Wzór funkcji:

$$f\left( x \right) = x \bullet e^{\frac{- x}{2}}$$

1. Dziedzina

x ∈ ℝ

2. Miejsca zerowe oraz f(0)

$$f\left( x \right) = x \bullet e^{\frac{- x}{2}} = 0$$

x = 0

$$f\left( 0 \right) = 0 \bullet e^{\frac{0}{2}} = 0$$

3. Granice na krańcach dziedziny

$$\operatorname{}{x \bullet e^{\frac{- x}{2}} = \left\lbrack e^{\frac{- \left( - \infty \right)}{2}} \bullet - \infty \right\rbrack = \left\lbrack e^{\infty} \bullet - \infty \right\rbrack = \left\lbrack \infty \bullet - \infty \right\rbrack = - \infty}$$

$$\operatorname{}{x \bullet e^{\frac{- x}{2}} = \left\lbrack e^{\frac{- \left( + \infty \right)}{2}} \bullet + \infty \right\rbrack = \left\lbrack e^{- \infty} \bullet + \infty \right\rbrack = \left\lbrack 0 \bullet \infty \right\rbrack = \frac{x}{e^{\frac{x}{2}}} = \left\lbrack H \right\rbrack\lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{\left( x \right)^{'}}{\left( e^{\frac{x}{2}} \right)^{'}} = \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{1}{e^{\frac{x}{2}} \bullet \frac{1}{2}} = \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{2}{e^{\frac{x}{2}}} = \left\lbrack \frac{2}{e^{\frac{+ \infty}{2}}} \right\rbrack = \left\lbrack \frac{2}{e^{+ \infty}} \right\rbrack = \left\lbrack \frac{2}{+ \infty} \right\rbrack = 0}$$

4. Asymptoty

Z obliczonych granic wynika brak asymptoty pionowej. Natomiast istnienie asymptoty trzeba obliczyć.

$$\operatorname{}{\frac{x \bullet e^{\frac{- x}{2}}}{x} = \left\lbrack \frac{e^{\frac{- \left( - \infty \right)}{2}} \bullet - \infty}{- \infty} \right\rbrack = \left\lbrack \frac{\infty \bullet - \infty}{- \infty} \right\rbrack = \left\lbrack H \right\rbrack\left\lbrack \frac{\infty}{\infty} \right\rbrack = \lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{\left( x \bullet e^{\frac{- x}{2}} \right)'}{\left( x \right)^{'}} = \lim_{x \rightarrow - \infty}e^{\frac{- x}{2}}\left( 1 - \frac{1}{2}x \right) =}\left\lbrack e^{\frac{- \left( - \infty \right)}{2}}\left( 1 - \frac{1}{2} \bullet - \infty \right) \right\rbrack = \left\lbrack \infty \bullet - \infty \right\rbrack = - \infty$$

$$\operatorname{}{\frac{x \bullet e^{\frac{- x}{2}}}{x} = \left\lbrack \frac{e^{\frac{- ( + \infty)}{2}} + \infty}{+ \infty} \right\rbrack = \left\lbrack \frac{0 \bullet + \infty}{+ \infty} \right\rbrack = 0}$$

-0•x=[0•+∞−0•+∞] = 0

y=0

Istnieje asymptota pozioma y=0.

5. Postać pierwszej pochodnej

$$f^{'}\left( x \right) = e^{\frac{- x}{2}} - \frac{1}{2}xe^{\frac{- x}{2}} = e^{\frac{- x}{2}}\left( 1 - \frac{1}{2}x \right)$$

6. Monotoniczność i ekstrema.

$$- \frac{1}{2}x + 1 > 0$$

$$- \frac{1}{2}x > - 1$$

x < 2

funkcja jest rosnaca w przedziale x ∈ (−∞;2)

funkcja jest malejaca w przedziale x ∈ (2;+∞)

$$\text{maksimum}\ \text{lokalne}\ f\left( 2 \right) = \frac{2}{e}$$

7. Postać drugiej pochodnej.

$$f^{''}\left( x \right) = {\lbrack e}^{\frac{- x}{2}} - \frac{1}{2}xe^{\frac{- x}{2}}\rbrack' = e^{\frac{- x}{2}} \bullet ( - \frac{1}{2}) - \lbrack\frac{1}{2}e^{\frac{- x}{2}} + \frac{1}{2}e^{\frac{- x}{2}} \bullet \left( - \frac{1}{2} \right)\rbrack = - \frac{1}{2}e^{\frac{- x}{2}} - \frac{1}{2}e^{\frac{- x}{2}} + \frac{1}{4}e^{\frac{- x}{2}} = e^{\frac{- x}{2}}( - 1 + \frac{1}{4}x)$$

8. Tempo zmian wartości (wypukłość, wklęsłość) oraz punkty przegięcia.

$$- 1 + \frac{1}{4}x > 0$$

$$- 1 > - \frac{1}{4}x$$

x > 4

funkcja jest wypukla w przedziale x > 4

funkcja jest wklesla w przedziale x < 4

9. Tabelka

x	( − ∞, −4)	−4	( − 4, 2)	2	(2, +∞)
f'(x)	+	+	+	0	-
f''(x)	+	0	-	-	-
f(x)		−4e^2		$$\frac{2}{e}$$ maksimum lokalne

10. Wykres