah}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\left\lbrack m + \frac{m^{4}}{m*m^{2}} \right\rbrack = \lbrack m\rbrack$$
$$z_{N} = \ \frac{1}{2}h + \ \frac{h}{6}\ \ \lbrack m\rbrack$$
$$z_{N} = \ \frac{2}{3}h\ \ \lbrack m\rbrack$$
$z_{N} = \ \frac{2}{3}*0,052\ = \mathbf{\ }$0,0347 m
Obliczamy drugą współrzędną środka parcia
xN= xS [m]
$x_{N} = \ \frac{1}{2}a$ [m]
$x_{N} = \ \frac{1}{2}*0,075 = \mathbf{0,0375}$ m
Metoda trzecia
Obliczanie odległość hN siły parcia wody na prostokątną powierzchnię przekroju pływaka od osi obrotu O
PhN = GL
$$\mathbf{h}_{\mathbf{N}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{\text{GL}}}{\mathbf{P}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{\text{mgL}}}{\mathbf{P}}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\left\lbrack \frac{\text{kg}*\frac{m}{s^{2}}*m}{N} \right\rbrack = \lbrack m\rbrack$$
G - Ciężar obciążników
L - odległość osi obrotu O od miejsca zawieszenia ciężarków
P – parcie
$h_{N} = \ \frac{0,07*9,81*0,275}{1,278524\mathbf{\ }} =$0,147704 m
Obliczmy zagłębienie siły parcia – odległość siły parcia od powierzchni wody
zN=h−(H−hN) [m]
zN = 0, 052 − (0,2−0,147704) = 0, 0003 m
W identyczny sposób wykonujemy obliczenia dla drugiego pomiaru
Metoda pierwsza
Obliczanie wartości parcia z bryły parcia
P=Vγ $\ \left\lbrack m^{3}*\frac{N}{m^{3}} \right\rbrack$ = [N]
Obliczamy objętość bryły parcia dla graniastosłupa o podstawie trapezu
$V = \ \frac{1}{2}*\left( h - b + h \right)b*a$ [m*m*m] = [m3]
Podstawiamy do wzoru:
P=γV
P = $\frac{1}{2}*\left( h - b + h \right)b*a*\gamma$ $\left\lbrack m*m*m*\frac{N}{m^{3}} \right\rbrack$ = [N]
P = $\frac{1}{2}\left( 0,125 - 0,1 + 0,125 \right)0,1*$0,075 * 9794, 304 [N]
P = 5,5093 N
Obliczenie położenie siły parcia
Położenie środka parcia jest równe położeniu środka ciężkości bryły parcia.
$x_{N} = \ \frac{a}{2}$ [m]
$$x_{N} = \ \frac{0,075}{2}\ \lbrack m\rbrack$$
xN= 0,0375 m
Obliczenie zagłębienia środka parcia
zagłębienie środka parcia liczymy jako środek ciężkości trapezu będącego podstawą graniastosłupa
zagłębienie środka ciężkości trapezu liczymy z sumy iloczynów pola i zagłębienia środka ciężkości figur składowych (prostokąta oraz trójkąta)
$$z_{s}*\frac{\left( h - b + h \right)*b}{2} = \left( h - b \right)b*\frac{1}{2}b + \frac{1}{2}b\left( h - \left( h - b \right) \right)*\frac{2}{3}b$$
[m*m2=m2*m+m2*m] = [m]
$$z_{s} = \ \frac{2\left( \left( h - b \right)b*\frac{1}{2}b + \frac{1}{2}b\left( h - \left( h - b \right) \right)*\frac{2}{3}\text{b\ } \right)}{\left( h - b + h \right)*b}\ \lbrack m\rbrack$$
$$z_{s} = \ \frac{2*\left( \left( 0,125 - 0,1 \right)0,1*\frac{1}{2}*0,1 + \frac{1}{2}*0,1*\left( 0,125 - \left( 0,125 - 0,1 \right) \right)*\frac{2}{3}*0,1\ \right)}{\left( 0,125 - 0,1 + 0,125 \right)*0,1}\ \ \ \ \lbrack m\rbrack$$
zs = 0,0611 m
zN = zs + h - b [m + m - m] =[m]
zN = 0, 0611 + 0,125 – 0,1 [m]
zN= 0, 086 m∖n
Metoda druga
Obliczenie parcia ze wzoru
P=γzsA [N]
Obliczamy powierzchnię na jaką działa parcie
A = ha [m2]
Wzór na zagłębienie środka ciężkości figury o prostokątnej powierzchni czyli $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}$ wysokości
$z_{s} = \frac{1}{2}h$ [m]
Podstawiamy do wzoru na parcie
$P = \frac{1}{2}\gamma h^{2}a$ [N]
$P = \frac{1}{2}*9794,304\ *{0,125}^{2}*0,075 = \ $5,73885 N
Obliczenie współrzędnych środka parcia ze wzoru
$$\mathbf{z}_{\mathbf{N}}\mathbf{= \ }\mathbf{z}_{\mathbf{s}}\mathbf{+ \ }\frac{\mathbf{I}_{\mathbf{z}_{\mathbf{s}\mathbf{\ }}}}{\mathbf{z}_{\mathbf{s}}\mathbf{A}}\ \ \ \lbrack m\rbrack$$
Zagłębienie środka ciężkości dla prostokąta
$z_{s} = \frac{1}{2}h$ [m]
Moment bezwładności dla prostokąta
$$I_{z_{\text{s\ }}} = \ \frac{{ah}^{3}}{12}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\left\lbrack m*m^{3} \right\rbrack = \lbrack m^{4}\rbrack$$
Powierzchnia na jaką działa parcie
A = ha [m2]
Podstawiamy do wzoru
$$z_{N} = \ \frac{1}{2}h + \ \frac{{ah}^{3}}{12\frac{1}{2}hah}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\left\lbrack m + \frac{m^{4}}{m*m^{2}} \right\rbrack = \lbrack m\rbrack$$
$$z_{N} = \ \frac{1}{2}h + \ \frac{h}{6}\ \ \lbrack m\rbrack$$
$$z_{N} = \ \frac{2}{3}h\ \ \lbrack m\rbrack$$
$z_{N} = \ \frac{2}{3}*0,125 = \mathbf{0,083}$ m
Obliczamy drugą współrzędną środka parcia
xN= xS [m]
$x_{N} = \ \frac{1}{2}a$ [m]
$x_{N} = \ \frac{1}{2}*0,075 = 0,0375$ m
Metoda trzecia
Obliczanie odległość hN siły parcia wody na prostokątną powierzchnię przekroju pływaka od osi obrotu O
$$\mathbf{h}_{\mathbf{N}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{\text{GL}}}{\mathbf{P}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{\text{mgL}}}{\mathbf{P}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \lbrack m\rbrack$$
$h_{N} = \ \frac{0,33*9,81*0,275}{5,73885\ \ } =$0,1551 m
Obliczmy zagłębienie siły parcia – odległość siły parcia od powierzchni wody
zN=h−(H−hN) [m]
zN = 0, 125 − (0,2−0,1551) = 0, 081 m
Wnioski
Na podstawie wykonanego doświadczenia można stwierdzić, że wartość parcia oraz zagłębienie siły parcia jest związane z głębokością zanurzenia pływaka. Wartość siły parcia oraz zagłębienie siły parcia wzrasta wraz ze wzrostem poziomu wody w zbiorniku w którym znajduje się pływak. Zwiększając zanurzenie pływaka poprzez podwyższenie poziomu wody w zbiorniku należało zwiększać ilość ciężarków, tak aby ich masa równoważyła parcie na powierzchnię pływaka.